Энергия казимировского взаимодействия в квантовой теории поля на решетке (1105349), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû â ðåøåòî÷íîé òåîðèè âû÷èñëÿþòñÿ â òåðìèíàõ ñðåäíèõ ïî ïîëåâûì êîíôèãóðàöèÿì (ñîâîêóïíîñòÿì âñåõ ëèíêîâûõïåðåìåííûõ), ãåíåðèðóåìûì ñî ñòàòèñòè÷åñêèì âåñîìe−S .Íàáëþäàåìàÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ êàçèìèðîâñêîé ýíåðãèè âçàèìîäåéñòâèÿ÷åðí-ñàéìîíñîâñêèõ ïîâåðõíîñòåé ñòðîèòñÿ ïî àíàëîãèè ñ âèëüñîíîâñêîé ïåòëåé, îïèñûâàþùåé âçàèìîäåéñòâèÿ òî÷å÷íûõ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö.  ÊÝÄâèëüñîíîâñêàÿ ïåòëÿ çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:igWC = eHAµ dxµC= ei∫Jµ Aµ dx4.(4)Ïîêàçàòåëü ýêñïîíåíòû â (4) åñòü äîïîëíèòåëüíûé ÷ëåí â äåéñòâèè, îïèñûâàþùèé âçàèìîäåéñòâèå ïîëÿAµñ òîêîìHJµ (x) = g δ(x − ξ)dξµCíîé ÷àñòèöû.
Ñðåäíåå ïî êîíôèãóðàöèÿì îò âèëüñîíîâñêîé ïåòëèçàðÿæåí-⟨W (R, T )⟩(çäåñü R è T ðàçìåðû ïåòëè) ñòðåìèòñÿ â åâêëèäîâîì âðåìåíè â ïðåäåëåT →∞ãäåê:V (R)⟨W (R, T )⟩ → Ce−V (R)T , ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö. Ýòîò æå ìåòîä ìî-æåò áûòü èñïîëüçîâàí äëÿ âû÷èñëåíèÿ êàçèìèðîâñêîé ýíåðãèè ñ èñïîëüçîâàíèåì ÷åðí-ñàéìîíñîâñêîãî äåéñòâèÿ.5Ðèñ. 1: Âèëüñîíîâñêèé ìåøîê äëÿ äâóõ ïàðàëëåëüíûõ ïëàñòèí.Àíàëîãè÷íî îïèñàíèþ âçàèìîäåéñòâèÿ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö îäíîìåðíûìèíòåãðàëîì ïî âèëüñîíîâñêîé ïåòëå, ìû áóäåì îïèñûâàòü êàçèìèðîâñêîå âçàèìîäåéñòâèå ñîîòâåòñòâóþùèì òðåõìåðíûì èíòåãðàëîì. Íî íà ïóòè ê ôîðìóëèðîâêå, ïðèãîäíîé äëÿ ðåøåòî÷íûõ ðàñ÷åòîâ, åñòü äâà ïðåïÿòñòâèÿ.Âî-ïåðâûõ, äëÿ ñòàöèîíàðíûõ îáúåêòîâ ÷åðí-ñàéìîíñîâñêîå äåéñòâèå ýòîèíòåãðàë îòt = −∞äît = ∞,òàê ÷òî, ïî àíàëîãèè ñ âèëüñîíîâñêîé ïåò-ëåé, â ðåøåòî÷íîé ôîðìóëèðîâêå ìû äîëæíû çàìêíóòü ïîâåðõíîñòü èíòåãðèðîâàíèÿ âî âðåìåííîì íàïðàâëåíèè.
