Эффекты нарушения киральной инвариантности, лоренц-инвариантности и изотопической симметрии в моделях Гросса-Невё и Намбу-Йона-Лазинио (1105395), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Длядействительного вектора ⃗b используются обозначения: b = b21 + b22 + b23 ⃗⃗⃗ ⃗модуль вектора ⃗b, для чисто мнимого вектора√ b: b = ib̃, где b̃ - действительный вектор с компонентами (b̃1 , b̃2 , b̃3 ), b̃ = b̃21 + b̃22 + b̃23 - модуль вектора⃗˜b.Исследован эффективный потенциал модели Veff в этих случаях.Для линеаризации лагранжиана используется преобразование Хаббарда–Стратоновича и вводится дополнительное скалярное поле Φ(x), котороев дальнейшем полагается не зависящим от координат.

Итоговый эффективный потенциал зависит от величины Φ, и величина Φ0 , реализующаяминимум Veff , характиризует нарушение киральной симметрии в данноймодели. Для регуляризации Veff используется обрезание по импульсам, параметр обрезания обозначается величиной Λ.Для случая действительного ⃗b найдено выражение для Veff , которое впределе Λ ≫ Φ;b может быть записано в виде:VeffmΦΦ2(Φ − m)2 |Φ − m|3b2+−=−−2G2Gc6π6GcGcВ этом случае величина b входит в эффективный потенциал только в качестве аддитивной поправки и не влияет на расположение экстремумовэффективного потенциала.Для случая чисто мнимого ⃗b выражение для Veff в пределе Λ ≫ Φ;bнайдено в следующем виде:1) Если |Φ − m| > b̃, тоVeff =Φ2(Φ − m)2 |Φ − m|3 mΦ−+−2G2G6πGc2) Если |Φ − m| < b̃ , то5[]Φ2(Φ − m)2 mΦ12 4Veff =−−−b̃ − 4b̃2 (Φ − m)2 − 2(Φ − m)42G2GcGc32π b̃ 3В данном случае поправки к эффективному потенциалу, связанные с введением нарушения лоренц-инвариантности существенно влияют на расположение максимумов и минимумов, и как следствие на условия нарушениякиральной симметрии модели.Проведен анализ уравнения щели для случаев действительного и мнимого вектора ⃗b.

В результате показано, что в случае мнимого ⃗b киральная симметрия восстанавливаетсяпри достаточно больших величинах b̃:)(211b > 2M , где M = 2π Gc − G и Gc = πΛ , в то время как в отсутствие нарушения лоренц-инвариантности киральная симметрия нарушается всегдапри G > Gc .Глава 3. Размерная редукция модели Гросса–НевёВо вводной части главы рассматриваются свойства (1+1)-мерной модели Гросса–Невё с нарушением лоренц-инвариантности, имеющей действиеследующего вида:∫g(ψ̄ψ)2 ],S[ψ̄, ψ] = d2 x[ψ̄(γµ ∂µ − γµ bµ γ3 )ψ −2Nгде µ = 1, 2.Кратко описываются основные свойства данной модели в условиях нарушенной и не нарушенной лоренц-симметрии. Показан вид эффективногопотенциала данной модели в обоих случаях с использованием преобразования Хаббарда–Стратоновича, введения поля Φ и обрезания по импульсамс константой обрезания Λ2 .

