Вопросы к экзамену для второго потока (А.В. Овчинников) (1106313), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Каноническоеуравнение кривой находить не требуется.17. Используя ортогональные инварианты, определите тип кривой,заданной уравнением 15x2 + 24xy + 15y 2 + 30x − 24y + 20 = 0.Каноническое уравнение кривой находить не требуется.18. Используя ортогональные инварианты, определите тип кривой,заданной уравнением 15x2 − 16xy + 15y 2 − 62x − 44y − 13 = 0.Каноническое уравнение кривой находить не требуется.11Список вопросов и задачко второй части экзамена1.2.3.4.5.6.7.8.9.2.1. Векторы.Выведите формулу для вычисления векторного произведениявекторов в ортонормированному базисе.Выведите формулу двойного векторного произведения.На сторонах треугольника ABC взяты соответственно точки Mи N так, что |AM| : |BM| = m1 : n1 , |AN| : |CN| = m2 : n2 .Найдите отношения |BO| : |ON| и |CO| : |OM|, где O — точкапересечения отрезков [BN] и [CM].Пусть A1 (r1 ), A2 (r 2 ), A3 (r 3 ) — точки, не лежащие на одной прямой.
Докажите, что точка B(r) лежит внутри треугольникаA1 A2 A3 тогда и только тогда, когда r = α1 r 1 + α2 r 2 + α3 r 3 ,где α1 , α2 , α3 ∈ [0; 1] и α1 + α2 + α3 = 1.Докажите, что три отрезка, соединяющие середины скрещивающихся рёбер тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятсяэтой точкой пополам.Однородная пластинка OADEC получена из прямоугольникаOACB со сторонами, равными 2a и 2b, от которого отрезан треугольник ECD, где D и E — середины сторон [AC] и [BC] соответственно. Найдите координаты центра масс пластинки в системе координат с началом O и осями, направленными вдоль−→ −→сторон OA и O .Разложите вектор a на две составляющие, одна из которых лежит в плоскости, перпендикулярной вектору n, а другая перпендикулярна этой плоскости.Решите векторное уравнение [x, a] = b (здесь a 6= 0, b — заданные векторы) и укажите необходимое и достаточное условиесуществования решения.Дан трёхгранный угол OABC с вершиной O, известны его плоские углы ∠BOC = α, ∠COA = β, ∠AOB = Γ.
Обозначим черезA, B, C его внутренние двугранные углы, противолежащие граням BOC, COA, AOB соответственно. Докажите, чтоsin αsin βsin γ==.sin Asin Bsin C10. Рассматривается система уравнений[a1 , x] = b1 ,[a2 , x] = b2 ,где a1 и a2 не коллинеарны. Покажите, что условия(a1 , b1 ) = 0,(a1 , b1 ) = 0,(a1 , b2 ) + (a2 , b1 ) = 012необходимы для разрешимости этой системы. Найдите общее решение этой системы при выполнении этих условий и дополнительного условия (a1 , b2 ) 6= 0.11.
Докажите тождество [a, b], [b, c], [c, a] = (a, b, c)2 .12. Докажите тождество abc(a, b, c)[x, y] = (a, x) (b, x) (c, x) . (a, y) (b, y) (c, y) 13. Докажите тождество (x, a) (x, b) (x, c) (x, y, z)(a, b, c) = (y, a) (y, b) (y, c) . (z, a) (z, b) (z, c) 14. В треугольнике ABC точка D делит сторону [AB] в отношенииλ (т.е. |AD| : |DA| = λ). Выразите длину отрезка [CD] черездлины сторон треугольника (a = |BC|, b = |AC|, c = |AB|) ичисло λ.15. В прямоугольном треугольнике ABC опущен перпендикуляр−−→[CH] на гипотенузу [AB]. Выразите вектор CH через векторы−−→−→a = CB и b = CA.16.
