Автореферат (1105319), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Âîçìîæíû äâà êëàññà óïðàâëåíèé ïðîãðàììíûåu(t)è ñèíòåçèðîâàííûåU (t, xt(·)).Îáå ïîñòàíîâêè ïîäðàçóìåâàþò ïîñòðîåíèå ìíîæåñòâ äîñòèæèìîñòèè ðàçðåøèìîñòèWt[·],Xt [·]ÿâëÿþùèìèñÿ, ñîîòâåòñòâåííî, ìíîæåñòâàìè âñåâîç-ìîæíûõ ñîñòîÿíèé ñèñòåìû äîñòèæèìûõ èç íà÷àëüíîé ïîçèöèè ñèñòåìû èñîñòîÿíèé, îòêóäà ìîæíî ïîïàñòü â öåëåâîå ìíîæåñòâî:Xt [·] = Xt (·, t0, X 0 (·)) =Wt[·] =[[{xt(·, t0, xt0 (·), u(·))},{x∗(·) ∈ H | ∃u(·) ∈ U [t, t1] : xt1 (·, t, x∗(·), u(·)) ∈ M(·)}.Òàêæå ðàññìàòðèâàþòñÿ êîíå÷íîìåðíàÿ è óíêöèîíàëüíàÿ ïîñòàíîâêèçàäà÷è öåëåâîãî óïðàâëåíèÿ íå â çàäàííîå âðåìÿ, à â òå÷åíèå íåêîòîðîãî èíòåðâàëà.  ýòîé ïîñòàíîâêå òðåáóåòñÿ ïîïàäàíèå òðàåêòîðèè ñèñòåìû â òðåáóåìîå ìíîæåñòâî íå â èêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíè, à â ëþáîé ìîìåíòâðåìåíè â òå÷åíèè âñåãî çàäàííîãî îòðåçêà.
Òî åñòü, äëÿ çàäà÷è öåëåâîãîóïðàâëåíèÿ âî ìíîæåñòâîM(·)òðåáóåòñÿ îáåñïå÷èòü óñëîâèåïðè êàêîì ëèáî ìîìåíòå âðåìåíèτ ∈ [t0, t1 ].xτ (·) ∈ M(·),Îñîáåííîñòüþ äàííûõ çàäà÷áóäåò, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâûïóêëàÿ ñòðóêòóðà ìíîæåñòâ äîñòèæèìîñòè è ðàç8ðåøèìîñòè.Êëþ÷åâûì ïîíÿòèåì ïðè íàõîæäåíèè ââåäåííûõ ìíîæåñòâ ÿâëÿåòñÿ óíêöèîíàë öåíûV (t, xt(·)),çàâèñÿùèé îò òåêóùåé ïîçèöèè, è ìíîæåñòâàìèóðîâíÿ êîòîðîãî áóäåò èñêîìîå ìíîæåñòâî. È äëÿ âñåõ çàäà÷ áóäåò âàæíûìîïðåäåëåíèå ïðèíöèïà îïòèìàëüíîñòè èëè ïîëóãðóïïîâîãî ñâîéñòâà êàê äëÿóíêöèîíàëîâ, òàê è äëÿ ìíîæåñòâ. Ýòî äàåò âîçìîæíîñòü âû÷èñëÿòü ýòèîáúåêòû ðåêóððåíòíî, òåì ñàìûì óìåíüøàÿ îáúåì âû÷èñëåíèé.Ôóíêöèîíàë öåíûV (t, x∗(·))V (t, x∗(·) | τ, ϕ(·)) =ââîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ îðìóë:min {ϕ(xτ (·, t, x∗(·), u(·))) | xt(·) = x∗(·)},u(·)∈U [t,τ ]V (t, x∗(·)) = V (t, x∗(·) | t1 , V (t1, ·)),V (t1 , x∗(·)) = d2 (x∗(·), M(·)), x∗(·) ∈ H.Ñîîòâåòñòâóþùåå îòîáðàæåíèå óäîâëåòâîðÿåò ïîëóãðóïïîâîìó ñâîéñòâó:V (t, x∗(·) | t1 , V (t1 , ·)) = V (t, x∗(·) | τ, V (τ, · | t1 , V (t1 , ·))),ïðèt0 ≤ t ≤ τ ≤ t1 .À ìíîæåñòâî ðàçðåøèìîñòè ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ìíîæåñòâà óðîâíÿ:Wt [·] =[{x∗(·) ∈ H | V (t, x∗(·)) ≤ 0}.