Программа экзамена по линейной алгебре 2 семестр (1106689)
Текст из файла
Программа экзамена по линейной алгебреЛектор — Е. Г. СкляренкоII семестр, 2003 г.1. Векторные пространства, примеры. Подпространства и линейные подмногообразия. Факторпространства.2. Линейная зависимость и независимость векторов. Свойства разложения векторов по линейно независимымсистемам, признаки зависимости векторов.3. Ранг множества векторов, его свойства.
Размерность, базисы, координаты. Размерность факторпространства.4. Теоремы об изоморфизме векторных пространств. Изоморфизм факторпространства дополнительномупространству.5. Суммы и пересечения подпространств. Размерность суммы.6. Прямые суммы двух и более подпространств. Внешняя прямая сумма.7. Аффинные пространства, их однородность. Координатный репер. Координаты точек и векторов.8.
Переход к новым координатам: преобразование координат точек и векторов. Формулы и матрицы перехода.9. Подпространства аффинного пространства, способы задания. Параллелепипеды. Подпространства какмножества решений систем линейных уравнений.10. Взаимное расположение двух подпространств в аффинном пространстве (пересечение, параллельность,скрещиваемость).11.
Деление отрезка в заданном отношении, координаты делящей точки.12. Теоремы об изоморфизме аффинных пространств. Эквивалентность понятий аффинного и векторногопространства.13. Скалярное произведение векторов. Евклидовы векторные и точечные пространства. Линейная независимость ортогональных векторов. Процесс ортогонализации. Ортонормированные базисы и реперы.14. Теоремы об изоморфизме для евклидовых векторных и точечных пространств.
Следствия (длина вектораи расстояние между точками, неравенство треугольника, угол между векторами, перпендикулярность ортогональных векторов, теорема Пифагора, неравенство Коши – Буняковского). Примеры. Изоморфизмыкак изометрии.15. Ортогональное дополнение к векторному подпространству, его свойства. Угол между вектором и подпространством, расстояние от вектора до подпространства.16. Проектирование вектора на подпространство.
Коэффициенты Фурье. Метод наименьших квадратов.17. Нормальный вектор к гиперплоскости, расстояние от точки до гиперплоскости и между параллельнымигиперплоскостями.18. Объём k-мерного параллелепипеда и определитель Грама, свойства определителя Грама.19. Линейные отображения векторных пространств, координатная запись. Векторное пространство линейныхотображений.
Композиция линейных отображений, матрица композиции.20. Ядро и образ линейного отображения, их размерности. Условия изоморфизма.21. Линейные операторы, координатная запись. Зависимость матрицы от выбора базиса (в том числе в тензорной записи).22. Кольцо линейных операторов, изоморфизм кольцу матриц. Условия невырожденности.23. Инвариантные подпространства, влияние на вид матрицы.
Инвариантные подпространства над полямидействительных и комплексных чисел. Ступенчатый вид матрицы оператора.24. Собственные векторы и значения оператора. Собственные подпространства, в том числе для различныхсобственных чисел.25. Характеристический многочлен. Кратность корня и размерность собственного подпространства. Условиядиагонализируемости матрицы оператора. Свойства жордановых клеток.26.
Существование и единственность жордановой (нормальной) формы матрицы оператора над алгебраическизамкнутым полем.127. Корневые подпространства, свойства и связь с жордановой формой.28. Аннулирующие многочлены, минимальный многочлен. Теорема Гамильтона – Кэли.29. Комплексификация пространства и линейного отображения. Нормальная форма матрицы вещественногооператора.30. Матричная интерпретация рекуррентных формул и жорданова форма.31. Линейные отображения и преобразования аффинных пространств, аналитическая запись. Частные случаи.Аффинные преобразования и понятие об аффинной классификации.32. Пространство линейных функций.
Дуальный (сопряжённый) базис. Переход к другому базису и преобразование координат линейных функций.33. Взаимная сопряжённость пространства и пространства линейных функций на нём.34. Дуальные линейные отображения и операторы в пространствах линейных функций.
