Impuls (1106124), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Кроме того, электрон, атакже ядро обладают собственным моментом количества движения– спином, наличие которогонельзя объяснить с помощью введения соответствующего механического движения.Все атомы обладают собственным моментом количества движения. Но сумма этих моментовколичества движения для всех атомов в силу хаотичности движения в большинстве случаев равнанулю. Однако, если упорядочить движение элементарных частиц, наложив, например, магнитноеполе, то сумма внутренних моментов всех атомов будет отлична от нуля.Таким образом, если мы хотим в механике сплошной среды описывать движение реальных сред в электромагнитных полях, то мы должны вводить в рассмотрение собственныемоменты и определять момент количества движения сплошной среды с учетом этих моментов.О массовых и поверхностных парах сил.На каждую частицу сплошной среды действуют распределенные массовые и поверхностные силы.Но может случиться так, что действие внешних материальных объектов на частицу сплошной средынельзя заменить только этими силами, а потребуется вводить также массовые и поверхностныепары.5~ n отнесенные к единице массы и поверхности моменты соответственно масОбозначим через ~h и Qсовых и поверхностных пар.Примером распределенных массовых пар – могут служить пары, действующие на каждый элемент стрелки компаса, помещенной в магнитное поле Земли.Пример Гиромагнитный эффект объясняется за счет наличия внутренних моментов и распределенных массовых пар.Уравнение моментов количества движения для конечного объема сплошной среды.Этот закон формулируется следующим образом: Изменение во времени момента количествадвижения произвольного индивидуального объема V сплошной среды ( с учетом собственных моментов) происходит за счет моментов внешних массовых и поверхностных сил,действующих на этот объем, и моментов действующих на этот объем распределенныхмассовых и поверхностных пар, вызванных внешними по отношению к объему материальными телами.Математическая формулировка закона следующаяZZZZZZd ~~~~ n dσ~r × ρ~v dτ + ρkdτ = ~r × ρF dτ + ~r × p~n dσ + ρhdτ + QdtVVVVΣΣЗамечание.Уравнение моментов количества движения, как и уравнение количества движения, постулируетсядля индивидуального объема V сплошной среды.

Оно не вытекает из уравнения моментов количествадвижения системы материальных точек. Более того, уравнение моментов количества движения неявляется следствием уравнения количества движения.В классическом случае (если отсутствуют внутренние моменты и распределенные внешние массовые и поверхностные пары) имеем следующую математическую формулировку закона об изменениимомента количества движенияZZZd ~~r × ρ~v dτ = ~r × ρF dτ + ~r × ~pn dσdtVVΣУравнение моментов количества движения вдифференциальной форме.Воспользовавшись равенствамиp~n = p~i ni ,и теремой Гаусса–Остроградского получимZZZi~~~ i dτ,Qn dσ = Q ni dσ = ∇i QΣZVΣ~n = Q~ i niQ(~r × p~n )dσ =ΣZ(~r × p~i )ni dσ =Z∇i (~r × p~i )dτVΣИмеют место также следующие преобразованияZZZZZ∇i (~r × p~i )dτ = ~r × ∇i p~i dτ + ∇i~r × p~i dτ = ~r × ∇i p~i dτ + (~ei × ~ek )pki dτVVVтак как∇i~r =VV∂~r= ~ei∂xiЗаметим также чтоZZZZZddddd~r × ~v ρdτ =(~r × ~v )dm =~r × ~v dm +~r × ~v dm =~r × ~v ρdτdt VdtdtM dtM dtMVи, кроме тогоddtZV~kρdτ = ddtZ~kdm =MZM6d~kdm =dtZVρd~kρdτdtТеперь при условии, что масса dm = ρdτ постоянна, теорему моментов количества движения можнозаписать в видеZ ~ZZZZ d~v1~ − ∇i p~i ρdτ + dk ρdτ = ~hρdτ + ∇i Q~ i dτ + (~ei × ~ek )pki dτ~r ×−FdtρdtVVVVVОтсюда, так как объем V сплошной среды произволен, получим уравнение моментов количествадвижения в случае непрерывных движений сплошной средыв дифференциальной формеd~k~ i + (~ei × ~ek )pki= ρ~h + ∇i QdtСимметрия тензора напряжений в классическом случае.

В классическом случае имеем(~ei × ~ek )pki = 0Или(~ei × ~ek )pki (k < i) + (~ei × ~ek )pki (k > i) = 0Поменяв местами индексы суммирования в последней сумме и воспользовавшись свойством векторных произведений получим(~ei × ~ek )(k < i)(pki − pik ) = 0Отсюда вытекаетpki = pik ,i 6= k,т.е тензор напряжений симметричен.73. Теорема живых силОдним из важных следствий динамических уравнений движения сплошной среды является теорема живых сил.Введем определение кинетической энергии сплошной среды.Определение.