Èñïîëüçóÿ ìåòîäû âûïóêëîãî àíàëèçà ìîæíî ïîëó÷åíî ÿâíîå ïðåäñòàâëåíèå óíêöèîíàëà öåíûV (t, xt(·)),çàäàâàåìîå îðìóëàìèV (t, x∗(·)) = max ϕ(t, x∗(·), l(·)).l(·)∈HÇäåñü+Rt t−hϕ(t, x∗(·), l(·)) = hl(·), x∗(·)i + LSt′1 (·, t)l(·), x(0) −Rt1− ρ −LB ′ (τ )St′1 (·, τ )l(·) P (τ ) dτ +tLA′1(τ + h)St′1 (·, τ + h)l(·), x(τ − t) dτ − ρ (l(·)| M(·)) − 1/4 hl(·), l(·)i ,La∗ (·) = a∗ (0) +Z0−h9a∗ (τ )dτ,x∗ (τ ) = x(τ + t1 − t), τ ∈ [−h, t − t1 ), ñëó÷àåt1 ≥ t + hóíêöèÿx∗(τ ) = 0ïðèx∗(τ ) = 0, τ ∈ [t − t1, 0].τ ∈ [−h, 0].Äîêàçàíî, ÷òî äàííûé óíêöèîíàë öåíû óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèÿ àìèëüòîíà - ßêîáè - Áåëëìàíà:∂V (t, x∗(·)) dx0(·),+∂x0(·)dτ∗∂V (t, x∗(·))∂V(t,x(·)) P (t) = 0,+, A0(t)x(0) + A1 (t)x(−h) −ρ −B ′ (t)0∂x∂x0∂V (t, x∗(·))+∂t îãðàíè÷åíèåì â ìîìåíò âðåìåíèt1 :V (t1 , x∗(·)) = d2(x∗(·), M(·)).Ñëó÷àé êîíå÷íîìåðíîãî öåëåâîãî ìíîæåñòâà ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåìçàäà÷è ñ áåñêîíå÷íîìåðíûì öåëåâûì ìíîæåñòâîì.
Ìíîæåñòâî ðàçðåøèìîñòèè óíêöèîíàë öåíû íàõîäÿòñÿ ïî âûøåîïèñàííûì îðìóëàì, êîòîðûå ñîõðàíÿþò ñâîé âèä. Îòëè÷èå ïðîÿâèòñÿ òîëüêî â êðàåâîì óñëîâèè, êîòîðîå áóäåòêîíå÷íîìåðíûì.Ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ àìèëüòîíà-ßêîáè-Áåëëìàíà ñòðîèòñÿ âîîáùå ãîâîðÿ ìíîãîçíà÷íûé ñèíòåç óïðàâëåíèé:∂V (t, xt(·)),u .U (t, xt(·)) = Arg min B (t)∂x0u∈P (t)′Ñ ïîìîùüþ âûðàæåíèéV (t, xt(·), zt1 (·) | τ, ϕ(·, ·)) =min {ϕ(xτ (·, t, xt(·), u(·)), zt1 (·))}.u(·)∈U [t,τ ]V (t, xt(·), zt1 (·)) = V (t, xt(·), zt1 (·) | t1 , V (t1, ·, ·)),V (t1 , x∗(·), z ∗(·)) = d2(x∗(·), z ∗(·)), x∗(·) ∈ H, z ∗ (·) ∈ H.ââîäèòñÿ óíêöèîíàë öåíûV (t, xt(·), zt1 (·))äëÿ íàõîæäåíèÿ ìíîæåñòâà äî-ñòèæèìîñòè.
Äëÿ êîòîðîãî òàêæå âûâîäÿòñÿ ïðèíöèï îïòèìàëüíîñòè è óðàâíåíèå àìèëüòîíà-ßêîáè-Áåëëìàíà. Ñ ïîìîùüþ ìåòîäîâ âûïóêëîãî àíàëèçàíàõîäèòñÿ àíàëèòè÷åñêîå âûðàæåíèå.10Äëÿ ìíîæåñòâ äîñòèæèìîñòè è ðàçðåøèìîñòè â òå÷åíèå çàäàííîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè ïîëó÷åíû âûðàæåíèÿ ÷åðåç ñîîòâåòñòâóþùèå óíêöèîíàëû öåíû.Âòîðàÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà íàõîæäåíèþ èñ÷åðïûâàþùèõ ýëëèïñîèäàëü-íûõ âíóòðåííèõ è âíåøíèõ îöåíîê ìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòè ó ëèíåéíîéóïðàâëÿåìîé ñèñòåìû ñ çàïàçäûâàíèåì ïðè ãåîìåòðè÷åñêèõ îãðàíè÷åíèÿõ íàóïðàâëåíèå.
