Минорский - Высшая математика (1108568), страница 2
Текст из файла (страница 2)
2. Выполнить предыдущее упражнение для точек А(+1), В( — 1) и С(+5). 3. Построить треугольник с вершинами А( —:1; 2)г В(0; — Ц и С)3; 3) н определить его периметр и углы. 4. Доказать, что треугольник с вершинами А( — 3; — 2), В(0; — Ц и С) — 2; 5) п)гянгоугольньгй. 5. Построить точки А( — 4; О), В(-1; 4) и точки Аы Вы симметричные данным относительно оси Оу.
Вычислить периметр трапеции АВВт.4а. 6. Точка В симметрична А(4: — 1) относительно биссектрисы первого координатного угла. Найти длину АВ. и Гл. 1. Аналитическая геометрия на птоскостн 7. Найти точку. удаленную на 5 единиц как от гочки д1(2; Ц, так и от оси Оу. 8. На оси ординат найти точку, удаленную от точки А(4; — 1) на 5 единиц. Пояснить построением. по ~ему получается два решения. Э. На оси аосцисс найти точку, удален?ую от точки Л(п; 5) на с единиц. Исследовать решение при с л 5(, с = (Ь) и с ( )5!. 19. На оси Ол найти точку, одинаково удаленную от начала координат и от точки А(8; 4).
11. Начлыч центр и радиус круга, описанного около ч1зеугольника с вершинами Л(4; 3), В( — 3; 2) и С(1; — 6). 12. Даны точки А(2; 6) и В(0; 2); построить вектор АЕ), его компоненты па осях и шдчислить цр ЛЕ), прв..АЕ) и длину,1В. 13. В точке А(2; 5) приложена сила. проекции которой на оси координат равны: Х = 3 и 1'' = 3. Определить конец вектора ЛЕч, изобрадтачошего силу, и величину силы. 14. В точке Л( — 3; — 2) припоя;ена сила, проекция которой Г = = — 1, а проекция Х положительна.
Определить конец вектора ЛЕ, изображаюшего силу, если ее величина равна 5чтс2. 15 ). На числовой оси построить точки А(1). В( — 3) и С( — 2) я найти величины ЛВ, Еут и СЛ отрезков на оси. Провериттн что ЛВ+ ЕЗС+ СЛ = О. 18. На плоскости построить точки .1( — 7; О) и В(0; 1) и точки Ат и Вт, симметричные точкам Л и В относительно биссектрисы первш о и третьеч о координатных углов.
Вычислить периметр трапеции ЛВВтАт. 17. На оси ординат найти точку, одинаково удаленную от начала координат и от точки Л( — '2: 5). 18. На оси абсцисс найти точку, удаленнтю от точки Л( — 2; 3) на Зчч'5 единиц. 19. Определить центр п радиус круга, описанного около треугольника с вершинами 1( — 3:, — 1), В(5; 3) и С(6; — 4). 20. Даны точки Л(:гч, ут) п В(лрд ут). В начале координат приложены силы, изображаевчые векторами От( и 01д. Построитч их равччодействуюшукч От.! и доказать, что проекция равнодействующей на координатную ось равна сумме проекций состав.пноших на ту жс ось. 21.
Даны темки Л(1: 2), В(3; 5), С(5; 2) и Е2(2; — 2). В точке Л приложены силы ЛЕЕч', Лт. и ЛЕт. Найти проекции на оси координат равнодействующей силы и ее величину. ~ й квелом пзрзтрзфс после черты привечетпт задачи, которые ревомелдтютсл Лля зачанин иа зом или Ллл повторений. '3' 2. Деление отрезка в данном отношении 82. Деление отрезка в данном отношении. Площадь треугольника и многоугольника !'.
