Транспорт горячих электронов в полупроводниках-нитридах (1105054), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Moldova, Chisinau, 2008.2. 10-ая Всероссийская конференция по физике полупроводников и нанотехнологиям, полупроводниковой опто- и наноэлектронике. Россия,Санкт-Петербург, 2008.3. XXXV Совещание по физике низких температур (НТ-35). Россия, Черноголовка, 2009.4. МеждународныйМосква, 2010.молодежныйфорум"Ломоносов-2010".Россия,5.
X Российская конференция по физике полупроводников. Россия,Нижний-Новгород, 2011.6. XXXVI Совещание по физике низких температур (НТ-36). Россия,Санкт-Петербург, 2012.Тезисы докладов, которые были сделаны на перечисленных конференциях,опубликованы в соответствующих сборниках трудов конференций. Кроме того, результаты опубликованы в шести статьях, каждая из которых издана вжурнале, рекомендованном ВАК.6Работа проводилась в рамках федеральной целевой программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России"(2009-2013), контракт П-2312.Список публикаций приведен в конце автореферата.Личный вкладАвтор принимал активное участие в разработке и реализации моделии численного метода, разработке и проведении тестов и получении окончательных результатов, а также в подготовке работ к опубликованию.Объем и структура работыДиссертация состоит из введения, трех глав, заключения и одного приложения.
Полный объем диссертации составляет 101 страницу с 47 рисункамии 5 таблицами. Список литературы содержит 72 наименования.Краткое содержание работыВо введении обоснована актуальность исследований, проводимых врамках данной диссертационной работы, сформулирована цель, поставленызадачи работы, отмечена научная новизна и практическая значимость представляемой работы.В разделе 1.1 первой главы проведен анализ современных экспериментальных и теоретических работ, посвященных исследованию параметров зонной структуры полупроводников-нитридов.
Особое внимание уделено нитриду индия, как наиболее интересному, но, в то же время, наиболеесложно синтезируемому и наименее изученному материалу из этого семейства. На основе проведенного анализа была построена модель зонной структуры полупроводников-нитридов и выбраны значения параметров этой модели. Сложная зонная структура была аппроксимирована одной долиной сизотропным непараболическим спектром.
Последующие вычисления показали, что предложенная модель действительно может быть использована дляколичественного описания электронного транспорта в выбранном диапазонеэлектрических полей. Стоит заметить, что для нитрида индия в литературе рекомендуются различные параметры зонной структуры. В данной работе были выбраны четыре наиболее часто используемых набора параметров,каждый из которых в последствии был включен в расчеты.В разделе 1.2 первой главы проведен краткий обзор современныхметодов решения задачи нелинейного электронного транспорта в полупроводниках. Был сделан вывод, что специфика решаемой задачи, а именно, сильноеотклонение функции распределения электронов от равновесной в греющихэлектрических полях, вырожденность электронного газа в полупроводниках7нитридах в практически интересных случаях и соотношение эффективностей механизмов рассеяния, исключает возможность аналитического решенияуравнения Больцмана.
Кроме того, все численные методы, основанные на линеаризации уравнения Больцмана по функции распределения или ее искомойчасти, также не могут быть применены. Широко распространненый методМонте-Карло мог бы быть использован, однако было решено отдать предпочнение более простому итерационному методу решения уравнения Больцмана.В разделе 1.3 первой главы предложен итерационный численныйметод решения транспортного уравнения Больцмана в пространственно однородном случае в электрическом поле E: (k)E (k)^ ](k) ,=−+ [~ k(1)где k — волновой вектор электрона.
Функция распределения подчиняетсяусловию нормировки∑︁ (k) = ,(2)kгде — концентрация электронов. Различные механизмы рассеяния учитываются в интеграле столкновений∑︁ {︀}︀^[ ](k) = (k′ → k) (k′ ) [1 − (k)] − (k → k′ ) (k) [1 − (k′ )] ,k′(3)в котором (k → k′ ) — вероятность перехода электрона из состояния k в k′ .Задача нахождения функции распределения решается на равномернойдвумерной сетке в пространстве волновых чисел‖ = −max + ( + 1/2)Δ0 , = 0, 1, . . . , 2max /Δ0 − 1 ,⊥= Δ0 , = 0, 1, . . .