Îñíîâíîå ñîäåðæàíèå äàííîé ãëàâû îïóáëèêîâàíî â ðàáîòå [45℄.Çàäàåòñÿ ëèíåéíóþ óïðàâëÿåìóþ ñèñòåìó ñ çàïàçäûâàíèåìẋ(τ ) = A0 (τ )x(τ ) + A1(τ )x(τ − h) + B(τ )u(τ ),xt (τ ) = x∗(τ ),íà îòðåçêåτ ∈ [t0, t1],τ ∈ [−h, 0].[t0 , t1].åøåíèå ñèñòåìû ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê â êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå,òàê è â áåñêîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâåH.Ñîîòâåòñòâåííî, ïîëó÷àþòñÿ äâå ïîñòàíîâêè - êîíå÷íîìåðíàÿ è óíêöèîíàëüíàÿ.Íà óïðàâëåíèå è íà÷àëüíûå óñëîâèÿ çàäàþòñÿ ýëëèïñîèäàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ:u(τ ) ∈ E(q(τ ), Q(τ )) ïðè τ ∈ [t0, t1],x0(τ ) ∈ E(x0(τ ), X0(τ )), τ ∈ [t0 − h, t0].ÏîäE(q, Q),ãäåëèïñîèä ñ öåíòðîìqq ∈ Rn , Q ∈ Rn×n , Q′ = Q ≥ 0,è ìàòðèöåéQ,áóäåì ïîíèìàòü ýë-òî åñòü âûïóêëîå çàìêíóòîå ìíîæåñòâîîïðåäåëÿåìîå îïîðíîé óíêöèåéρ (l| E(q, Q)) = hq, li + hl, Qli1/2 . ýòîì ñëó÷àå êîíå÷íîìåðíîå ìíîæåñòâî äîñòèæèìîñòè ÿâëÿåòñÿ ñóììîé ýëëèïñîèäà è èíòåãðàëà îò ýëëèïñîèäà.
Ïîýòîìó èñïîëüçóÿ àïïàðàò âíóòðåííåãî ýëëèïñîèäàëüíîãî îöåíèâàíèÿ ([43℄, ñ.204) ïîëó÷àþòñÿ ÿâíûå èñ÷åð11ïûâàþùèå ýëëèïñîèäàëüíûå îöåíêè. Ìíîæåñòâî äîñòèæèìîñòèåäèíåíèå ýëëèïñîèäîâ ïî âñåâîçìîæíûìX[t] =[X[t] åñòü îáú-T (·), T0, T0(·):{E(x−(t), X − (t))|T (·), T0, T0(·)}.äåX − (t) = Q∗(t)′ Q∗(t),Q̇∗ (τ ) = Q∗ (τ )A′0(τ ) + Q∗(τ − h)A′1(τ ) + T (τ )Q1/2(τ )B ′(τ ), τ ∈ [t0 , t],ïðè íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ1/2Q∗(τ ) = T0(τ )X0 (τ ),Âûáîðîì ìàòðèöT0(·)èT (·)τ ∈ [t0 − h, t0 ].([43℄, ñ.204) ìîæíî äîáèòüñÿ ñîâïàäåíèÿîïîðíûõ óíêöèé ìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòè è âíóòðåííåé îöåíêè äëÿ ëþáîãîçàðàíåå èêñèðîâàííîãî âåêòîðàlRn :èçÀíàëîãè÷íûå îðìóëû ïîëó÷àþòñÿ äëÿ âíåøíèõ îöåíîê.Ïðèâåäåíû ãðàè÷åñêèå èëëþñòðàöèè ïîñòðîåíèÿ âíåøíèõ è âíóòðåííèõ îöåíîê. óíêöèîíàëüíîì ñëó÷àå òàêæå ïîëó÷àåòñÿ ïîëó÷èòü âíóòðåííèå èñ÷åðïûâàþùèå îöåíêè ýëëèïñîèäàëüíîãî òèïà, ïðè÷åì íåêîòîðûå èç íèõ ìîæíî âû÷èñëÿòü ðåêêóðåíòíî. òðåòüåé ãëàâå ðàññìîòðåíà àïïðîêñèìàöèÿ ñèñòåìû ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ïðÿìûõ. Îáîáùåí ðåçóëüòàò [18℄ íà ñëó÷àé ñèñòåìû ñ óïðàâëåíèåì.Ïðè íàõîæäåíèè ïðèáëèæåííûõ ðåøåíèé âîçìîæíû äâà ïîäõîäà.