Èòîãîâàÿ ïîâåðõíîñòü èíòåãðèðîâàíèÿäëÿ çàäà÷è î äâóõ ïëîñêîñòÿõ ïîêàçàíà íà ðèñ. 1. Ýòà ïðîöåäóðà çàìûêàíèÿ,î÷åâèäíî, ìîæåò áûòü ïðèìåíåíà äëÿ ëþáûõ êðèâîëèíåéíûõ ïîâåðõíîñòåé.Ðåçóëüòàòîì ïðîöåäóðû ÿâëÿåòñÿ âèëüñîíîâñêèé ìåøîê. Äëÿ ïðîèçâîëüíîéïîâåðõíîñòè îí ìîæåò áûòü çàïèñàí ñëåäóþùèì îáðàçîì:Iexp(iλεµνρσ Aν Fρσ dSµ ),ΣãäåΣ çàìêíóòàÿ òðåõìåðíàÿ ïîâåðõíîñòü â ÷åòûðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè. Òàêèì îáðàçîì, âèëüñîíîâñêèé ìåøîê (ïî àíàëîãèè ñ Âèëüñîíîâñêîé ïåòëåé) ÿâëÿåòñÿ íàáëþäàåìîé âåëè÷èíîé, êîòîðàÿ, áóäó÷è óñðåäíåííîéïî ïîëåâûì êîíôèãóðàöèÿì, äàñò íàì âåëè÷èíó êàçèìèðîâñêîé ýíåðãèè âçàèìîäåéñòâèÿ îáúåêòîâ, îïðåäåëåííûõ ïîâåðõíîñòüþ èíòåãðèðîâàíèÿ.Âî-âòîðûõ, íåîáõîäèìî ïåðåïèñàòü ýòó íàáëþäàåìóþ â òåðìèíàõ ðåøåòî÷íûõ îáúåêòîâ (ëèíêîâ è ïëàêåòîâ).
ÏðîèçâåäåíèåAν Fρσìîæåò áûòü âîñïðîèçâåäåíî òî÷íî òîëüêî â íåêîìïàêòíîé ÊÝÄ, ïîòîìó ÷òîòîëüêî â ýòîì ñëó÷àå ëèíêîâàÿ ïåðåìåííàÿàíàëîãîìAν ,à ïëàêåòíàÿ ïåðåìåííàÿFµν .6θl,νθp,µνÿâëÿåòñÿ òî÷íûì ðåøåòî÷íûìÿâëÿåòñÿ ðåøåòî÷íûì àíàëîãîìÐåøåòî÷íàÿ ðåàëèçàöèÿ íàøåé íàáëþäàåìîé, âèëüñîíîâñêîãî ìåøêà,äîëæíà îòâå÷àòü ñëåäóþùèì òðåáîâàíèÿì:1) Êàëèáðîâî÷íàÿ èíâàðèàíòíîñòü. Ïîëíûé èíòåãðàë ïî çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè äëÿ âèëüñîíîâñêîãî ìåøêà äîëæåí áûòü êàëèáðîâî÷íûì èíâàðèàíòîì îòíîñèòåëüíî ðåøåòî÷íîé ðåàëèçàöèè êàëèáðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèé.2) Ëîêàëüíîñòü.