Взаимная дуальностьс основными отображениями.35. Билинейные функции, их координатная запись. Полуторалинейные функции. Базисные функции, отвечающие базису подпространства.36. Зависимость матрицы билинейной (полуторалинейной) функции от выбора базиса (в том числе в тензорнойзаписи).37. Билинейные функции и линейные отображения векторного пространства в пространство линейных функций.38. Симметричные, кососимметричные и эрмитовы функции. Совпадение ядер.39. Ортогональность векторов и подпространств относительно симметричных, кососимметричных и эрмитовых функций.
Свойства ортогональных дополнений.40. Нормальный вид симметричных, кососимметричных и эрмитовых функций.41. Единственность нормального вида, симметрической кососимметрической и эрмитовой функций. Законинерции для симметричных и эрмитовых функций.42. Квадратичные функции и их связь с билинейными, нормальный вид. Приведение к нормальному видувыделением полных квадратов.43.
Метод Грама приведения к нормальному виду и теорема Якоби.44. Положительно определённые симметричные и эрмитовы функции. Критерий Сильвестра.45. Симметричные, антисимметричные и эрмитовы скалярные произведения. Псевдоевклидовы, эрмитовы исимплектические векторные пространства. Теоремы об изоморфизме. Ортонормированные и симплектические базисы, связь с координатами векторов.46.
Естественный изоморфизм пространства со скалярным произведением своему пространству функций (общий вид линейной функции на пространстве со скалярным произведением).47. Изотропные векторы и подпространства. Линейная независимость ортогональных неизотропных векторов.Ортогональное дополнение. Определитель матрицы Грама. Процесс ортогонализации.48. Симплектические векторные пространства. Гамильтоновы базисы. Изотропные подпространства.49. Унитарное пространство. Неравенство Коши – Буняковского, неравенство треугольника.50.
Переход к новым ортонормированным или симплектическим координатам. Специальные группы матриц(ортогональных, псевдоортогональных, унитарных, псевдоунитарных, симплектических).51. Операторы, сохраняющие скалярные произведения (ортогональные, псевдоортогональные, симплектические, унитарные, псевдоунитарные), их матрицы. Изометрии.
Группы операторов.52. Канонический вид ортогонального и унитарного операторов, его единственность. Собственные подпространства. Ортогональные преобразования точечных пространств.53. Группы O(1), O(2), U (1), Sp(2), O(1, 1). Псевдовращения плоскости. Трёхмерное псевдоевклидово пространство.54. Овеществление комплексного пространства и оператора.
Псевдоевклидова и симплектические структуры,определяемые эрмитовым пространством.55. Овеществление псевдоунитарного оператора. Группа U (p, q) как пересечение O(2p, 2q) ∩ Sp(2p + 2q).56. Существование и единственность сопряжённого оператора в пространстве со скалярным произведением,его свойства. Сопряжённость для оператора, сохраняющего скалярное произведение. Связь с дуальнымиоператорами в пространстве линейных функций.57.
Самосопряжённые операторы в евклидовом и унитарном пространстве. Канонический вид. Свойства собственных векторов и подпространств.258. Естественный изоморфизм пространству операторов пространств билинейных и полуторалинейных функций на пространствах со скалярным произведением. Канонический вид симметрической (эрмитовой) функции на евклидовом (унитарном) пространстве. Приведение к каноническому виду уравнения гиперповерхности второго порядка.59.
Полярные разложения оператора в композиции самосопряжённых и ортогональных (унитарных).60. Инварианты пары квадратичных форм, одна из которых положительно определена. Их каноническийбазис.61. Тензоры. Примеры. Тензоры и полилинейные функции. Пространства тензоров.62. Умножение тензоров. Базисы и координаты в пространствах тензоров.63. Свёртка тензоров. Примеры.64. Опускание и поднятие индексов тензора для пространства со скалярным произведением. Примеры.65. Симметрия и косая симметрия тензоров и их координат.
Операции симметрирования и альтернирования.66. Кососимметричные тензоры. Операция внешнего умножения, свойства.67. Простые поливекторы (и внешние формы), их координаты. Примеры. Плюккеровы координаты подпространства.68. Базис и размерность пространства поливекторов (внешних форм).Последняя компиляция: 28 октября 2005 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.3.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
