Транспорт горячих электронов в полупроводниках-нитридах (1105054), страница 3
Текст из файла (страница 3)
С учетом законов сохраненияимпульса и энергии остается интегрирование по пяти переменным. В такомвиде задача представляется вычислительно очень сложной. Действительно,при рассмотрении одночастичных механизмов рассеяния приходилось иметьдело с интегрированием всего лишь по двум переменным. Поэтому в этомразделе построен приближенный метод учета электрон-электронного рассеяния, основанный на предположении о малости изменения импульса сталкивающихся электронов (приближение Ландау). В типичном образце нитрида11индия это приближение выполняется не очень хорошо.
Однако получениекачественных результатов возможно даже в таком приближении.Результатом раздела 1.5 первой главы стали формулы для вычисления интегралов столкновений для электрон-электронного рассеяния. С учетом сделанных предположений в них осталось интегрирование по трем переменным. Однако интегрирование по одной из координат может быть проведено отдельно, интегралы параметризованы, вычислены однократно и затемзатабулированы. Таким образом, фактически остается интегрирование только по двум переменным, правда, довольно громоздкое.
Кроме того, в одномиз подразделов данного раздела построен алгоритм вычисления температуры электронного газа для данной функции распределения, основанный наеё аппроксимации смещенной фермиевской. Минимизировались при этом отклонения средней энергии и числа частиц.Во второй главе проведено сравнение теоретических оценок для времен релаксации с результатами моделирования для всех рассматриваемыхмеханизмов рассеяния в отдельности. С этой целью равновесная функция распределения выводилась из состояния равновесия 0 (k) → (k) посредствомвозмущения. Если изучалась релаксация импульса, то таким возмущениемявлялся сдвиг в импульсном пространстве.
При изучении релаксации энергииизменялась форма функции распределения. Время релаксации в этом случаеоценивалось как (k) − 0 (k),num (k) = −(k)где (k) — вычисленное значение интеграла столкновений для точки k. Кроме того, времена релаксации определялись на основе анализа сходимости соответствующих средних по функции распределения величин: импульса илиэлектронной температуры. Также были проведены непосредственные вычисления времен релаксации электронов.После оценки времен релаксации и анализа сходимости средних величин для каждого механизма рассеяния была исследована сходимость итерационной процедуры при различных комбинациях включенных механизмоврассеяния и параметров численного метода в слабых и сильных полях.
Такимобразом была получена оптимальная конфигурация метода с точки зренияточности и вычислительных затрат.В этой главе при расчетах воспроизводятся условия эксперимента[4] и считается, что концентрация заряженных примесей составляет i =9 × 1018 см−3 , концентрация электронного газа e = i , температура решетки L = 77 K. Выбранным условиям соответствует энергия Ферми F ≈2100 К ≫ L , то есть функция распределния электронов сильно вырождена.12В разделе 2.1 второй главы вычислено время релаксации импульса электронной системы при рассеянии на заряженных примесях. На рисунке2 представлена временная зависимость среднего по функции распределенияволнового числа, выраженного в F , начальному моменту времени соответствует сдвиг равновесной функции распределения в пространстве волновыхчисел на 0.5F .
Видно, что сходимость имеет четкий экспоненциальный характер. Действительно, полученная кривая практически идеально аппроксимируется экспонентой с релаксационным временем 5.5 × 10−14 с, что хорошосогласуется с другими оценками, проведенными в этом разделе.0.50.450.4<k>, kF0.350.30.250.20.150.10.0500.511.522.533.54t, s4.55−13x 10Рис. 2: Релаксация импульса при рассеянии на заряженных примесях. Зависимостьсреднего волнового числа, измеренного в F , от времени.
Начальному моменту временисоответствует сдвиг равновесной функции на 0.5F .В разделе 2.2 второй главы получены времена релаксация импульса и энергии электронов при рассеянии на оптических фононах. Для вычисления времени релаксации энергии температура электронного газа задаваласьотличной от температуры решетки, для вычисления времени релаксации импульса возмущением функции распределения являлся сдвиг в импульсномпространстве.
Стоит заметить, что в отсутствии других механизмов рассеяния бездисперсионные оптические фононы не обеспечивают полной релаксации как импульса, так и энергии. Анализ сходимости показывает, что наначальном этапе время релаксации импульса составляет порядка 12×10−14 с,а время релаксации электронной температуры — порядка 16 × 10−14 с.
Та13ким образом, в рассматриваемых условиях рассеяние на оптических фононахсравнимо с рассеянием на заряженных примесях с точки зрения эффективности релаксации импульса.В разделе 2.3 второй главы проведены вычисления времен релаксации при рассеянии на акустических фононах. На основе анализа сходимостипоказано, что эффективность релаксации импульса сильно зависит от температуры решетки. Так, при L = 77 К оно составляет 13 × 10−13 c, а приL = 300 К — 3 × 10−13 c. Далее показано, что приближенный учет неупругости акустического рассеяния, предложенный в первой главе, практическине влияет на скорость релаксации импульса. Релаксация энергии при этомидет намного медленнее, чем за счет рассеяния на оптических фононах: соответствующее время составляет порядка 1.7 × 10−9 с.В разделе 2.4 второй главы было показано, что предложенный способ учета электрон-электронного рассеяния обеспечивает релаксацию возмущенной функции распределения к фермиевской.
