С.П. Стрелков, Д.В. Сивухин, В.А. Угаров, И.А. Яковлев - Сборник задач по общему курсу физики. Т1. Механика (1108148), страница 45
Текст из файла (страница 45)
В частности, оно не влияет на поле в точке А. Гравитационное поле в точке А создается только веществом, сосредоточенным внутри вспомогательной сферы. Оно равно Сгп/ге, где гп — масса вещества, ограниченного вспомогательной сферой. Таким образом, ,33 4яС 11з С, = —, р, еслиг>Л, 3 гп 4яС С вЂ” = рг, если г. < В. '„г 3 (505.1) При г = П оба выражения совпадают. 506.
Р е ш е н и е. Гравитационная энергия шара Рис 238 есть потенциальная энергия, обусловленная силами тяготения, действующими между материальными точкамн, на которые можно мысленно разбить шар. Она равна взятой с противоположным знаком работе, которую должны затратить внешние силы, чтобы привести вещество шара в бесконечно разрозненное состояние, когда каждая частица вещества удалена в бесконечность. Эта работа не зависит от способа, каким шар переводится из начального состояния в конечное.
Поэтому при вычислении можно поступить следующим образом Разделим мысленно весь шар на бесконечно тонкие концентрические слои и будем последовательно удалять в бесконечность каждый нз таких слоев, начиная с самого крайнего Напряженность поля тяготения в любой точке выделенного слоя, создаваемая веществом, внешним по отношению к этому слою, равна нулю. Поле создается только веществом, которое окружено рассматриваемым слоем Если кч — масса этого вещества, а г1гп — масса слоя, то работа, затрачиваемая на удаление слоя в бесконечность, равна г)А =.
Сгп бт)г. Но для однородного шара ни =- з = М(г(К), где 37 — масса всего шара. Поэтому г(А = ЗС вЂ” г г(г. Учитывая, и ' 11з что 8.4 .=- — г(ГГ и интегрируя, получим Сдуе 1, „3 Сдр Л" ~ 5 11 о За нуль потенциальной энергии мы приняли энергию шара в бесконечно разрозненном состоянии. 3СУг ы 507.
1 = — = 5,9 !Оы с = 1,9 1Ог лет. 5 ВР 508. Ре ш е н и е. Вообразим, что полость заполнена веществом, плотность которого равна плотности шара. Тогда искомое гравитационное поле 8 представится разностью гравитационных полей двух сплошных шаров с центрами в О и Ог соответственно. Точка наблюдения А расположена внутри каждого из этих шаров. Поэтому можно воспользоваться формулой (505.1) и написать 4гг г 4я х 4я 8 = — Рг — ( — Ргг) = — РК, 3 (, 3,) 3 где К вЂ” радиус-вектор, проведенный из центра шара О к центру полости Ог.
Поле однородно, т.е, во всех точках полости одинаково по величине и направлению. пгягз 3 509. ГГ(г) = — — тдЛе, где гп — масса тела и г — расстояние его 2йгг 2 от центра Земли. 199 98. Тяготение Решение. Внутри шахты (см, задачу 505) сила тяготения 1 = «пав поэтому (Х(г~) — (Х(0) = ~ Х'81 = ', или о'(г~) = Р(0) Ч- о Можно выбрать величину ХХ(0) так, чтобы значение потенциальной энергии по формуле, приведенной в задаче 452, совпадало с полученным на поверхности Земли при г~ = Во, тогда О(Во) = ХХ(0) ч- е = — тпдйо, или ХХ(0) = — — гггпВо. 2 2 5!О.
г = ЛЯК = 7, 2 кмус. У к а з а н и е. См. задачу 509. 511. Все тела в снаряде, находясь в том же поле тяготения, что и снаряд, испытывают такое же, как снаряд, ускорение, поэтому тело, подвешенное к неподвижным относительно снаряда пружинным весам, не вызовет их растяжения. Массу тела можно измерить, например, так. С помощью пружины можно сообщить телу некоторое ускорение относительно снаряда, и по отношению силы (отсчитываемой по растяжению пружины) к ускорению можно найти массу тела (предполагается, что масса снаряда много больше измеряемой массы).
512. Весы покажут «вес» Р = тв, Подвешенные в снаряде пружинные весы будут в этом случае растягиваться в направлении, противоположном ускорению снаряда (вызванному сопротивлением атмосферы планеты). 513. Если бы не было сопротивления воздуха, то приборы в снаряде перестали бы регистрировать наличие силы тяжести при выходе снаряда из жерла орудия Вследствие сопротивления воздуха снаряд получает дополнительное отрицательное ускорение, а приборы, находящиеся в снаряде, регистрируют силу «тяжести», направленную в сторону, противоположную испытываемому снарядом ускорению, т.е, в сторону движения снаряда. 514.
