Вопросы к экзамену для второго потока (А.В. Овчинников) (1106313), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Составьте векторное нормальное уравнение плоскости, проходящей через прямую r = r 0 + ta перпендикулярно плоскости(r, n) = D.8. Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую, заx − x0y − y0z − z0данную каноническим уравнением==,a1a2a3перпендикулярно плоскости Ax + By + Cz = D.9. Составьте векторное нормальное уравнение плоскости, проходящей через прямую r = r 0 + ta параллельно прямой r = r 1 + sbпри условии, что прямые не параллельны (т.е. [a, b] 6= 0).10. Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую, заy − y0z − z0x − x0==,данную каноническим уравнениемa1a2a3x − x1y − y1z − z1параллельно прямой==при условии, чтоb1b2b3прямые не параллельны.1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.1.6. Линии второго порядка.
Часть 1.Сформулируйте определение эллипса и выведите его каноническое уравнение. Что такое эксцентриситет эллипса?Выведите формулы, выражающие фокальные радиусы произвольной точки эллипса через её абсциссу. Сформулируйте и докажите директориальное свойство эллипса.Выведите уравнение касательной к эллипсу.Сформулируйте и докажите оптическое свойство эллипса.Сформулируйте фокальное определение гиперболы и выведитееё каноническое уравнение. Что такое эксцентриситет гиперболы?Выведите формулы, выражающие фокальные радиусы произвольной точки гиперболы через её абсциссу. Сформулируйте идокажите директориальное свойство гиперболы.Выведите уравнение касательной к гиперболе.Сформулируйте и докажите оптическое свойство гиперболы.Что такое взаимно сопряжённые гиперболы? Найдите соотношение, связывающее эксцентриситеты ε и ε′ двух взаимно сопряжённых гипербол.Сформулируйте определение параболы и выведите её каноническое уравнение.Выведите уравнение касательной к параболе.712.
Сформулируйте и докажите оптическое свойство параболы.13. Запишите уравнение эллипса, гиперболы, параболы в полярнойсистеме координат и сформулируйте условия, при которых этоуравнение имеет место.1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.1.7. Поверхности второго порядка.Семейство поверхностей задано в прямоугольной системе координат уравнением λx2 + y 2 + z 2 = 1, содержащим параметр λ.Определите тип поверхности при всевозможных значениях λ.Семейство поверхностей задано в прямоугольной системе координат уравнением λx2 + y 2 + z 2 = λ, содержащим параметр λ.Определите тип поверхности при всевозможных значениях λ.Семейство поверхностей задано в прямоугольной системе координат уравнением x2 + y 2 − z 2 = λ, содержащим параметр λ.Определите тип поверхности при всевозможных значениях λ.Семейство поверхностей задано в прямоугольной системе координат уравнением x2 + λ(y 2 + z 2 ) = 1, содержащим параметр λ.Определите тип поверхности при всевозможных значениях λ.Семейство поверхностей задано в прямоугольной системе координат уравнением x2 + λ(y 2 + z 2 ) = λ, содержащим параметр λ.Определите тип поверхности при всевозможных значениях λ.Семейство поверхностей задано в прямоугольной системе координат уравнением λx2 + y 2 = z, содержащим параметр λ.
Определите тип поверхности при всевозможных значениях λ.Семейство поверхностей задано в прямоугольной системе координат уравнением λ(x2 +y 2 ) = z, содержащим параметр λ. Определите тип поверхности при всевозможных значениях λ.Семейство поверхностей задано в прямоугольной системе координат уравнением x2 + y 2 = λ, содержащим параметр λ. Определите тип поверхности при всевозможных значениях λ.Семейство поверхностей задано в прямоугольной системе координат уравнением x2 − y 2 = λ, содержащим параметр λ. Определите тип поверхности при всевозможных значениях λ.Сечения поверхности x2 + 2y 2 − 3z 2 − 1 = 0 плоскостями x = 0,x = 1, x = 2 спроектированы на плоскость Oyz.
Как называетсяповерхность? Изобразите поверхность и указанные проекции.Сечения поверхности x2 + 2y 2 − 3z 2 = 0 плоскостями x = 0,x = 1, x = 2 спроектированы на плоскость Oyz. Как называетсяповерхность? Изобразите поверхность и указанные проекции.Сечения поверхности 2x2 − y 2 = 2z плоскостями x = 0, x = 1,x = 2 спроектированы на плоскость Oyz. Как называется поверхность? Изобразите поверхность и указанные проекции.813. Сечения поверхности 2x2 − y 2 = 2z плоскостями y = 0, y = 1,y = 2 спроектированы на плоскость Oxz.
Как называется поверхность? Изобразите поверхность и указанные проекции.14. Сечения поверхности 2x2 − y 2 = 2z плоскостями z = −1, z = 0,z = 1 спроектированы на плоскость Oxy. Как называется поверхность? Изобразите поверхность и указанные проекции.15. Как называется поверхность, заданная уравнением x2 − y 2 = 1?Изобразите поверхность и найдите уравнения ее прямолинейныхобразующих, проходящих через точку (x0 , y0 , z0 ) поверхности.16. Как называется поверхность, заданная уравнением x2 +y 2 −z 2 = 0?Изобразите поверхность и найдите уравнения ее прямолинейныхобразующих, проходящих через точку (x0 , y0 , z0 ) поверхности.17. Сформулируйте определение прямолинейной образующей поверхности второго порядка.
