Программа экзамена по линейной алгебре и геометрии (1106691)
Текст из файла
Программа экзамена по линейной алгебре и геометрии(весенний семестр 2004/05 учебного года, I поток)Лектор Мануйлов В.М.1. Линейное пространство. Определение, примеры. Линейная оболочка. Аффинное пространство.2. Линейная (не)зависимость системы векторов. Ранг системы векторов. Размерность. Базис.
Координаты.3. Подпространство. Факторпространство. Теорема о сумме размерностей подпространства и факторпространства.4. Пересечение и сумма подпространств. Теорема об их размерностях. Прямая сумма двух и более подпространств. Внешняя прямая сумма.5. Двойственное пространство. Двойственный базис. Пример: двойственное пространство к пространствумногочленов степени не выше n и его базис.6. Изоморфизм линейных пространств. Изоморфность линейных пространств одинаковой размерности.
Второе двойственное пространство. Канонический изоморфизм между пространством и его вторым двойственным.7. Линейные отображения. Ядро и образ линейного отображения. Теорема о сумме размерностей ядра иобраза. Матрица линейного отображения. Зависимость от базиса.8. Линейные операторы. Ядро и образ оператора. Инвариантное подпространство. Ограничение оператора ифактор-оператор. Вид матрицы оператора, обладающего инвариантным подпространством.9.
Собственные значения и собственные векторы. Существование нетривиальных инвариантных подпространств в случае алгебраически замкнутого поля.10. Операторы проектирования. Их алгебраическая и геометрическая характеризация.11. Нильпотентные операторы. Теорема о нормальной форме для нильпотентного оператора.12. Собственные значения и собственные векторы. Корневые подпространства. Аннулирующий многочлен.Минимальный многочлен.13.
Теорема Гамильтона-Кэли (доказательство для случая алгебраически замкнутого поля).14. Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств (для случая алгебраически замкнутогополя).15. Теорема Жордана о приведении к нормальной форме.16. Овеществление и комплексификация. Канонические изоморфизмы (VC )R ∼= V ⊕ V , (VR )C ∼=V ⊕V.17. Существование одномерных или двумерных инвариантных подпространств у операторов над R. Вещественная жорданова нормальная форма.18.
Евклидовы и эрмитовы (унитарные) пространства. Неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника.19. Процесс ортогонализации. Ортогональное дополнение. Проекция и ортогональная составляющая.20. Расстояние от вектора до подпространства, угол между вектором и подпространством.21. Метод наименьших квадратов.22. Определитель Грама G(a1 , . . . , an ). Объем n-мерного параллелепипеда.
Связь между G(f (a1 ), . . . , f (an )) иG(a1 , . . . , an ), где f — оператор. Критерий невырожденности матрицы Грама. Критерий для матрица бытьматрицей Грама.23. Изоморфизмы евклидовых (унитарных) пространств. Операторы, сохраняющие скалярное произведение.Изометрии. Частичные изометрии.24. Канонический вид унитарного оператора.125. Канонический вид ортогонального оператора.26. Самосопряженные и кососимметрические операторы, их канонический вид.27.
Нормальные операторы, связь нормальности с диагонализируемостью.28. Неотрицательные операторы. Неотрицательность квадратного корня из неотрицательного оператора.29. Полярное разложение операторов.30. Билинейные, полуторалинейные, квадратичные функции. Канонический изоморфизм B(V ) ∼= L(V, V ′ ).Правое и левое ядро. Невырожденность.31. Матрица билинейной (полуторалинейной) функции, ее изменение при заменах базиса. (Анти)симметричные и эрмитовы функции.32. Ортогональное дополнение относительно (анти)симметричной билинейной (эрмитовой полуторалинейной)функции. Его размерность.
Сумма подпространства и его ортогонального дополнения. Второе ортогональное дополнение.33. Нормальный вид (анти)симметричных билинейных функций над полями R и C, эрмитовых полуторалинейных функций.34. Теорема инерции. Теорема Якоби. Критерий Сильвестра.35. Вещественная и мнимая части псевдоэрмитова скалярного произведения как псевдоевклидово и симплектическое скалярные произведения.36. Группы O(p, q), U (p, q), Sp(2m). Частные случаи. Связь между этими группами.37. Изотропные подпространства в симплектическом пространстве. Лагранжевы подпространства. Существование для любого изотропного подпространства содержащего его лагранжева подпространства.38.
Существование для лагранжева подпространства L в симплектическом пространстве V лагранжева подпространства L′ , дополняющего L до V .39. Приведение симметрической билинейной функции к каноническому виду в евклидовом пространстве.40. Приведение пары квадратичных функций к диагональному виду. Обобщенный характеристический многочлен. Теорема об одновременном приведении одной квадратичной функции к каноническому виду, адругой (положительно определенной) — к нормальному виду.41. Тензоры. Полилинейные функции. Примеры. Тензорное произведение тензоров. Базис в пространстве тензоров.42.
Свертка тензоров. Поднятие и опускание индексов в случае евклидова пространства.43. Симметричные и кососимметричные тензоры. Симметризация и альтернирование. Внешнее умножение,его свойства.44. Базис в пространстве кососимметрических тензоров. Связь между линейной зависимостью и тривиальностью внешнего произведения.2.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