Àïïðîêñèìàöèÿ ðåøåíèé è àïïðîêñèìàöèÿ ñàìîé ïîñòàíîâêè çàäà÷è.  äàííîìñëó÷àå èñïîëüçóåòñÿ âòîðîé ïîäõîä. Íåîáõîäèìîñòü ðåãóëÿðèçàöèè âûçâàíàíåêîððåêòíîñòüþ çàäà÷è íà ïîèñê ìíîæåñòâà ðàçðåøèìîñòè, òðåáóåìîãî ïðèïîèñêå ñèíòåçà óïðàâëåíèÿ â ðåæèìå ðåàëüíîãî âðåìåíè.àññìàòðèâàåòñÿ ëèíåéíàÿ óïðàâëÿåìóþ ñèñòåìà ñ çàïàçäûâàíèåìẋ(τ ) = A0 (τ )x(τ ) + A1(τ )x(τ − h) + B(τ )u(τ ),12τ ∈ [t0, t1],xt (τ ) = x∗(τ ),íà îòðåçêå[t0 , t1]τ ∈ [−h, 0].ñ îãðàíè÷åííûì íà÷àëüíûì óñëîâèåìkx0(·)k ≤ K1.Óïðàâëåíèå ðàâíîìåðíî îãðàíè÷èâàåòñÿ äëÿku(τ )k ≤ K2,åñëèτ ∈ [t0, t1 ]:u(τ ) ∈ P (τ ), τ ∈ [t0 , t1]Ýòà ñèñòåìà ìîæíî àïïðîêñèìèðóåòñÿ ñèñòåìîé îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé:ẏ0(t) = A0(t)y0 (t) + A1(t)ym (t) + B(t)u(t),ẏ1 (t) =mh (y0 (t)− y1 (t)),...ẏm (t) =ãäåmh (ym−1 (t)− ym (t)),yi(t) ∈ Rn , i = 0, 1, ..., m.Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ïðèìóò ñëåäóþùèé âèä:y0 (t0) = x0 (0), yi (t0 ) =mh(−i+1)h/mZx0(τ )dτ, i = 1, 2, ..., m.−ih/mÄîêàçûâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåîðåìà:Äëÿ ëþáûõM(ε, δ)ε > 0, δ > 0 ñóùåñòâóåò ÷èñëî M(ε, δ) òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî m >ðàâíîìåðíî ïî âñåì íà÷àëüíûì óíêöèÿìx0(·)è óïðàâëåíèÿìu(·),óäîâëåòâîðÿþùèì íà÷àëüíûì îãðàíè÷åíèÿì áóäåò âûïîëíÿòüñÿ ñîîòíîøåíèåkx(t − ih/m) − yi (t)kC[t0+h+δ,t1] < ε, i = 0, 1, ..., m.Èç êîòîðîé ñëåäóåò, ÷òî åñëè ðåøèòü çàäà÷ó ñèíòåçà äëÿ ïðèáëèæåííîéñèñòåìû ( ïðè ýòîì óïðàâëåíèå è íà÷àëüíîå óñëîâèå äîëæíî óäîâëåòâîðÿòüñîîòâåòñòâóþùèì îãðàíè÷åíèÿì) è ïîäñòàâèòü íàéäåííûé ñèíòåç â èñõîäíóþñèñòåìó, òî â ðåçóëüòàòå îáåñïå÷èâàåòñÿ ïîïàäàíèå íà öåëåâîå ìíîæåñòâî ñòðåáóåìîé òî÷íîñòüþ.13Äëÿ ñèñòåìû ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè ïðèâåäåíî äîêàçàòåëüñòâî ñõîäèìîñòè ìåòîäà ïðÿìûõ ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà. ÷åòâåðòîé ãëàâå ðàññìîòðåíû ìåòîäû óïðàâëåíèÿ ñèñòåìîé îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, àïïðîêñèìèðóþùåé ñèñòåìó ñ çàïàçäûâàíèåì.