В качестве возмущения была использована локальная добавка к функции распределения, не меняющаясредний импульс системы и количество электронов. Также были проведеныоценки соответствующего времени релаксации.В разделе 2.5 второй главы предложена оптимальная конфигурация вычислений для проведения дальнейших расчетов. Под оптимальнойконфигурацией подразумевается такая конфигурация, которая обеспечивает приемлемую точность результата и скорость вычислений. Она получаетсяза счет выбора оптимальных параметров: шага базовой сетки, шага интегрирования, шага итерационной процедуры, а также включенных в модельмеханизмов рассеяния. Искомые шаги могут быть выбраны следующим образом. Если при уменьшении шага в два раза результат не изменился, товыбранный шаг может быть использован при моделировании.
Что касаетсямеханизмов рассеяния, то в идеальном случае наличия бесконечных вычислительных мощностей должны быть включены все рассмотренные механизмырассеяния. Однако на практике, имея дело с ограниченными вычислительными ресурсами, представляется более правильным использовать разумныеприближения или вовсе не включать некоторые механизмы рассеяния, еслиэто не критично для получаемого результата.В результате было получено, что для вычисления полевых зависимостей дрейфовой скорости электронов можно ограничиться включением рассеяния на заряженных примесях, оптических и акустических фононах.
Приэтом можно пренебречь неупругостью рассеяния на акустических фононах,а электрон-электронное рассеяния вовсе не учитывать. Расчет функции распределения для выбранного значения электрического поля при этом занима14ет около 70 секунд при использовании одного потока на персональном компьютере. Таким образом, при эффективном распараллеливании эта задачасможет быть решена за время порядка нескольких десятков миллисекунд.В третьей главе представлены результаты расчетов полевых зависимостей дрейфовых скоростей в InN, Inx Ga1-x N и Inx Al1-x N при различныхусловиях в электрических полях до 30 кВ/см.
Тесты показали, что переходыв долину, находящуюся на 2 эВ выше дна зоны проводимости, начинаются вполях более 50 кВ/см. Таким образом, в рассматриваемом диапазоне полейможно пользоваться предложенной однодолинной моделью для аппроксимации зоны проводимости.В разделе 3.1 третьей главы проведено сравнение результатов вычислений для различных имеющихся в литературе наборов параметров нитрида индия, представленных в таблице 1, с результатами, полученными вэкспериментальной работе [4]. Следуя экспериментальной работе [4], считаемe = i = 9 × 1018 см−3 и L = 77 К. Представленные в таблице 1 параметрыбыли выбраны в первой главе на основе анализа литературы: набор Н1включает в себя наиболее современные данные, Н4 — наиболее консервативные, наборы Н2 и Н3 были многократно использованы в работах, посвященных расчету электронного транспорта в полупроводниках-нитридах.Таблица 1: Часто используемые наборы параметров InNВеличинаобозначениеединицыН1Н2Н3Н4Эффективная масса00.070.0450.110.12Запрещенная зонаgэВ1.92.0Энергия LO-фононов~LOмэВ73Энергия TO-фононов~TOмэВ57Высокочастотная диэл.
прон.κ∞Статическая диэл. прон.κ0Скорость LA-фононовLA0.76.78.411.015.355.26.2452.5510 см/cСкорость TA-фононовTA10 см/c1.2Ак. деформационный потенциалAэВ3.67.19Опт. деформационный потенциалOэВ/см10Пьезомодуль14К/м20.375Плотность массыг/см36.81Из рисунка 3 видно, что наилучшее соответствие с экспериментом получается при использовании набора параметров Н4, который был полученкак раз на грязных образцах с концентрациями, близкими к используемымв расчётах. В настоящее время этот набор считается устаревшим. Набор Н3,15близкий по значениям параметров к Н4, также дает неплохое соответствиерезультатов расчётов с экспериментом. При использовании современного набора параметров Н1 получается результат, также близкий к экспериментальному. Отклонение от экспериментальной кривой примерно такое же как дляН3, но больше, чем для Н4.
Результат для набора Н2 совершенно не совпадаетс экспериментом.6181614x 10H1H2H3H4Experimental datav, cm / s12108642024681012E, kV / cmРис. 3: Полевая зависимость дрейфовой скорости в InN при e = i = 9 × 1018 см−3 иL = 77 К. Для вычислений использовались различные параметры InN.На рисунке 4 представлено сравнение вычисленных полевых зависимостей электронной температуры с экспериментом. По-прежнему наборы Н3и Н4 дают близкие между собой результаты, которые в случае электроннойтемпературы одинаково далеки от экспериментальных точек.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