Кинетической энергией объема сплошной среды называется величинаZρ~v 2E=dτ2VВ предположении, что внутри объема V компоненты тензора напряжений pij и компоненты вектораскорости v i – непрерывные дифференцируемые функции пространственных координат и времени вернатеорема об изменении кинетической энергии, которая и называется теоремой живых сил.Теорема.Для действительного движения дифференциал кинетической энергии конечного индивидуального объема сплошной среды равен сумме элементарных работ внешних и внутренних сил, действующих на этот объем (внешних массовых, внутренних массовых, внешнихповерхностных и внутренних поверхностных).Доказательство Пусть d~r = ~v dt –вектор перемещения бесконечно малого объема сплошной средыdτ за время dt.

Умножим скалярно уравнение импульсов на d~r и проинтегрируем по объему V .ПолучимZZZ~ · d~rdτ + (∇j pij )vi dtdτρ~a · ~v dtdτ = ρFVVV1.Так как~a · ~v =d~v1d 2=~v ,dt2 dtто первый интеграл запишется в видеZZ ZZ1 21 2ρ~v 2~a · ~v dtρdτ = d~v dm = d~v dm = ddτ = dE222VMMV~ e и внутренние F~ i , то2. Если разбить массовые силы на две группы:внешние FZZZe~~~ i · d~rdτ = dAem + dAimρF · d~rdτ = ρF · d~rdτ + ρFVVVГде dAem и dAim –элементарные работы внешних и внутренних по отношению к объему V массовыхсил, действующих на этот объем при бесконечно малом перемещении.Замечание.

Cумма всех внутренних массовых сил действующих на весь объем V всегда равна нулю,а работа этих сил может отличаться от нуля.3. Последний интеграл запишем в виде суммыZZZijij(∇j p )vi dtdτ = ∇j (p vi )dtdτ − pij ∇j vi dtdτ =VZpij vi nj dσdt −ΣVZVpij ∇j vi dtdτ =VZp~n · d~rdσdt −Zpij ∇j vi dtdτ = dAeпов + dAiповVΣdAeповГде через– обозначена работа внешних поверхностных сил, действующих на поверхности Σвыделенного объема V , при бесконечно малых перемещениях d~r = ~v dt точек поверхности.ЧерезZdAiпов = −pij ∇j vi dtdτV8– обозначена работа внутренних поверхностных напряжений в объеме V .Таким образом имеемdE = δAem + δAim + δAeпов + δAiпови теорема живых сил доказана.Дальнейшие преобразования даютZZZ11dAiпов = − pij ∇j vi dtdτ = − pij (∇j vi + ∇i vj )dtdτ − pij (∇j vi − ∇i vj )dtdτ =22VV−ZVpij eij dtdτ −VZpij ωij dtdτVЗамечание.В классическом случае, когда тензор напряжений симметричен последний интеграл обращается в нуль в силу антисимметрии тензора ωij .Как известно, антисимметричному тензору ωij можно поставить в соответствие вектор вихря ω.

Изприведенных выражений следует, что наличие вихрей в движущейся сплошной среде в случаесимметричного тензора напряжений не оказывает непосредственного влияния на величину элементарной работы внутренних поверхностных сил, а следовательно на изменениекинетической энергии.Теорема живых сил для бесконечно малого объема сплошной среды.Теорема.В каждой точке сплошной среды дифференциал плотности кинетической энергии равняется сумме плотностей элементарных работ внешних массовых, внешних поверхностныхи внутренних поверхностных сил, действующих на эту бесконечно малую частицу.Выберем объем ∆V так, чтобы интересующая нас точка сплошной среды находилась внутри него.При стягивании объема в эту точку теорема живых сил написанная для ∆V и разделенная на массу∆m = ρdτ частицы даетv2~ · d~r + 1 ∇j (pij vi )dt − 1 pij ∇j vi dtd =F2ρρ2Величины dv2 , F~ · d~r, ρ1 ∇j (pij vi )dt, − 1ρ pij ∇j vi dt называются плотностями кинетической энергии, работы массовых и поверхностных внешних и внутренних сил.Замечание.

В теорему живых сил для бесконечно малого объема сплошной среды не входит элементарная работа внутренних массовых сил, так как она стремится к нулю при ∆V −→ 0 и ∆m −→ 0.Это непосредственно следует из допущения о существовании плотности массовой силы как пределаотношения внешней массовой силы действующей на объем, к массе заключенной в этом объеме.Теорема живых сил имеет энергетическую природу, но это соотношение не являетсяв общем случае законом сохранения энергии.

Его можно трактовать как закон сохранения энергии только в том случае, когда механическая энергия рассматриваемой системыне переходит в тепловую и другие виды энергии. Подчеркнем, что теорема живых силявляется непосредственным следствием уравнений уравнений импульсов.9.

Характеристики

Список файлов лекций