Деление отрезка в донном отношении. Даны точки А(2)1, У)) и ВО(2, У2). 11оординаты точки М(х; у), деля(цей отрезок АВ в отношении АЫ: МВ = Л, опре,(еля(отея по формулам: х! + ЛЗ2 У1 + ЛУ2 1+Л ' У 1+Л В частности, при делении пополам, т. е. в отношении Л = 1: 1 = 1, х) + х2 У) + УЗ х: 2 ' ' 2 12) 2'. Площадь м и о ( о у г о л ь и и к а с вершинами А(х), у)), В(х2, У2) ('1ха:, УЗ) . (г!Зи' Уи) Ранна [х) У) + х2 У2+ + хи Уи~ х2 у2 тз уз х1 у1 !3) ') Об определителях целребне изложено в гл.
4, Ц 1. Выражение вида ' равно х)у2 — хду) и называется оп))еде,(о- У) х2 У2 пелся епюрого порлдко ). ., 1 22. Построить точки А! — 2; 1) п В!3; 6) н найти точку ЛХ1х; У), зеляшую АВ в отношении А()У: МВ = 3: 2. 23. Даны точки А! — 2; 1) и В13: 6). Разделить отрезок АВ в отпой(ения А 14 . "ЛХВ: 3: 2. 24. В точках А!31) и В!хз) оси Ох помещены массы ев) и тз. Найти центр масс этой сцстел()л.
25. В точках А1х)), ЕЦхз) и С!хз) оси О:г номе)цены соответственно массы т), (из и (из. Показать, что центр масс этой Н)1Х1 + Н)2Х2 + Н)323 системы будет в точке х = тн) + н) 2 + 'н(,3 28. На концы однородного стера(ня длиной 40 см и массой 500 г насажены шарь) массой ! 00 г и 400 г.
Определить центр масс этой системы. 27. В точках з1! — 2; 4), В!3; — !) и С(2; 3) помещены соответственно массы 60г, 40г и 100г. Определить центр масс этой системы. 28. Определить середины сторон треугольника с вершияами ,4(2; -1), В(4; 3) С~-2; !). 29.
В треугольнике с нершинами 010; О), А!8: О) и В(0; 6) определить длину медианы ОС и биссектрисы О!). 12 Гл. !. Аналпти тесхая гсомстрия на плоскости 30. Найти центр масс треугольника с вершинами Л(1; — Ц, В(6; 4) и С(2: 6). Указание. Центр масс трвуго;тьника находтнся в точке пвресечения его стетттсвтт. 31. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(2; 0), В(5; 3) и С(2:, 6). 32. Показать, что точки А(1: 1), В( — 1; 7) и С(0; 4) лежат на одной прямой. 33.
Вычислить площадь четырехугольника с вершинами А(3; 1), В(4; 6), С(6, 3) . П(5."-2). 34. В точках Л( — 3: — 1) и В(4: 6) приложены параллельные силы, соотвстственно равные ЗОН и 40Н. На отрезке АВ найти точку прнлоасения равнодойствуюшей. Зб. В точках 0(0: О), Л(2; — 5) и В(4: 2) помещены соответственно массы 500 г, 200г и 100г. Определить центр масс этой системы.
30. В треугольнике с верптинаъти А( — 2: 0), В(6; 6) и С(1: — 4) определить длину биссектрисы АВ. 37. Найти центр масс треугольника с вершинами Л(лт, 'дт), В(гг; Уг) и 6 (жз. :Уз). 38. Найти центр масс четырехугольной однородной доски с вершинами А( — 2: 1), В(3; 6), С(5: 2) и О(0; — 6). У к в ванно. По формулам, .полученным в задаче 37, найти центры масс третгольников ЛВС и ЛОС и разделить расстоянии между ними н отношснии, обратном отношению плопшдсй треугольников. 39. Даны точки А(1: 2) и В(4; 4).
На оси Ох определить точку С так, чтобы плошадь слЛВС была равна 5, и построить ЬЛВС. 40. В треугольнике с вершинами А( — 2; 2), В(1; — 4) и С(4; 5) каждая сторона продолжетта в направлении обхода периметра против часовой стрелки на одну треть своей длины. Определить канны!У, ту и г' продолжений сторон и найти отнсцценис ь" площади т"'хЛ4Л'В к площади ЬЛВС. 3 3. Уравнение линии как геометрического месхи хочек Уравнением линии называется урааненис с псрсжсннмжи х и у, нотора.иу удоалсттгваряют координаты .сюбац точки атац линии и талька ани.
