Renolds1 (1106131), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Reynolds, 1883): течения одинакового типас одинаковым числом Рейнольдса подобны.Аналогичную формулу можно написать и для распределения давления в жидкости~r2p = ρU f, ReLНаконец, аналогичные соображения применимы к величинам, характеризующим течение жидкости,но не являющиеся функциями координат.Сила сопротивленияF = ρU 2 L2 f (Re)Если влияние силы тяжести на движение существенно, то движение определяется не тремя,а четырьмя параметрами: ρ, L, U, µ и ускорением силы тяжести g. Из этих переменных можно составитьуже не одну, а две независимые безразмерные комбинации. В качестве их можно выбрать, например,число Рейнольдса и число Фруда, равноеFr =U2LgТечение будет подобным, лишь при равенстве этих двух чисел.Нестационарное движение характеризуется еще значением какого–либо характерного для этого движения интервала времени τ , определяющего изменение движения со временем.

Из величинρ, L, U, µ, τ можно составить не одну, а две независимые безразмерные переменные, в качестве которыхможно взять число Рейнольдса и число СтрухаляSt =UτLПодобие движений имеет место при равенстве этих чисел.Напомним, что если существенна сжимаемость, то возникает еще один безразмерный параметр,характеризующий течение — число МахаUM=aгде a– скорсть звука.3. Приближение Стокса для движения с малыми числами Рейнольдса.Рассмотрим прямолинейное и равномерное медленное движение шара в вязкой жидкости (G.G. Stokes,1851).

Эта задача эквивалентна задаче об обтекании шара потоком жидкости имеющим на бесконечно~ . Если мы рассматриваем движение как стационарное, то нужно говоритьсти заданную скорость Uоб обтекании жидкостью неподвижного шара, так как при движущемся шаре скорость жидкостив каждой точке пространства меняется со временем.Для стационарного движения несжимаемой жидкости уравнения Навье–Стокса имеют вид1(~v )∇~v = − gradp + ν∆~vρСравним инерционный и вязкий члены уравнения.Инерционный член (~v )∇~v имеет порядок величины U 2 /L, а выражение ν∆~v ≈ νU/L2 .Отношение первой величины ко второй есть число Рейнольдса.5Поэтому при Re << 1 инерционным членом (~v )∇~v можно пренебречь и уравнения движения сводятся к линейнымµ∆~v − grad p = 0Вместе с уравнением неразрывностиdiv ~v = 0оно полностью определяет движение.Если от обеих частей уравнения взять операцию rot, то получим∆rot~v = 0Заметим также, что из уравнения движения и уравнения неразрывности следует, что∆p = 0Граничными условиями будут заданная скорость на бесконечности~~v = Uпри~r −→∞и условия прилипания на поверхности шара~v = 0 приr=RИз математической постановки задачи заметим, что плотность здесь не является определяющимпараметром.

Системой определяющих параметров в этом случае служат три параметра: диаметр шараd, скорость U и вязкость µ. Их произведение дает размерность силы. Следовательно, сила действующаяна тело в этом случае будетF = µdU f (α) , [F ] = г · см/с 2где α –угол атаки (направление скорости cушественно).Отсюда видно, что сопротивление и подъемная сила пропорциональны скорости, коэффициентувязкости и линейному масштабу. Этот закон, который называется законом Стокса хорошо согласуется с опытами при малой скорости движения малых тел, например при оседании мелких частиц вжидкости.Таким образом, с помощью теории размерности мы установили, что если пренебречь инерционнымичленами в уравнениях Навье–Стокса, то закон Стокса справедлив для тел любой формы.

Функцию f (α)можно определить экспериментально или теоретически, решая упрощенные уравнения Навье–Стокса.Для шара функцияf (α) = с = constт.е. не зависит от угла α.Теоретическое значение коэффициента c для медленных движений шара было вычислено Стоксом.Оно оказалось равным 3π (если d–диаметр шара).4. Понятие о пограничном слое.

