4 (1106053), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

В задачах, где в качестве объектов используются различные тела, соединенные различными шнурами, нитями, тросами, веревками и т.д., в качестве дополнительных уравнений находят уравнения кинематических связей. Все шнуры, нитки, тросы, веревки и т.п. - это реальные объекты, фигурирующие в задачах. Их физической моделью является модель нити, которая считается невесомой и нерастяжимой. Так как длина нити как модели постоянна, то в любой момент движения тел ее можно выразить через координаты связанных с нею тел. Если продифференцировать полученное выражение дважды по времени, то получим связь между ускорениями тел - т.е. дополнительное уравнение. Если в системе имеется несколько нитей, то такая связь составляется для каждой нити.

Пример. Найти ускорение тела m₁ в системе, показанной на рис.56. Массы m₂, m₃ - Рис.56 заданы. Размерами и массами блоков пренебречь. Нити невесомы и растяжимы (на рисунке не показаны силы тяжести грузов).

Записывая второй закон Ньютона для каждого тела, получим:

m₁ a₁ = m₁ g - T₁

m₂ a₂ = m₂ g - T₂

m₃ a₃ = m₃ g - T₃

T₁ = 2T₂

Составим уравнение кинематической связи, для этого выразим длину каждой нити через координаты тел.

х₁ + х₀ = l₁ (длина первой нити)

(х₃ - х₀) + (х₂ - х₀) = l₂ (длина второй нити)

Так как ускорение блока нам не нужно, исключим его координату из уравнений. Получим

2х₁ + х₂ + х₃ = l₂ + 2l₁

Дифференцируя левую и правую часть дважды по времени, имеем

2а₁ + а₂ + а₃ = 0,

уравнение, которое дополняет систему до полной. Решая, получаем

а₁ = .

1.6.13. Использование дополнительных доказательств

В сложных задачах информация о ситуации может быть в условии задачи задана столь неявно, что для того, чтобы сделать ее используемой, приходится проводить дополнительные доказательства.

Пример. Гладкий однородный стержень длины 2L опирается на край гладкой неподвижной полусферической чашки радиуса R. Какой угол образует стержень с горизонтом в положении равновесия? Трением пренебречь (рис.57 а).

Так как стержень находится в равновесии, то надо использовать условия равновесия , .

Рассмотрим силы, действующие на стержень (Рис.57б).

На стержень действуют три силы: сила тяжести , приложенная в середине стержня, и силы реакции чашки и Сила , действующая на конец стержня, упирающийся в чашку, направлена перпендикулярно поверхности чашки, т.е. по радиусу; сила приложена к стержню со стороны края чашки и направлена перпендикулярно стержню.

Докажем следующее утверждение: если на тело, находящееся в положении равновесия, действуют три силы, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке - точке А.

Рассмотрим точку пересечения линий действия каких-либо двух сил, например, и и составим условие равенства нулю суммы моментов всех сил относительно этой точки. Моменты сил и относительно точки пересечения их направлений равны нулю, поэтому и момент третьей силы также должен быть равен нулю, т.е. линия действия силы проходит через эту же точку.

Данного подтверждения достаточно для нахождения положения равновесия стержня. Из геометрических соображений легко найти все углы, показанные на рисунке; x = 2R cos  - L, R = R sin (/2 - 2) + x cos. Решая эти уравнения относительно cos , получим

4 R cos²  - L cos  - 2R = 0

Так как угол лежит в первой четверти, берем положительный корень :

cos  = .

1.6.14. Использование ограничений, накладываемых на математические величины

Пример. Шарик массы m прикреплен к стержню длины l. Другой конец стержня шарнирно прикреплен к вертикальной балке, которая может вращаться вокруг своей оси. Нарисовать примерный график зависимости угла , образуемого стержнем с вертикалью, от угловой скорости  вращения балки (рис.58 а).

Е сли шарик вращается по окружности и стержень составляет с вертикалью угол , то центростремительное ускорение шарику сообщает равнодействующая сила тяжести и сила натяжения стержня (рис. 58 б).

Уравнение движения шарика или

Ответ есть, однако есть ограничения, накладываемые на cos   1.

Ограничение касается только математической величины, но при этом оно влияет и на поведение физической величины. Учитывая условие, что cos  1, полученное выражение справедливо только при , т.е. при   .