Вхо,тяшис в уравнение линии переменныс х и у называются тпеьутиии наордитсатстни, в буквенные постоянные пара,истрами. Например, в уравнении окртжности (задача 41) лг+ уг = Яг псрсмснные :с и у тонущие координаты, а постоянная В параметр. Чтобы составить уравнснис линии квк геометричссксяо места точшс. об:шлвняцих одинаковым свойством, нужно: !! 3. Урааненлле линни как геометрического места точек 13 1) взять произвольную (теллущую) точку ЛХ (х„у) линии; 2) записать равенством общее свойство всех точек ЛХ линии; 3) входящие в это равенство отрезки (и уллы) выразить через текущие координаты точки л14(х; у) и через данные в задаче. 41. Паказатгэ что уравнением окружности с радиусом К и с центром в начале координат будет ха + у~ = Й~.
42. Написать уравнение окруагности с центром С(3; 4) и радиусом В = 5. Лежат ли на этой окружности точки 4! — 1; 1), В(2; 3), 010; О) Х)<4; 1)7 43. Написать уравнение линии, цо которой движется точка ЛХ(х; у), равлгоудаленная от точек 4(0; 2) и В!4; — 2). Лежат ли на этой линии точки С( — 1; 1), 1)!1: — 1), Е(0; — 2) и Г)2; 2)? 44. Нацисать ураанение траектории точки л1Х(х; у), которая цри своем движении остается втрое дальше от точки х1(0; 9), чем ат точки В(0; 1). 45.
Написать уравнение траектории точки ЛХ(х; у), которая цри своем движении остается вдвое ближе к точке Л( — 1; 1), чем к точке В( — 4; 4). 46. Написать уравнении биссектрис координатных угнан. 47. Написать уравнение геометрического места точек, сумма расстояний от каждой из которых до точек Г(2; О) и Гл( — 2: О) ранна 2л)5.
Построить линию цо ее ураинению. 48. Написать уравнение геометрического места точек, равно- удаленных от точки Г(2; 2) и от оси Ох. Построить линию по ее уравнению. 49. Написать уравнение линии, ио которой движется тачка ЛХ(х; у), оставаясь вдвое дальше от оси Ох, чем от оси Оу. 50.
Построить .пплии: 1) у = 2х + 5; 2) у = 7 — 2х; 3) у = 2х; 4) у = 4; 5) у = 4 — хэ. 51, Определить точки пересечения линии у = хэ — 4х + 3 с осями координат и настроить ее. 52. Определить точки пересечения с осями координат линий: !) 3х — 2у = !2; 2) у = хэ + 4х; 3) уэ = 2х + 4.
Построим эти линии. 53. Написать уравнение геометрического леста точек, равноудаленцых ат аси Оу и от точки Г(4; О), и построить линию цо ее уравценикь 54. Написать уравнение линии, по которой движется тачка Л~Х(х; у), раннаудаленная от начала координат и от точки 4( — 4; 2). .'!ежат ли на этой линии точки В( — 2: 1), С(2; 3), 1)(1; 7)? Гл. !. Аналитическая геометрия на плоскости 55. Написать уравнение траектории точки И(х; у), которая при своем движении остается вдвое ближе к точке Л(0; — 1), чем к точке В(0: 4), Построить траекторию движения. 56.
Определить точки пересечения с осями координат линий: !) 2х + бу + 1О = 0; 2) у = 3 — 2х — хз; 3) уз = 4 — х. Построить лощин. 57. Написать уравнение геометрического места точек, равно- удаленных от оги Ох и от точки Г(0; 2), и построить линию по ее уравнениях 58. Написать уравнение геометрического места точек, разность расстояний от каждой пз которых до точек Вг( — 2: — 2) п Г(2; 2) равна 4. Построить линию по ее уравнешно. 34. Уравнение прямо!1: 1) с угловым коэффициентом, 2) общее, 3) в отрезках на осях !О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
