Минорский - Высшая математика (1108568), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Построить треуплльник, стороны которо~ о заданы уравнениями х+у = 4. Зх — у = О, х — Зу — Х = 0; найти углы и плошадь треугольника. 99. Найм« т««лку перес ечения медиан и точку пересечения высот треутольника, вершины которого А( — 4: 2), В(2; — 5) и С(5; 0). 100. Из точки Л( — 5: 6) выходит луч света под углом = агс?8 ( — 2) к оси Ох лл отражается от оси Ох, а затем от ослл Оу.
Написать уравнения всех трех лучей. б б. Нормальное уравнснис прямой 3 6.Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой. Уравнения биссектрис. Уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения двух данных прямых 1'. 1!ормапс,нос уравнение прямой ад+ у.!  — р= О, где р длина перпендикуляра (пормапи), опушенного из начала координат на прямую, а д угол наклона етого перпсндикуаяра к оси Оа. Чтобы привести общее уравнение прямой Лт + Ву + С = О к нормальному виду, нужно все чдсны сто умножить на норжируютив множитсдь 1 ЛХ = ж , взятый со знаком, противоположным знаку свобод.! + Ьсз' ного !дена С.
2'. Расстояние с1 от точки !го, уо) до прямой нопдсж, т.си а „!акую часть нораальноео урааненчл прл.ноя на летно текущих координат подстассиж ноординотьс (хо, уо) и получсннос. чиссо соас чс,ч ссо абсосютноя осличиню (2) су = ао ссоа 8+ уо а1п д р или Ива+ Вуо + С !2') Я2+ В2 3'. Уравнения биссектрис углов междупрямымиЛд+Ву+ +С=Он Ага+В!у+С! =О: 1а+ Ву+ С Ага+ В!у+ С! !3) Яй + Вз ссАв ~ ~В~ха 4'. Уравнение пучка прямых, проходящих черся точку пересечения двух данных прямых: а(г1в+ Ву+ С) + д(Ага+ В!у+ С!) = О. <4) Можно положить а = 1, иск.гючив втим из пучка (4) вторую ич !санных прямых. 101. Привести к нормальному виду уравнения прнмых: 1) Зж — 4у — 20 = 0; 2) х + у + 3 = 0; 3) д = аж + Ь.
102. Построить прямую, если длина нормали р = 2, а у!'од В наклона ее к сни От! ранен: Ц 45', 2) 135'! 3) 225'! 4) 315'. Написать уравнения зтих прямых. 103. Найт!! расстояния от точек Л(41 3), В(2; 1) и С(11 0) до прямой 3:с + 4у — 10 = О. Построить точки я прямую. 20 Гл.!. Аналпти легкая геометрия иа плоскости 104.
Найти расстояние от начала координат до прямой 12х— — 5у+ 39 = О. 105. Показатгн что пря:аыг 2х — Зу = 6 и 4х — бу = 25 параллельны, и найти расстояние между ними. У к а з а н н е. На одной из прямых взять произвольиунл точку и найти расстояиис: от нее до другой прямой. 106. Найти У из условия, что прямая у = Ух + 5 удалена от начала координат па расстояние с! = чс5. 107. Написать уравнение геометрического места точек, удаленных от прямой 4х — Зу = 0 на расстояние сХ = 4. 108.
Носташлть уравнение прямой, удаленной от гочки А(4; — 2) на расстояние с! = 4 и параллельной примой 8х — 15у = О. 109. Написать уравнения биссектрис углов между прнмыми 2г+ Зу = 10 и Зх+ 2у = 10. 110. Написать уравнения биссектрис углов между прямыми Зх + 4у = 12 и у = О. 111. Написать уравнение траектории точки ХРХ(х; у), которая при своем движении осгается втрое дальше от прямой д = 2х —:1, чем от прямой у = 4 — 2х.