 ïðåäëàãàåìîì ðåøåòî÷íîì ïðåäñòàâëåíèè âåëè÷èíûAν Fρσ , AνèFρσäîëæíû áûòü çàäàíû â îäíîé è òîé æå òî÷êåâàíèå íåòðèâèàëüíî ïîòîìó, ÷òîFρσθp,ρσx.Ýòî òðåáî-çàäàåò âåëè÷èíó íàïðÿæåííîñòè ïîëÿθνâ öåíòðå ïëàêåòà, â òî âðåìÿ êàêçàäàåò âåëè÷èíó ïîëÿAνâ öåíòðåëèíêà, à ýòî ðàçíûå òî÷êè. ðàáîòå ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî óäîâëåòâîðÿþùóþ âñåì ýòèì òðåáîâàíèÿì íàáëþäàåìóþ ìîæíî ïîñòðîèòü â òðè ýòàïà.1) Áàçîâûì ýëåìåíòîì äëÿ ïîñòðîåíèÿ ðåøåòî÷íîãî ÷åðí-ñàéìîíñîâñêîãîäåéñòâèÿ áóäåò óãîëîê: ïðîèçâåäåíèå ëèíêîâîé ïåðåìåííîé è îäíîé èç ñîñåäíèõ ïëàêåòíûõ ïåðåìåííûõ. Ýòî ïðîèçâåäåíèå ÿâëÿåòñÿ ðåøåòî÷íûì àíàëîãîì äëÿAν Fρσ .2) Ââîäèòñÿ íîâàÿ ðåøåòî÷íàÿ ïåðåìåííàÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ îäíîìó òðåõìåðíîìó êóáó:θc,µ (x) = εµνρσ (θl,ν (x) + θl,ν (x + ρ̂) + θl,ν (x + σ̂)++θl,ν (x + ρ̂ + σ̂))(θp,ρσ (x) + θp,ρσ (x + ν̂)).(5)Ýòà ïåðåìåííàÿ ÿâëÿåòñÿ ñóììîé âñåõ âîçìîæíûõ âàðèàíòîâ óãîëêîâòðåõ âîçìîæíûõ îðèåíòàöèé âíóòðè îäíîãî òðåõìåðíîãî êóáà, êîòîðûé îïðåäåëåí óçëîì ðåøåòêè (ýòî îäíà èç åãî âåðøèí) è ÷åòûðåõìåðíûì âåêòîðîìnµ(îïðåäåëÿåò íàïðàâëåíèå ðåáåð êóáà).3) Î÷åâèäíî, ëþáàÿ òðåõìåðíàÿ ïîâåðõíîñòü â ÷åòûðåõìåðíîì ïðîñòðàí-ñòâå ìîæåò áûòü àïïðîêñèìèðîâàíà íà ðåøåòêå íàáîðîì òðåõìåðíûõ êóáèêîâ, êîòîðûå ïîäñîåäèíÿþòñÿ äðóã ê äðóãó, èìåÿ êàæäûé ðàç îáùóþ ñ ñîñåäíèì êóáèêîì ãðàíü.
 ðåçóëüòàòå, ðåøåòî÷íîå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ ÷åðíñàéìîíñîâñêîãî äåéñòâèÿ íà ïðîèçâîëüíîé çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòèΣìîæåòáûòü çàïèñàíî ñëåäóþùèì îáðàçîì:SCS =ãäånµ (x)β8∑nµ (x)θc,µ (x).(6)x∈Σ- íîðìàëüíûé âåêòîð ê ïîâåðõíîñòè.Òàêèì îáðàçîì ïîëíîñòüþ ñôîðìóëèðîâàíà ðåøåòî÷íàÿ íàáëþäàåìàÿ äëÿêàçèìèðîâñêîé ýíåðãèè âçàèìîäåéñòâèÿ ÷åðí-ñàéìîíñîâñêèõ ïîâåðõíîñòåé.Ãëàâà 2 ïîñâÿùåíà îïèñàíèå ýôôåêòà Êàçèìèðà íà ðåøåòêå äëÿ èäåàëü-íûõ ïðîâîäíèêîâ è äèýëåêòðèêîâ.7 ïåðâîì ðàçäåëå 2.1 îïèñûâàåòñÿ ðåàëèçàöèÿ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé äëÿïðîâîäíèêîâ íà ðåøåòêå.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìàòðèâàåòñÿ ñâåðõïðîâîäíèê, âûòåñíÿþùèé è ýëåêòðè÷åñêîå è ìàãíèòíîå ïîëå.