В треугольнике ABC проведена высота [AH]. Выразите вектор−−→−→−→AH через векторы b = AB и c = AC.1.2.3.4.5.6.7.8.2.2. Матрицы.Пусть матрицы A и B таковы, что оба произведения AB иBA существуют, т.е. A ∈ Rm×n и B ∈ Rn×m . Докажите, чтоtr(AB) = tr(BA).Найдите все матрицы второго порядка, квадраты которых равны (а) нулевой матрице; (б) единичной матрице.Пусть Ak = O. Докажите, что (I − A)−1 = I + A + A2 + · · · + Ak−1 .Матрица A такова, что A2 + A + I = O. Докажите, что A обратима, и найдите A−1 .Известно, что матрицы A и B обратимы и коммутируют.
Докажите, что A−1 и B −1 также коммутируют.Пусть X, Y — столбцы одинаковой высоты и A = XY T . Докажите, что существует такое число p, что A2 = pA.Матрицы A и B симметричны. Докажите, что матрица AB симметрична тогда и только тогда, когда A и B коммутируют.Матрицы A и B кососимметричны.
Докажите, что матрица ABсимметрична тогда и только тогда, когда A и B коммутируют.139. Матрицы A и B кососимметричны. Найдите необходимое и достаточное условие кососимметричности произведения AB.10. Пусть A ∈ Rn×n (т.е. A — вещественная квадратная матрица).Докажите, что из равенства tr(AT A) = 0 вытекает, что A = O.11. Докажите, что равенство AB − BA = I невозможно.2.3. Определители второго и третьего порядка.1.
Докажите, что площадь параллелограмма, сторонами которогоявляются векторы a и b с координатами (a1 , a2 ) и (b1 , b2 ) (относительно некоторого ортонормированного базиса) соответственно,равна a1 a2 .S = ±b1 b2 2. Докажите, что площадь треугольника с вершинами в точкахA(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ), C(x3 , y3 ) равнаx1 y1 11S = ± x2 y2 1 .2 x y 1333. Пусть все элементы матрицы A второго порядка являются дифференцируемыми функциями одной переменной x, так что определитель det A этой матрицы также является функцией от x. Докажите, что det A — дифференцируемая функция, причём имеетместо формула a(x) b(x) ′ a′ (x) b′ (x) a(x) b(x) c(x) d(x) = c(x) d(x) + c′ (x) d′ (x) .4.
Для всех значений параметра p решите систему уравнений(p + 3)x +15y = p,px + (p + 4)y = p − 2.5. Для всех значений параметра p решите систему уравнений(p + 2)x +2py = 4,5x + (p + 3)y = 5.6. Пусть A — квадратная матрица порядка 3, B = adj A — её присоединённая матрица. Выразите det B через det A.142.4. Прямые и плоскости.1. Найдите площадь треугольника ABC, стороны которого заданыуравнениямиA1 x + B1 y = D1(сторона [BC]),A2 x + B2 y = D2(сторона [AC]),A3 x + B3 y = D3(сторона [AB]).2. Докажите, что если три прямые A1 x+B1 y = D1 , A2 x+B2 y = D2 ,A3 x + B3 y = D3 пересекаются в одной точке, тоA1 B1 D1 A2 B2 D2 = 0.A3 B3 D3 3. Составьте полярное уравнение прямой, проходящей через точкиM1 (r1 , ϕ1 ) и M2 (r2 , ϕ2 ).4.
Найдите необходимое и достаточное условие, при котором прямые в пространстве r = r 1 +ta1 и r = r 2 +sa2 : (а) скрещиваются;(б) пересекаются в единственной точке; (в) параллельны, но несовпадают; (г) совпадают.5. Прямая задана как пересечение двух плоскостей (r, n1 ) = D1 и(r, n2 ) = D2 . Запишите уравнение этой прямой в виде [r, a] = b(т.е. выразите a, b через n1 , n2 , D1 , D2 ).6.