112. Налягать уравнение прямой, проходящей через точку ЛХ пересечения прямых 2х + у+ 6 = О и Зх + 5у — !5 = 0 и через точку лд(1, — 2) (не находя точки М), 113. Написать уравнение прямой, проходяшей через точку ЛХ пересечения прямых 5х — у+ 10 = 0 и 8х+ 4д+ 9 = 0 и параллельной прямой х+ Зу = 0 (не находи точки ЛХ). 114. Найти длину высоты ВХЗ в треуголылике с вершинами А( — 3, :0), В(2; 5)и С(3; 2). 115. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(2; 4) и удаленной от яачала координат па рагстояние с! = 2. 116.
Проверить, что точки А( — 4: — 3), В( — 5; 0), С(5; 6) и Х1(1; 0) служат вершинами трапеции, и найти ее высоту. 117. Через начало координат проведена прнмап на одинаковом расстоянии ат точек А(2; 2) и В(4: 0). Найти это расслояние. 118. Написать уравнения гсометрическсп о места точек, удаленных от прямой т: + 2у — 5 = О на расстояние, равное ллс~5. 119. Написать уравнение траектории точки ЛХ(х; у), которая при своем движении остается вдвое дальше от прямой у = х, чем от я!лимой д = — х. 120. Написать уравнение прямой, проходящей лерез точку ЛХ перегечеиия прямых 2х — Зу+ 5 = 0 и Зх + у — 7 = 0 и перпендикулярной к прямой у = 2х (ие находя точки Ы). 5 7.
Сзтсшанныс задачи на яряътт ю 2! 3 7. Смешанные задачи на прямую 121. Через начало координат провести прямую, образующую с прямыми т, + у = а, и х = 0 треугольник площадью ат. 122. Даны точки Л( — 4; 0) и В(0; 6). Через герелииу отрезка АВ провести прямую, отсекаюшую на оси Ох отрезок, вдвое больший, чем на оги Оу. 123. Даны точки Л( — 2; 0) и В!2; — 2).
На отрезке ОА построен параллелограмм ОЛСВь ттлаготтали которого пересекаютгя в точке В. Написать уравнения сторон, диагоналей параллелограмма и найти угол САХА. 124. Найти углы и плошадь треугольника, образованного прямыми у = 2х. у = — 2т и у = т + Ь. 125. Из начала координат проведены лве взаимно перпендикулярньте прямые, образующие с прямой 2х+у = а, равнобедренный треугольник. Найти плошадь этого треугольника.
126. Найти внутренние углы треугольника, если ланы уравнения его сторон: (АВ) х — Зу+ 3 = 0 и (АС) з + Зд+ 3 = 0 и основание!)! — 1:, 3) высоты АВь 127.;.!аны уравнения ооковых сторон равнобедренного треугольника Зх+д = 0 н х — Зу = 0 н татка (5; О) на его от:ноттании.
Найти периметр и плошадь треугольника. 128. Н треугольнике ЛВС ланы: 1) уравнение стороны (ЛХ!) Зх + 2у = 12; 2) уравпсние высоты (ВЛ1) х+ 2у = 4; 3) уравнение высоты (ЛЛХ) 4т. + у = 6, гле ЛХ точка пересечении высот. Нависать уравнения сторон ЛС, ВС и высоты СЗХ. 129. Две ттороны параллелограмма заданы ураттнсниями д = = х — 2 и бу = х+ 6. Диагонали его пересекаются в начале координат. Нависать уравнения двух других сторон параллелограмма и его диагоналей. 139. Дан треугольник с ттсрщинами Л(0; — !), В(3; 0) и С!О; 6).
Найти расстояние вершины С от биссектрисы угла Л. 131. Написать уравнение траектории точки 5Х!х; д), лвиюущейся так, что сумма расстояний от нее ло прямых д = 2х и у = — хтт2 остается постоянной и равной т75. 132. Построить об:,тасти, координаты точек которых удовлетворяют неравенствам: 1) х — 2<у<Оих)0: 2)-2<у<т<2; 3) 2 < 2т, + у < 8, х ) 0 и у ) О. 133. Стороны А В и ВС параллелограмма заданы уравнениями 2т, — у+5 = 0 и х — 2у+4 = О, диагонали его пересекаются в точке т!Х(1; !).