Линейная скорость движения любого спутника по орбите обратно пропорциональна квадратному корню из расстояния спутника от центрального тела. Линейная же скорость элементов сплошного кольца, наоборот, прямо пропорциональна их расстоянию от центрального тела Я а О Рис. 239 5!5. Решение. Пусть центр масс тел А и В находится в точке О (рис. 239). Неизменное расстояние между телами А и В будет сохраняться 1 С:(Лул + Л1в) только при вращении их с угловой скоростью ш =— вокруг точки О. Условия равновесия тел С и Р во вращающейся (связанной с телами А и И) системе координат запишутся так. ОЛХА з ОЛ|в т ЛХс~ —,, ч- ш ( — а — г) «'- 1 «- Гс = О, ( — г)з ОЛХл ОЛХв т ЛХв ~ — — — — „- + ш ( — а + г) — — — — г + Рв =- О, (11+ г)з гз 200 Ответьг и решения где положительное направление выбрано от А к В, Уст и Х й — искомые силы, С вЂ” постоянная тяготения. Исключая «ц, принимая во внимание соотношение аш' = ГЛХпггйа и пренебрегая членами высших порядков относительно г,ГВ, получаем окончательно: Го = СЛХс( — .
+ , (ЗЛХл -г Л(в))~ г Лдп В =СЛ(о( —, — —,(зг!Х +ЛХв)), яз т.е. при Л(с = ЛХп обе силы меньше силы притяжения этих масс телом В на одинаковую величину. 5!6. Решение. В задаче 5!5 можно рассматривать А как центр Солнца и ЛХл как его массу,  — как центр Земли и Луп — как ее массу, С и Р— как два положения одного и того же тела массы ЛХо = ЛХп на поверхности Земли (С вЂ” днем, Р— ночью) (см рис. 239). Из решения этой задачи следует, что все тела будут в полночь и в полдень весить немного меньше, чем утром и вечером. Но эта разница в весе, как легко видеть, гораздо меньше, чем сила притяжения Солнца, так как сила притяжения Солнца СЛХгтЛХл/)Х~ умножается на очень малую величину Зг,г«с.
(Массой Земли ЛХп по сравнению с ЗЛХл, где Лйл — масса Солнца, при оценке изменений веса, конечно, можно пренебречь.) 517. Схему задачи 515 можно применить к объяснению происхождения приливов, вызываемых Луной. Луна А и Земля В вращаются вокруг общего пентра масс О (см. рис.
239). В точках С и Р на поверхности Земли, где вода «весит« меньше, чем во всех других точках, образуются водяные «горбы«. Для расчета приливообразуюгцей силы подставим вместо ЛХл и Л(н соответственно массы Луны и Земли. Тогда из формул, полученных в задаче 515 (так как массой Луны по сравнению с массой Земли можно пренебречь), найдем приближенно вес тела массы ЛХ в ближайшей к Луне и в наиболее удаленной от нее точках земной поверхности ЛХ~=ЛХд,~~ — 3( — „') '— ";~, где до — ускорение, сообщаемое Землей, г — радиус Земли,  — расстояние от центра Земли до центра Луны. 5!8. Точка, в которой д =- О, делит отрезок прямой линии между центрами этих планет в отношении 9: ! и, следовательно, лежит на расстоянии— = 36,7 !Оз км от поверхности Луны.
519. А = 6, 12.!О кгс.м. Решение. Минимальная работа по перемещению массы т с Земли на Луну может быть записана следующим образом: А = тйздз — гпйлпт, где ХХз и Вл — радиусы Земли и Луны, дз и Лот, соответвенно, ускорения свободного падения на поверхности этих планет, вызванные силами тяготения самих планет (см. решение задачи 473). 9 9. Упругие деформации 520. р = 2450 кгсусм . 521. Нет. Длина цилиндра, который не выдержит собственного веса, равна 1 = р)рйг, где р — напряжение разрыва, а р — плотность материала, 1 = 175 м. 99. Упругие деформации 201 ( и) ?йр 5 10 4 Ы 2 Е!1 530.Р =рр, — = —., (14р), — = — — „(1 — р),и= —.(1 — р).
рР Лв Р Рв р Е Е 2Е 4Р 4й! 2й 531.Ы!=2Ыв=,р!= Р,Р2= Р. й! 1-41с! ' й! -1-4/г! ' йз -1-4й! 532. Деформации (удлинения) тросов показаны на рис. 240 в увеличенном виде. Если длина среднего троса Ь, то относительные удлинения первого и третьего тро- ! 2 3 Л1! Л!в СОВ Е! = Е! = — СОВО, Втойосо 1, Е Л1! Напряжение гг = Ее для каждого Ьсово а а троса, Š— модуль Юнга материала.
Поэтому гг! = ггз = аз сов о. 2 Л?2 ' 533. Силы натяжения среднего троса Рв, бокового троса Р!! ~( Л1! Ц!,' Л1 ! Рсоьз о ! 1 -1- 2 сов" о Р Рз = 1 -1- 2 сова о Рис. 240 3 а и е ч а н и е. Полезно рассмотреть случай, когда сечение среднего троса в два раза меньше, чем крайних.
522. р = Егг(1! — 12), р„в = + 1000 кгс?смв (растяжение) и рм„= — 375 кгс/смв (сжатие). 523. 1д = 27 мм. 1 — 2и 524. Ь(г = 1Р, где Š— модуль Юнга, р — коэффициент Пуассона. Е 2з)' ( 0 при сжатии, 2'.г(г > 0 при растяжении. 525. (;) =, а р= 11,7 10' кгс. 3 3 2 526. Ы = ру(,г2Е, где р — плотность вещества стержня, 1 — его длина, 2 1 — 2р 2 Š— модуль Юнга; объем увеличивается на 2з)г =, 'го рд, где го— 2ЯЕ первоначальный объем, р — коэффициент Пуассона, Я вЂ” поперечное сечение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