Обсуждаются основные свойства модели и дополнительные свойства, возникающие с введением в лагранжиан моделичлена, нарушающего лоренц-инвариантность.Оставшаяся часть главы посвящена исследованию процедуры размерной редукции из трёх измерений в два для лоренц-ивариантного случаяи для случая с нарушенной лоренц-инвариантностью. Процедура сокращения размерности состоит в наложении ограничения масштаба одногоиз пространственных измерений и в устремлении этого масштаба к нулю.В данном случае накладывается ограничение на значения координаты x3 :x3 ∈ [0, β], что приводит к дискретизации третьей компоненты импульса:k3 = 2πnβ , где n ∈ Z.Для лоренц-ивариантного случая (bµ = 0) уравнение на минимум эф-6фективного потенциала (уравнение щели) можно записать в виде:∫12dk1 dk2 dk3=2G (2π)3k1 + k22 + k32 + Φ2После наложения ограничения на координату x3 и преобразований в пределе Λ2 ≫ Φ это соотношение записывается в виде:[ ()]Λ2β|Φ| 11sinh= exp πβ−222π GПараметр Λ2 здесь возникает из-за интегрирования по компонентам импульса вдоль координат x1 , x2 .При исследовании этого выражения в пределе β → ∞ получено соотношение между величинами Λ2 и Λ3 , где Λ3 – параметр обрезания поимпульсам в трехмерной модели:Λ2Λ31= 2 =2ππGcСоотношение для констант связи в двумерной и трехмерной моделях получено сравнением данного уравнения щели с уравнением щели в двумерноймодели.

Оно может быть записано в виде:)]−1[ (11,g= β−G Gcгде величина1βможет быть отождествлена с импульсом обрезания Λ2 .Для случая с нарушенной лоренц-инвариантностью уравнение щелиможет быть записано в виде:∫1d3 k2=G (2π)3(k1 − b1 )2 + (k2 − b2 )2 + k32 + Φ2При наложении ограничения x3 , выборе ограничения b3 = 0 и введениивеличины f = βΦ, f ≪ 1, вычисления приводят данное выражение к виду:1) Если |b1 | < |Φ|()11 βΛ2 1=− ln f 2 ,G πβ22откуда следует:[ ()]()111π1−= exp −|Φ| = exp πββGc Gβg72) Если|b1 | > |Φ|11=G πβоткуда следует:()√βΛ21− ln (β|b | + (βb1 )2 − f 2 ) ,2(())2|b1 |π12π|Φ| =exp −− 2 exp −βgβg2Эти выражения точно совпадают с уравнениями щели в двумерной модели Гросса-Невё с нарушением лоренц-инвариантности. При вычисленииданных выражений использовались ограничения: b0 ≪ Λ, f = βΦ ≪ 1,|f | ≪ βΛ, где Λ – параметр обрезания, использовавшийся при вычислениях и, вообще говоря, не совпадающий с Λ2 .Таким образом, получена процедура размерной редукции от трех измерений к двум для лоренц-неинвариантной модели Гросса–Невё.

Соотношения, полученные для лоренц-инвариантного случая, здесь сохраняются:Λ2Λ31= 2 =2ππGc[ ()]−111,g= β−G GcГлава 4. Волны киральной и пионной плотности в плотнойкварковой средеВо введении к данной главе описываются основные свойства исследуемой модели – (1+1)-мерной модели Намбу–Йона-Лазинио, лагрнжиан которой записывается в виде:[]]µIG[ρ02520L = q̄ γ i∂ρ + µγ + τ3 γ q +(q̄q) + (q̄iγ ⃗τ q) ,2Ncгде спинор q является дублетом по аромату и Nc -плетом по цветам (q =qi,α , где i = 1, 2 или i = u, d, и α = 1, ..., Nc ), а матрицы Паули τk (k =1, 2, 3) действуют в пространстве ароматов. В данной модели присутствуетхимический потенциал µ, т.е. рассматривается плотная кварковая среда, атакже изотопический химический потенциал µI = 2ν, т.е.