Найти клины его высот. 134. Найти вершины прямоугольного равнобедренного треугольника, если дава верштлна прямого угла С(3; — Ц и уравнение гипотенузы Зх — д+ 2 = О. Гл.!. Аналитическая геометрия на плоскости 135. Даны две вершины треугольника А( — 1; 3) и В(4; — 1) и точка пересечения высот ЛХ(3; 3), Найти третью вершину С. 136. Вычислить координаты вершины ромба, если известны уравнения двух его сторон: х+ 2у = 4 и:с+ 2д = 10, и уравнение одной из его диагоналей: у = х + 2. 137. Наставить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину Л(0; 2) и уравпспия высот". (ВЛ1) х + у = 4 и (СМ) у = 2х, где М точка пересечения высот. 138.
Даны прямая х + 2у — 4 = 0 и точка Л(5: 7). Найти: 1 проекни5о В точки Л на данную прямую; 2) отражение С точки в данной примой. У к а з а н и с. Написав уравнение перпендикуляра ЛВ и решив сто совместно с уравнением данной примой, найдем точку В, которая есть середина АС. 139. Дана прямая 2х + у — 6 = 0 и на ней две точки А и В с ординатами ул = 6 и 5ун = — 2. Написать уравнение высоты АВ треугольника АОВ, найти се длину и х'.1)ЛВ. 3 8.
Окружность Уравнение окру жн ости с центром в точке С(а; о) и радиусом, равным уй ( )2 г( б)2 В2 Если в уравнении (1) раскрыгт скобки, то оцо примет вид х~+ д~+ шх+ ну+ р = О. (2) Чтобы от уравнения (2) опять перейти к уравнению вида (1), нужно в левой части уравнения (2] выделить полные квадраты: (х+ — ) + (д+ —,) = — + — — р. (3) 140. Написать уравнение окружности с центром С( — 1; 3), радиусом В = 5 и построить се. Депсат ли на отой окружности точки Л( — 1; — 1), В(3; 2), О(0; 0)? 141.
Чана точка ( — 4; 6). Написать уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок ОА. 142. Построить окрув'ности: 1) хт + дт — 4х + бу — 3 = О; 2) .сз + у' — 8х = О. 3) хз + ух + 4у = О. 143. Построить окружность хз+ уз + 5 г = О, прямую т, + у = 0 и найти точки их пересечения. 144. Написать уравнение окружности, касающейся осей каордпнат и проходящей через точку А(1: 2). з Г8. Окружность 145. Найти чсол между радиусами окружности ха+ уз+ 4хв — бу =- О, проведенными в точки пересечения ее с осью Од.
146. Написать уравнесиле окружности, проходящей через точки А(-1: 3), В(0: 2) и С(1: -!). Указание. Написан уравнение исссослой окруаспости в виде х~ + + у + псх + ну+ р = О, полстанпть в него координаты каждой точки и затем найти т, п и р. 147. Написать уравнеяие окружности, проходящей через точки пересечения окружности х~+ у~+ !т, — 4у = 0 с прямой у = — х и через точку Л(1; 4). Ы8.0 54.
С.С 8 .» «й Му — — ' — Š— 3*. !!остроить кривую. 149. Написать травненнс касательных к окружности ха+ дав — 8х — 4д+ 16 = О, проведенных из начала ссоордслнат. 150. Дана точка А(а; 0). Точка ЛХ движется так, что в Е~ОЛХА угол ОЛХЛ остается прямым. Определить траекторсси> движения точки 1Х. 151.;!аны точки Л( — 6; 0) и В(2; 0). Найти геометрическое место точек, из которых отрезки ОА и ОВ видны под равными углами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