Åãî ìîæíî îïèñàòüãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè:E∥ |S = 0,Hn |S = 0.(7)Íà ðåøåòêå ëþáàÿ ïîâåðõíîñòü àïïðîêñèìèðóåòñÿ ïëîñêîñòÿìè, íîðìàëüíûìè ê x,y èëè z-íàïðàâëåíèþ; ïîýòîìó äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü êàê ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ðåàëèçóþòñÿ íà îäíîé òàêîé ïëîñêîñòè. Óñëîâèÿ íà ýëåêòðè÷åñêîå è ìàãíèòíîå ïîëÿ çàìåíÿþòñÿ óñëîâèÿìè íà ïëàêåòíóþ ïåðåìåííóþ, ïðåäñòàâëÿþùóþFµνâ ÊÒÏ íà ðåøåòêå. Êðîìå òîãî, îñóùåñòâëÿåòñÿïåðåõîä ê åâêëèäîâîìó âðåìåíè.
 ðåçóëüòàòå óñëîâèÿ íà ïëàêåòíóþ ïåðåìåííóþ ïðèíèìàþò âèä (äëÿ ïðîâîäÿùåé ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê zíàïðàâëåíèþ):θp,41 (x) = 0,θp,42 (x) = 0,θp,12 (x) = 0.Ôàêòè÷åñêè ýòè óñëîâèÿ çàäàíû íà ïëàêåòàõ â òðåõìåðíîé ïîäðåøåòêå (ïîîñÿì x, y è åâêëèäîâîãî âðåìåíè). Îáîáùàÿ ðåçóëüòàò ñ ó÷åòîì òîãî ÷òî íàðåøåòêå ëþáàÿ ïîâåðõíîñòü ðàçáèâàåòñÿ íà ó÷àñòêè, ïåðïåíäèêóëÿðíûå îñÿìx, y èëè z, èòîãîâûé ðåöåïò ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: åñëèìû õîòèì îïèñûâàòü íà ðåøåòêå èäåàëüíûé ïðîâîäíèê, òî íà åãî ïîâåðõíîñòèâåêòîð-ïîòåíöèàë äîëæåí ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé ÷èñòóþ êàëèáðîâêó:θl,i = α(x + î) − α(x)(8)Ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû íà ðåøåòêå âû÷èñëÿþòñÿ ïðè ïîìîùè ñðåäíèõ ïîïîëåâûì êîíôèãóðàöèÿì, ïðè÷åì è äåéñòâèåSeucl.è íàáëþäàåìàÿF [Aµ ]-êàëèáðîâî÷íî-èíâàðèàíòíûå âåëè÷èíû.
Òàêèì îáðàçîì, ìû ê êàæäîé êîíôèãóðàöèè ìîæåì ïðèìåíÿòü íåêîòîðûå êàëèáðîâî÷íûå ïðåîáðàçîâàíèÿ (èõðåøåòî÷íóþ ðåàëèçàöèþ) è ðåçóëüòàò îñòàíåòñÿ íåèçìåííûì.  òî æå âðåìÿ, ïîëÿ íà ãðàíèöå, êàê áûëî ïîêàçàíî âûøå, ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ÷èñòóþêàëèáðîâêó è ìîãóò áûòü ñîîòâåòñòâóþùèì êàëèáðîâî÷íûì ïðåîáðàçîâàíèåì ñâåäåíû ê íóëþ. À òàê êàê ïðè ýòîì íè íàáëþäàåìàÿ, íè äåéñòâèå íåèçìåíÿþòñÿ, òî ìîæíî èçíà÷àëüíî ãåíåðèðîâàòü êîíôèãóðàöèè, ãäå íà âñåõëèíêàõ, ïîïàâøèõ íà ãðàíèöó èäåàëüíîãî ïðîâîäíèêà, âåêòîð-ïîòåíöèàë èñ÷åçàåò. Ýòîò àëãîðèòì è äàåò ðåöåïò ãåíåðàöèè ïîëåâûõ êîíôèãóðàöèé â ïðèñóòñòâèè èäåàëüíî ïðîâîäÿùèõ òåë.8 ðàçäåëå 2.2 ðàññìàòðèâàåòñÿ ãåíåðàöèÿ ïîëåâûõ êîíôèãóðàöèé â ïðèñóòñòâèè äèýëåêòðè÷åñêèõ òåë.  