Уравнения пограничного слоя.1. Введение.Перейдем к рассмотрению второго предельного случая, случая очень малых сил вязкости или, вболее общем виде, случая очень большого числа Рейнольдса.Большинство практически важных задач, в том числе задач гиперзвуковой аэродинамики, характеризуется высокими скоростями и телами больших размеров, движением в средах малой вязкости(воздух, другие газы). Характерные числа Рейнольдса в этом случае весьма велики.В указанных задачах часто используются приближенные модели.Некоторые из них мы уже рассматривали.1.

Если пренебречь вязкими членами в уравнениях Навье - Стокса ( и другими, связанными смолекулярным переносом), то имеем уравнения Эйлера. Они на порядок ниже уравнений Навье 6Стокса. Поэтому одно из граничных условий для реальных жидкостей не может быть удовлетворено(условие прилипания).Если в областях, далеких от твердой стенки решения уравнений Эйлера дают хорошие результаты,то в областях вблизи поверхности хорошего соответствия с действительностью не наблюдается.Многие важные явления, такие как поверхностное трение и теплопередачу, нельзя исследовать спомощью уравнений Эйлера.

Необходимо использовать другие приближенные модели.2. Знаменательный успех в исследовании движений жидкости при больших числах Рейнольдса былдостигнут в 1904 г. Л. Прандтлем, показавшим, каким образом проявляет себя вязкость при большихчислах Рейнольдса и каким путем можно упростить уравнения Навье–Стокса для того, чтобы получитьих решения в предельном случае малых сил вязкости.Развитая им теория –теория пограничного слоя остается до последнего времени наиболее эффективной приближенной теорией при исследовании движения тел с большими скоростями.Суть этой теории заключается в следующем.Считается, что влияние вязкости и других процессов связанных с молекулярным переносом ограничивается очень тонким пограничным слоем вблизи поверхности, величина которого стремится к нулюпри увеличении числа Рейнольдса.Вне пограничного слоя течение считается невязким и описывается уравнениями Эйлера.

При этомвлияние пограничного слоя на течение не учитывается.В пограничном слое считается, что вязкие и инерционные члены имеют один порядок, при этомуравнения Навье - Стокса упрощаются, однако их порядок сохраняется и, следовательно, все граничныеусловия могут быть сохранены.Граничные условия на внешней границе пограничного слоя не совпадает с граничным условием набесконечности. Они будут соответствовать условиям в реальном течении непосредственно за пределамипограничного слоя.

Обычно принимается, что в силу тонкости пограничного слоя они соответствуютневязкому решению на поверхности.Таким образом, предполагается, что взаимодействие между пограничным слоем и основным потоком мало и, первоначально решается задача для невязкого течения, а затем для пограничного слоя.2. Уравнения пограничного слоя.Для наглядности остановимся на простом примере плоскопаралельного течения около тонкого цилиндрического тела.Рассмотрим картину течения.На некотором расстоянии от поверхности тела внутри жидкости преобладают силы инерции, действие вязкости там почти не проявляется.

Скорость течения почти до самой поверхности тела имеетпорядок скорости на бесконечности U . Картина линий тока, а также распределение скорости имеетпрактически такой же вид, как и при потенциальном течении жидкости без трения.Однако, вблизи поверхности жидкость не скользит по поверхности тела, а прилипает к ней. Переходот нулевой скорости на поверхности к полной скорости совершается в очень тонком пограничном слое,называемом пограничным или слоем трения.Таким образом, имеем две области течения:1.