П ри  < g tg  > ² r, т.е. равнодействующая силы тяжести и силы натяжения нити сообщает шарику ускорение больше, чем ускорение при вращении по окружности. Поэтому стержень с шариком

Рис59 будет вращаться, оставаясь вертикальным.

. Примерный график зависимости будет иметь вид (рис.59).

1.6.15. Использование математических приближений

Очень часто при решении различных задач используют различные математические приближения.

Пример. На вогнутую сферическую поверхность радиуса R с высоты Н = R/8 вблизи вертикальной оси симметрии падают с нулевой начальной скоростью маленькие шарики (рис.60). Считая удары шариков о поверхность абсолютно упругими, доказать, что после первого соударения каждый шарик попадает на нижнюю точку сферической поверхности. Шарики между собой не соударяются.

Н а первом этапе движения шарик свободно падает с высоты Н и в момент удара имеет скорость V₀ = , а направление его скорости V₀ составляет угол 2 с вертикалью.

На втором этапе движение шарика Рис.60 описывается законом движения материальной точки, брошенной под углом к горизонту. Поэтому спустя время t смещение по горизонтали S будет равно S = V₀t sin 2 или t =

h - высота, на которой шарик будет находиться спустя время t

h = h₀ + V₀ cos 2 t - .

По условию шарик начал падать с высоты Н вблизи оси симметрии, и потому можно использовать приближения, которые и являются дополнительными уравнениями, позволяющими получить ответ. Эти приближения: h₀ = 0, sin 2 = 2, cos  = 1, S = R . Учитывая их, найдем условия попадания шариков в нижнюю точку сферической поверхности:

1.6.16. Решение задачи через качественное рассмотрение

На расстоянии l слева от края стола лежит брусок, соединенный с другим бруском такой же массы через невесомый блок невесомой нерастяжимой нитью длины 2l, перекинутой через блок (рис.61). Правый блок удерживают на одном уровне с левым

Рис.61 так, что нить не натянута и не провисает, затем его отпускают. Что произойдет раньше: левый брусок доедет до края (достигнет блока) стола или правый брусок ударится о стол?

На центр масс системы, состоящей из брусков и нити, действует в горизонтальном направлении только сила со стороны блока. Горизонтальная составляющая этой силы, равная T(1 - cos ), где Т - сила натяжения нити, всегда направлена вправо, поскольку в начальный момент центр масс находился над блоком и покоился. В процессе смещения он будет смещаться по горизонтали вправо. Отсюда следует, что левый брусок достигнет блока раньше, чем правый ударится о стол, поскольку в противном случае центр масс оказался бы в момент удара слева от блока.

1.6.17. Использование при решении задач на движение тел особенностей математического описания движений других видов

Пример поступательного движения тела, когда для нахождения параметров движения используются особенности колебательного движения тел.

Сани с грузом, едущие по льду, попадают на участок, посыпанный песком и, не пройдя половины своей длины, останавливаются, не разворачиваясь. Найти время остановки саней. Длина саней l, коэффициент трения .

Сила трения саней с грузом F_TP (x) прямо пропорциональна длине х въехавшей на песок части саней. Запишем уравнение движения саней при их торможении по песку: ma = - mg (x/l) , где m - масса саней. Отсюда получаем

.

Так как  - const, g - const, - const, то обозначая , получаем уравнение свободных незатухающих колебаний, решение которого x(t) = A sin (₀ t + ), где А₀ и  зависят от начальных условий. В данном случае сани въезжают на границу у песка (х = 0) имея начальную скоростьV₀ .

Итак, , а период Т = .

Нужно найти время, в течение которого скорость саней уменьшилась от V₀ до 0, т.е. от максимальной скорости до нулевой. В колебательном движении это время равно четверти "периода колебаний". Таким образом, искомое время

.

1 .6.18. Рассмотрение физической задачи как геометрической

Торпеду выпускают из точки А в момент, когда корабль противника находится в точке В, двигаясь со скоростью V₁, направленной под углом  к линии АВ. Скорость торпеды V_C. Под каким углом ее надо

Рис 62 выпустить, чтобы поразить цель? (рис.62)

Для решения задачи достаточно использование теоремы синусов. Точка встречи торпеды и корабля - точка С.

.

Характеристики

Список файлов лекций