îòëè÷èå îò èäåàëüíîãî ïðîâîäíèêà çäåñüíóæíî ó÷èòûâàòü íå òîëüêî ïîâåðõíîñòü, íî è âíóòðåííþþ îáëàñòü òåëà.Ïóñòü åñòü íåêîòîðûé ÷åòûðåõìåðíûé (ó÷èòûâàþùèé ïðîòÿæåííîñòü âîâðåìåíè) îáúåì V, çàíÿòûé äèýëåêòðèêîì ñ ïðîíèöàåìîñòüþε.Äåéñòâèå òà-êîé òåîðèè çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:3∑1∫1∫ ∑µνS=Fµν F dV +(ε F0i F 0i + Fij F ij )dV42 V i=1i<jV̄Ïðè ïåðåïèñûâàíèè ýòîãî äåéñòâèÿ â ðåøåòî÷íóþ òåîðèþ ïîëó÷àåòñÿ ïðîñòî äîïîëíèòåëüíûé ìíîæèòåëüεïåðåä ïëàêåòàìè ñ îðèåíòàöèåé, çàäàâàå-ìîé èíäåêñàìè 4i (i=1,2,3), ïîïàâøèìè â îáúåì äèýëåêòðèêà.Slat.ε ∑= β2 x∈V3∑β2θp,4i(x) +2i=1β+2∑x3∑∑x∈V̄3∑2θp,4i(x) +i=12θp,ij(x) .i,j=1,i<jÎäíàêî â ïðàêòè÷åñêèõ ïðèëîæåíèÿõ äëÿ äèýëåêòðèêà âåñüìà âàæåí ó÷åòçàâèñèìîñòè äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè îò ÷àñòîòû.
 ýòîì ñëó÷àå ìûðàáîòàåì â êàëèáðîâêåA4 = 0è ïðîâîäÿ ôóðüå-ïðåîáðàçîâàíèå â åâêëèäîâîì âðåìåíè1 ∫Ai = √Ãi e−iωτ dω,2πi = 1, 2, 3,ïðåäñòàâëÿåì äåéñòâèå â âèäå èíòåãðàëà ïî ìíèìûì ÷àñòîòàì:Seucl.[]1∫222=d⃗rdω F̃12+ F̃13+ F̃23+ ε(iω)ω 2 (Ã21 + Ã22 + Ã23 ) .2 òàêîé ôîðìóëèðîâêå, ïðîâîäÿ âû÷èñëåíèå êîíòèíóàëüíîãî èíòåãðàëà äëÿêàæäîé èç ìíèìûõ ÷àñòîò ïî îòäåëüíîñòè, ìîæíî ÿâíî ó÷åñòü çàâèñèìîñòüäèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè ìàòåðèàëà îò ìíèìîé ÷àñòîòû. ðàçäåëå 2.3 ñòðîèòñÿ ðåøåòî÷íàÿ íàáëþäàåìàÿ, ñ ïîìîùüþ êîòîðîéâû÷èñëÿåòñÿ âàêóóìíàÿ ýíåðãèÿ è ïðîâîäèòñÿ ïðîöåäóðà åå ïåðåíîðìèðîâêè, ïîçâîëÿþùàÿ â íåïðåðûâíîì ïðåäåëå ïîëó÷èòü êîíå÷íîå âûðàæåíèå äëÿêàçèìèðîâñêîé ýíåðãèè âçàèìîäåéñòâóþùèõ òåë.Îñíîâíîé çàäà÷åé ÿâëÿåòñÿ âîñïðîèçâåäåíèå â ðåøåòî÷íîé òåîðèè âàêóóìíûõ ñðåäíèõ òèïà9∫V⟨0|T 00 |0⟩d⃗x.(9)Èçâåñòíî (Êðîéö, 1981), ÷òî åñëè äëÿ ëþáîé êâàíòîâîé ñèñòåìû ðàññìàòðèâàòü "ðåøåòî÷íûé"ôîðìàëèçì äëÿ ôåéíìàíîâñêîãî èíòåãðàëà ïî ïóòÿì(òîåñòü êîãäà òðàåêòîðèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íàáîð çíà÷åíèé êîîðäèíàò â ðàçíûå ìîìåíòû âðåìåíè:x(ti ) = xi , i = 0...N ),òî ïðè ãåíåðàöèè òàêèõ äèñêðå-òèçîâàííûõ "òðàåêòîðèé"ñ âåñîì−Seucl [x] exp ,h̄êîîðäèíàòàxnâ êàæäîì âðåìåííîì ñëîå ðàñïðåäåëåíà ñ ïëîòíîñòüþ âåðîÿò-íîñòè, ñîîòâåòñòâóþùåé âàêóóìíîìó ñîñòîÿíèþ.