Тонкий слой вблизи поверхности. В этой области градиент скорости в направлении перпендикулярном стенке ∂u∂y очень велик, а вязкость µ как бы мала она ни мала, оказывает существенное влияниена течение, поскольку здесь касательное напряжение τ = µ ∂u∂y может принимать большие значения.2. Все остальное течение вне пограничного слоя. В этой области градиент скорости не достигаеттаких больших значений, как в пограничном слое, поэтому действие вязкости здесь не играет роли итечение можно считать потенциальным.Пограничный слой тем тоньше, чем меньше вязкость или, в более общей формулировке, числоРейнольдса.Будем предполагать, что толщина пограничного слоя δ много меньше, чем характерный размертела Lδ << L7Считая вязкость постоянной и пренебрегая массовыми силами запишем уравнения Навье-Стокса ввиде∂u∂u1 ∂p µ ∂ 2 u ∂ 2 u∂u+u+v=−++ 2∂t∂x∂yρ ∂x ρ ∂x2∂y∂v∂v∂v1 ∂p µ ∂ 2 v∂2v+u+v=−++∂t∂x∂yρ ∂yρ ∂x2 ∂y 2∂u ∂v+=0∂x ∂yГраничными условиями будутусловия прилипания при y = 0u = v = 0,u = U,v = 0,(условия в набегающем потоке)Запишем уравнения в безразмерном виде.

Все скорости обезразмерим на U , длины на L, давлениена ρU 2 , время на L/U . Толщину пограничного слоя δ отнесем к L.В результате уравнения Навье-Стокса в безразмерных переменных запишутся в виде∂u∂u∂p1 ∂2u ∂2u∂u+u+v=−++ 2∂t∂x∂y∂x Re ∂x2∂y∂v∂v∂v∂p1+u+v=−+∂t∂x∂y∂y Re∂2v∂2v+ 22∂x∂y∂u ∂v+=0∂x ∂yЗдесь для безразмерных переменных приняты те же обозначения, что и для размерных.1.

Тем не менееЗаметим, что вязкие члены уравнений входят в уравнения с малым множителем Reнекоторые из этих членов должны быть одного порядка с инерционными членами, по крайней мерев непосредственной близости от стенки. Следовательно, в непосредственной близости от поверхностинекоторые из вторых производных от скорости должны быть велики.Оценим порядки членов в полученных уравнениях.∂2u1. Величины u, ∂u∂x и ∂x2 имеют порядок единицы в соответствии с выбором характерного размера.2.

Будем предполагать, что величина локального ускорения имеет тот же порядок, что и величинаконвективного ускорения, т.е порядок единицы. Это предположение означает, что из рассмотренияисключаются внезапные ускорения, подобные тем, что возникают при сильных волнах давления.∂v3. Из уравнения неразрывности следует, что величина ∂yтакже имеет порядок единицы.Так как на поверхности v = 0, то в пограничном слое величина скорости v имеет порядок δ :v=−Z0δ∂udy ∼ δ∂x4. Далее оценки показывают,что∂v∼ δ,∂x∂2v∼ δ,∂x2∂2v1∼ ,2∂yδ∂vδ∼ ∼ 1,∂yδ∂u1∼ ,∂yδ∂2u1∼ 2,2∂yδПодписав эти оценки под соответствующими членами уравнений, из первого уравнения заметим,что величина членов зависящих от вязкости может быть одного порядка с величиной инерционныхчленов только при условии1= δ2Re8Если отбросить члены порядка δ и перейти к размерным переменным, то получим уравнения пограничного слоя Прандтля∂u∂u∂u1 ∂p µ ∂ 2 u+u+v=−+∂t∂x∂yρ ∂x ρ ∂y 2∂p=0∂y∂u ∂v+=0∂x ∂yС граничными условиямиприлипания при y = 0u=v=0и совпадения скорости на внешней границе пограничного слоя со скоростью внешнего течения приy−→∞u = V,v=0Таким образом, для течений с большими числами Рейнольдсауравнение неразрывности остается неизменным.2В первом уравнении можно отбросить величину ∂∂xu2 как малую по сравнению с величиной∂2u.∂y 2∂pИз второго уравнения следует, что величина ∂yимеет порядок δ.

Характеристики

Список файлов лекций