вводится явнаяизотопическая асимметрия.Показаны группы симметрий данной модели, преобразования полей поддействием этих групп. Для исследования образования конденсатов в рамках данной модели при помощи преобразования Хаббарда–Стратоновича8вводятся дополнительные бозонные поля, которые отвечают за образование конденсатов. Их также можно ввести в модель, эффективно проведяследующую замену, что дает такое же выражение для термодинамическогопотенциала (ТДП) модели:σ(x) = −2G(q̄q);Ncπa (x) = −2G(q̄iγ 5 τa q)NcПри таком определении полей для величины эффективного действия модели получено следующее выражение:][ 2∫σ + πa22Seff (σ, πa ) = −Nc d x+ S̃eff ,4Gгде величина S̃eff определяется из соотношения∫( ∫ { [] } 2 )′ρ005exp(iS̃eff ) = N [dq̄][dq] exp iq̄ γ i∂ρ +µγ +ντ3 γ −σ−iγ πa τa q d xВакуумные средние полей ⟨σ(x)⟩ и ⟨πa (x)⟩ должны быть определены каквеличины, реализующие минимум термодинамического потенциала.При ненулевой плотности кварковой среды возможно образование неоднородных кварковых конденсатов.

В работе рассматриваются две возможные реализации неоднородного конденсата – в виде волн киральной плотности и волн пионной плотности.Анзац для полей σ(x) и πa (x) при рассмотрении образования киральногоконденсата задается в следующем виде:σ(x) = M cos(2bx),π3 (x) = M sin(2bx),π1 (x) = ∆,π2 (x) = 0,где M, b и ∆ – постоянные величины.В главе отдельно рассматриваются образование однородного (b = 0) инеоднородного (b ̸= 0) конденсатов.

Для обоих случае найден ТДП данной модели. Показывается, при использовании обрезания, симметричногопо импульсам квазичастиц, выражение для ТДП получается физическинекорректным:1) Выражение для ТДП оказывается неограничено снизу по переменной b.2) При M = 0 величина ТДП зависит от b, что некорректно, так как Mявляется амплитудой волны киральной плотности, а b – входит в фазу.В работе приводится способ нахождения физически значимой величиныТДП за счет использования обрезания, симметричного по энергиям квазичастиц. В результате вычислений найдена величина физически значимого9ТДП:Ωphys(b + ν)2,(M, b, ∆) = Ω(M, b, ∆) +πгде√Ω(M, b, ∆) = V0 ( M 2 + ∆2 )− lim Λ∫Λ→∞ 0][√dp1+−E∆+ E∆− 2 p21 + M 2 + ∆2π∫∞}dp1 {++−−−(µ − E∆ )θ(µ − E∆ ) + (µ − E∆ )θ(µ − E∆ ) ,π0[ ( 2)]MM2ln−1 ,V0 (M ) =2πM02M0 – динамическая масса кварков при ∆ = 0, b = 0, µ = 0, µI = 0, т.е.

висходной модели НЙЛ и√√±±±22E∆ = (E ) + ∆ , E = E ± (b + ν), E = p21 + M 2 .Также исследуется возможность возникновения киральных волн плотности в случае ненулевой температуры (T ̸= 0). Проводится компактификация временного измерения и вводятся дискретные значения энергии,как это делалось для импульса при компактификации пространственногоизмерения (т.е. вводится суммирование по "мацубаровским"частотам):∫∞−∞∞∑)( )dp0 (· · · → iT··· ,2πn=−∞p0 → p0n ≡ iωn ≡ iπT (2n + 1), n = 0, ±1, ±2, ...Проведенные численные расчеты показывают, что минимумы ТДП лежатлибо в плоскости M = 0, либо в плоскости ∆ = 0, т.е. не существует смешанного барионного и пионного конденсата. Для этих отдельных случаевполучено выражение для ТДП при ненулевой температуре в следующемвиде:2TΩphys(M = 0, b, ∆) = V0 (∆) −Tπ∫∞{[dp1 ln−β(E−µ)][1+e0physΩT(ν + b)2−(M, b, ∆ = 0) = V0 (M ) −π10−β(E+µ)1+e]},T /M0T /M00.60.60.50.5SYMMETRIC PHASE0.4SYMMETRIC PHASE0.40.30.3PCH0.20.20.10.1CDW1CDW100.20.40.6µcM00.811.21.4µM000.20.40.6µcM00.8CDW21b−10 (ν)M01.21.4µM0Рис.

Характеристики

Список файлов диссертации