Îñíîâíûå ìåòîäû è âûðàæåíèÿ, èñïîëüçóåìûå â äàííîé ãëàâå,îïóáëèêîâàíû â ðàáîòå [46℄.Ââîäèòñÿ óíêöèÿ öåíûV (t, x) = min d2 (x(t1), M).uÄàííàÿ óíêöèÿ öåíû óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ àìèëüòîíà-ßêîáè-Áåëëìàíà∂V (t, x)+ min∂tu∈P (t)∂V (t, x, A(t)x + B0 (t)u∂xV (t1 , x)t = d2(x(t1), M)Òðåáóåìûé ñèíòåç óïðàâëåíèÿ çäåñü ñîñòîèò èç ìèíèìèçàòîðîâu:∂V(t,x)U (t, x) = Arg min B0′ (t),u .∂xu∈P (t)Äëÿ óïðîùåíèÿ âû÷èñëåíèé óíêöèÿ öåíû âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ìíîæåñòâî ðàçðåøèìîñòèW [t]:V (t, x) = d2(X(t1 , t)x, X(t1, t)W [t]).1V (t, x) = max{hX ′ (t1, t)l, xi − ρ (X ′ (t1, t)l| W [t]) − hl, li} =l41′′= max{hl, xi − ρ (l| W [t]) − hX (t, t1)l, X (t, t1)li}l4U (t, x) = Arg min B0′ (t)l0, u ,u∈P (t)ãäål0-ìàêñèìèçàòîð â ïðåäûäóùåì âûðàæåíèè.Íî ïîñêîëüêó ðàçìåðíîñòü ñèñòåìû âåëèêà, äàííûå âûðàæåíèÿ, íåñìîòðÿ íà ñâîé ÿâíûé âèä, îáëàäàþò áîëüøîé âû÷èñëèòåëüíîé ñëîæíîñòüþ. Íîåñëè çàìåíèòü òî÷íîå ìíîæåñòâîW [t]íà åãî âíóòðåííþþ ýëëèïñîèäàëüíóþ14îöåíêóW[ t] òî âûðàæåíèÿ ñóùåñòâåííî óïðîñòÿòñÿ.
Ïðè ýòîì óïðàâëåíèå ìî-æåò áûòü íàéäåíî ïî òåì æå îðìóëàì, íî ñ çàìåíîé òî÷íîãî ìíîæåñòâàíà åãî âíóòðåíþþ îöåíêóW [t]Z[t].Ïðè ýëëèïñîèäàëüíûõ îãðàíè÷åíèÿõ íà óïðàâëåíèå è öåëåâîå ìíîæåñòâîñòðîÿòñÿ âíóòðåííèå ýëëèïñîèäàëüíûå îöåíêèE(x−(t), X−(t)). È íà èõ îñíîâåïîëó÷àþòñÿ âûðàæåíèÿ äëÿ ñèíòåçà óïðàâëåíèé.U (t, x) = Arg minu∈E(p(t),P (t))B0′ (t)l0, u , ñëó÷àå ýëëèïñîèäàëüíîé àïïðîêñèìàöèè ìàêñèìèçàòîðl0 ,íåîáõîäè-ìûé äëÿ âû÷èñëåíèÿ óïðàâëåíèÿ, ìîæåò áûòü íàéäåí êàêl0 = 2λ(X−(t) + λF (t))−1(x(t) − x−(t)),F (t) = X ′ (t, t1)X(t, t1 ),ãäåλ åäèíñòâåííûé íåîòðèöàòåëüíûé êîðåíü óðàâíåíèÿhX− (t) + λF (t))−1(x(t) − x−(t)), X−(t)(X−(t) + λF (t))−1(x(t) − x−(t)i = 1,èëèl 0 = 0,åñëè íåîòðèöàòåëüíûõ ðåøåíèé íåò.Ïðèâåäåíû ãðàè÷åñêèå èëëþñòðàöèè ïîñòðîåíèÿ âíóòðåííèõ îöåíîê èñèíòåçà óïðàâëåíèÿ. çàêëþ÷åíèè êðàòêî ñîðìóëèðîâàíû îñíîâíûå ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå â äèññåðòàöèè, à òàêæå ðåêîìåíäàöèè è ïåðñïåêòèâû äàëüíåéøåé ðàçðàáîòêè òåìû.Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