Составьте уравнение прямой, пересекающей две скрещивающиеся прямые r = r 1 + ta1 и r = r 2 + ta2 и проходящей через точкуM0 (r 0 ), не лежащую ни на одной из этих прямых.7. Составьте уравнение прямой, пересекающей две скрещивающиеся прямые r = r 1 + ta1 и r = r2 + ta2 под прямыми углами (т.е.уравнение общего перпендикуляра к этим прямым).8. Найдите необходимое и достаточное условие, при котором плоскости (r, n1 ) = D1 и (r, n2 ) = D2 : (а) пересекаются по прямойлинии; (б) параллельны, но не совпадают; (в) совпадают.9. Даны прямая r = r0 + ta и плоскость (r, n) = D.
Найдите необходимое и достаточное условие того, что: (а) прямая и плоскость пересекаются (имеют единственную общую точку), и вэтом случае найдите радиус-вектор точки пересечения; (б) прямая и плоскость параллельны (не имеют общих точек); (в) прямая лежит в плоскости.10. Прямая задана как пересечение двух плоскостей (r, n1 ) = D1 и(r, n2 ) = D2 .
Запишите векторное параметрическое уравнениеэтой прямой, т.е. уравнение вида r = r 0 + ta.1511. Найдите радиус-вектор точки пересечения прямой [r, a] = b сплоскостью (r, n) = D.12. Найдите проекцию точки M0 (r 0 ) на плоскость (r, n) = D параллельно прямой r = r 1 + ta при условии (a, n) 6= 0.13. Найдите проекцию точки M0 (r 0 ) на прямую r = r 1 + ta параллельно плоскости (r, n) = D при условии (a, n) 6= 0.14.
Найдите ортогональную проекцию точки M0 (r 0 ) на прямую[r, a] = b.15. Найдите ортогональную проекцию точки M0 (r 0 ) на плоскостьr = r 0 + ua + vb.16. Найдите расстояние между двумя параллельными плоскостямиr = r 1 + ua + vb и r = r 2 + ua + vb.17. Найдите расстояние между двумя параллельными плоскостями(r, n) = D1 и (r, n) = D2 .18. Найдите расстояние от точки M0 (r 0 ) до прямой [r, a] = b.19.
Составьте уравнение плоскости, содержащей параллельные прямые r = r 1 + ta и r = r2 + ta.20. Найдите расстояние между параллельными прямыми r = r1 +taи r = r 2 + ta.21. Найдите расстояние между параллельными прямыми [r, a] = b1и [r, a] = b2 .22. Составьте уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей (r, n1 ) = D1 и (r, n2 ) = D2 перпендикулярноплоскости (r, n3 ) = D3 .23.
Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку M0 (r 0 )и прямую [r, a] = b.24. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми [r, a1 ] = b1и [r, a2 ] = b2 .1.2.3.4.5.2.5. Линии второго порядка.Докажите, что произведение расстояний от фокусов эллипса долюбой касательной к нему есть величина постоянная, и найдитееё.Докажите, что касательные к эллипсу отсекают на двух касательных к нему, проведённых в концах большой оси, отрезки,произведение которых равно квадрату малой полуоси эллипса.Получите параметрические уравнения гиперболы.Составьте уравнение гиперболы в системе координат, осями которой являются асимптоты гиперболы.Докажите, что эллипс и гипербола, имеющие общие фокусы,пересекаются под прямым углом (т.е. их касательные в точкепересечения перпендикулярны).166.
Докажите, что если оси двух парабол взаимно перпендикулярны, то четыре точки их пересечения лежат на одной окружности.7. Докажите, что отрезок любой касательной к эллипсу, заключённый между касательными, проведёнными в концах большой оси,виден из любого фокуса под прямым углом.8. Докажите, что для данной гиперболы произведение расстоянийот любой точки гиперболы до её асимптот есть величина постоянная, и найдите эту величину.9. Докажите, что отрезок касательной к гиперболе, заключенныймежду её асимптотами, делится точкой касания пополам.10. Докажите, что две параболы с общим фокусом и противоположно направленными осями пересекаются под прямым углом (т.е.касательные в точке пересечения взаимно перпендикулярны).11.
Докажите, что сумма обратных величин отрезков, на которыефокус параболы делит проходящую через него хорду, постоянна.Докажите, что отношение произведения длин этих отрезков кдлине хорды также постоянно..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