Перечислите и изобразите поверхности второго порядка, являющиеся (а) 1-линейчатыми; (б) 2линейчатыми. Запишите канонические уравнения этих поверхностей.1.8. Системы линейных уравнений. Ранг матрицы.1. Докажите, что однородная система линейных уравнений имеетнетривиальное решение тогда и только тогда, когда столбцы еёосновной матрицы линейно зависимы.2. Докажите, что если X1 , X2 — два решения однородной системылинейных уравнений AX = 0, то любая их линейная комбинациятакже является решением этой системы.3. Сформулируйте определение фундаментальной совокупностирешений (ФСР) однородной системы линейных уравнений. Найдите ФСР системы x1 + x2 + x3 = 0 и запишите общее решениесистемы с помощью ФСР.4. Докажите следующее утверждение: если X1 , X2 — решениянеоднородной системы линейных уравнений AX = B, то X1 −X2— решение соответствующей однородной системы AX = O.5.
Найдите общее решение неоднородной системы x1 + x2 + x3 = 1.Ответ представьте в виде суммы частного решения неоднородной системы и общего решения соответствующей однородной системы.6. Опишите алгоритм Гаусса—Жордана.7. Докажите, что выполнение элементарных преобразований строкматрицы эквивалентно умножению этой матрицы слева на квадратную матрицу, полученную из единичной матрицы тем же самым элементарным преобразованием строк.98. Опишите алгоритм вычисления обратной матрицы при помощиалгоритма Гаусса—Жордана. Обоснуйте этот алгоритм.9. Сформулируйте определение подпространства P пространстваRn , определение базиса подпространства P , размерности подпространства P .10.
Докажите, что размерность линейной оболочки строк матрицыне меняется при элементарных преобразованиях строк.11. Докажите, что размерность линейной оболочки столбцов матрицы не меняется при элементарных преобразованиях строк.12. Сформулируйте определение ранга матрицы.
Сформулируйте идокажите теорему Кронекера—Капелли.13. На плоскости заданы две прямые A1 x+B1 y = C1 , A2 x+B2 y = C2 .Сформулируйте в терминах рангов условия на коэффициентыуравнений прямых, необходимые и достаточные для того, чтобыэти прямые 1) совпадали; 2) были параллельны, но не совпадали;3) пересекались в единственной точке.14. В пространстве заданы две плоскости A1 x + B1 y + C1 z = D1 ,A2 x + B2 y + C2 z = D2 . Сформулируйте в терминах рангов условия на коэффициенты уравнений плоскостей, необходимые и достаточные для того, чтобы эти плоскости 1) совпадали; 2) былипараллельны, но не совпадали; 3) имели единственную общуюпрямую.1.2.3.4.5.6.1.9. Линии второго порядка.
Часть 2.Выведите формулы преобразования коэффициентов уравнениялинии второго порядка при повороте системы координат и переносе начала координат.Что такое центральная линия второго порядка? Перечислите типы центральных линий. При каком условии линия второго порядка X T AX + 2BX + c = 0 является центральной? Запишитеуравнения центра линии второго порядка.Что такое нецентральная линия второго порядка? Перечислитетипы нецентральных линий. При каком условии кривая второгопорядка X T AX + 2BX + c = 0 является нецентральной?Перечислите основные ортогональные инварианты линий второго порядка и докажите их инвариантность.Используя ортогональные инварианты, определите тип кривой,заданной уравнением 2x2 − 4xy + 5y 2 + 8x − 2y + 9 = 0.
Каноническое уравнение кривой находить не требуется.Используя ортогональные инварианты, определите тип кривой,заданной уравнением 4xy − 3y 2 − 4x + 10y − 6 = 0. Каноническоеуравнение кривой находить не требуется.107. Используя ортогональные инварианты, определите тип кривой,заданной уравнением 9x2 − 24xy + 16y 2 − 8x + 19y + 4 = 0.
Каноническое уравнение кривой находить не требуется.8. Используя ортогональные инварианты, определите тип кривой,заданной уравнением x2 − xy + y 2 + x + y = 0. Каноническоеуравнение кривой находить не требуется.9. Используя ортогональные инварианты, определите тип кривой,заданной уравнением xy + 2x + y = 0. Каноническое уравнениекривой находить не требуется.10. Используя ортогональные инварианты, определите тип кривой,заданной уравнением x2 − 2xy + y 2 − 10x − 6y + 25 = 0. Каноническое уравнение кривой находить не требуется.11. Используя ортогональные инварианты, определите тип кривой,заданной уравнением 5x2 + 12xy + 10y 2 − 6x + 4y − 1 = 0. Каноническое уравнение кривой находить не требуется.12. Используя ортогональные инварианты, определите тип кривой,заданной уравнением 8x2 + 6xy + 6x + 3y + 1 = 0.
Каноническоеуравнение кривой находить не требуется.13. Используя ортогональные инварианты, определите тип кривой,заданной уравнением 4x2 + 12xy + 9y 2 − 8x − 12y − 5 = 0. Каноническое уравнение кривой находить не требуется.14. Используя ортогональные инварианты, определите тип кривой,заданной уравнением x2 +2xy+y 2 −5x−5y+4 = 0. Каноническоеуравнение кривой находить не требуется.15. Используя ортогональные инварианты, определите тип кривой,заданной уравнением 5x2 − 6xy + 5y 2 + 2x − 14y + 13 = 0. Каноническое уравнение кривой находить не требуется.16. Используя ортогональные инварианты, определите тип кривой,заданной уравнением x2 −2xy+y 2 +8x−8y+22 = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