Ïîýòîìó åñëè ìû ïîäñ÷èòàåì ñðåäíåå, íàïðèìåð, îò ïîòåíöèàëà ïî êàêîìó-ëèáî âðåìåííîìó ñëîþ:∑conf⟨V (xn )⟩ =V (xn )e−S(x)/h̄∑e−S(x)/h̄,confòî ïîëó÷èì âàêóóìíîå ñðåäíåå ïîòåíöèàëà⟨0|V |0⟩.Âàêóóìíîå îæèäàíèå äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè âû÷èñëÿåòñÿ íåñêîëüêîñëîæíåå è â êîíöå êîíöîâ ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåé íàáëþäàåìîé:m (xn+1 − xn )2h̄⟨0|T |0⟩ = ⟨−+⟩.2a22a(10)Ñðåäíåå îò ïåðâîãî ñëàãàåìîãî â äàííîé ôîðìóëå â íåïðåðûâíîì ïðåäåëå ðàñõîäèòñÿ. Îäíàêî âòîðîå ñëàãàåìîå ÿâíûì îáðàçîì âûäåëÿåò è ñîêðàùàåò ðàñõîäÿùóþñÿ ÷àñòü. Äàííàÿ ôîðìóëà, ñîáñòâåííî, è äàåò ðåöåïò ê âû÷èñëåíèþêèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ëþáûõ êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì â ðåøåòî÷íîìôîðìàëèçìå.Ýòîò ìåòîä ëåãêî îáîáùàåòñÿ íà ïîëåâóþ ñèñòåìó, òàê êàê â ðåøåòî÷íîìôîðìàëèçìå ïîëåâàÿ ñèñòåìà ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ íè ÷òî èíîå, êàê êâàíòîâóþ ñèñòåìó ñ áîëüøèì ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû.
 íåêîìïàêòíîé ÊÝÄ íàðåøåòêå ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ íàáëþäàåìóþ äëÿ âàêóóìíîé ýíåðãèè:β⟨0|H|0⟩ = ⟨2∑()2−θp,4i(x) +x,i∑2θp,ij(x)⟩.(11)x,i<jÏî ñóòè äåëà, àíàëîãè÷íî âû÷èñëåíèþ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè, ìåíÿåòñÿçíàê ó ïëàêåòîâ, ðàñòÿíóòûõ ïî åâêëèäîâîìó âðåìåíè. Ïîñëå îïðåäåëåíèÿ10íàáëþäàåìîé âñòàåò âîïðîñ î ïåðåíîðìèðîâêå âû÷èñëåííîé âåëè÷èíû. Âîïåðâûõ, íàäî ó÷åñòü ñóùåñòâîâàíèå êîíñòàíòû1/2∆tâ âûðàæåíèè äëÿ êè-íåòè÷åñêîé ýíåðãèè. Ýòî äåëàåòñÿ â ïåðâîì ýòàïå ïåðåíîðìèðîâêè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