, max /Δ0 ,так как именно от двух переменных зависит функция распределения электронов с изотропным спектром в электрическом поле. В качестве переменныхбыли выбраны значения проекций волнового вектора на направления, параллельное и перпендикулярное приложенному электрическому полю. Значенияфункции распределения в узлах сетки являются искомыми неизвестными. Нопоскольку значения интегралов столкновений зависят от значений функциираспределения во всем k-пространстве, то необходимо иметь возможностьнаходить значение функции распределения в любой точке. В предлагаемомметоде значения функции распределения между точками сетки находятся с8помощью бикубической сплайн-интерполяции. При гладкой функции распределения и хорошей ее аппроксимации между точками сетки сама эта сеткаможет быть довольно редкой.Стационарное решение уравнения Больцмана находится с помощьюитерационного метода, построенного на основе зависящего от времени уравнения (1).
На итерации можно с этой точки зрения смотреть как на временну́юэволюцию функции распределения в соответствии с уравнением (1). Такимобразом, метод позволяет находить не только стационарное решение уравнения Больцмана, но и исследовать эволюцию системы к своему стационарномусостоянию.Метод строится следующим образом. В момент времени = 0 задается). Итерационный шаг с некоторое начальное приближение 0 = 0 (‖ , ⊥ого на ( + 1)-ый временной слой организован следующим образом.
Функцияраспределения интерполируется из узлов сетки в (‖ , ⊥ )-пространство для^ вычисления интеграла столкновений. Значения интеграла столкновений вычисляются только для узлов сетки. Заметим, что интегрирование можетбыть проведено с необходимым шагом, никак не связанным с шагом сетки.Переход на следующий временной слой осуществляется вычислением новыхзначений функции распределения в узлах сетки непосредственно из транспортного уравнения Больцмана (1)(︂)︂+1^ , = ‖ −Δ, ⊥ + Δ (4)~где Δ — шаг по времени.
Затем определяются необходимые средние величины (волновой вектор, скорость, энергия, электронная температура и прочие).Итерационная процедура должна повторяться до достижения сходимости.Алгоритм детектирования сходимости и остановки итерационной процедурытакже сформулирован в этом разделе. Кроме того, обсуждаются принципывыбора параметров численного метода: шага сетки, шага интегрирования,шага итерационной процедуры по времени.Значения функции распределения в узлах сетки на новом шаге вычисляются совершенно независимо друг от друга, потому что для их нахождения необходимо знать значения функции распределения во всех узлах сеткитолько на предыдущем шаге. Кроме того, для каждого узла сетки интегралы столкновений, соответствующие различным механизмам рассеяния, тожемогут быть рассчитаны независимо друг от друга.
Таким образом, если сеткасодержит узлов ( обычно порядка нескольких сотен) и в модель включены механизмов рассеяния, то можно легко распараллелить вычисления на × процессов при наличии соответствующих вычислительных мощностей.910.80.60.40.2000.20.40.60.81k⊥, 107 cm−11.2−1.5−0.5−100.511.5k||, 107 cm−1Рис. 1: Функция распределения электронов в поле = 30 кВ/см, температура решеткиL = 77 К, концентрация заряженных примесей и электронного газаi = e = 9 × 1018 см−3 .В разделе 1.4 первой главы для одночастичных механизмов рассеяния в интеграле столкновений проведен переход от сумм по волновымвекторам к интегралам.
В результате в разностную схему (4) должны бытьподставлены формулы вида∫︁′′^ = X( , , ′ (X), ⊥(X))ℎ( (‖′ (X), ⊥(X))) ,‖ ⊥ ‖где X — координаты, в которых удобнее всего проводить интегрированиедля каждого конкретного механизма рассеяния. Для вычисления полученных интегралов значения функции распределения определяются как суммазначений функции распределения в узлах сетки на предыдущем шаге∑︁′ +1 (‖′ (X), ⊥(X)) = ,,где веса определяются интерполяцией по 16 соседним точкам на плоскости(‖ , ⊥ ).В подразделах раздела 1.4 первой главы получены окончательныеформулы для вычисления интеграла столкновений для рассеяния на заряженных примесях, оптических и акустических фононах.
Формулы для акустических фононов получены в упругом приближении, а также в приближении малости скорости фонона по сравнению со скоростью электрона. Вовсех рассмотренных механизмах рассеяния в результате перехода от сумм10к интегралам осталось интегрирование по двум переменным. В случае учетанеупругости акустического рассеяния вычислительная сложность интегрирования намного выше.В этом же разделе уделено внимание проблеме учета экранированиякулоновского потенциала. Длина экранирования входит в вероятности рассеяния в множителе(︂)︂22 2() =.1 + 2 2Однако зависит от функции распределения, которая заранее не известна.
Вприближении малости энергии электрона в экранирующем поле по сравнениюсо средней энергией электрона для длины экранирования можно получить−242 ∑︁ (k)=−,0(k)kгде 0 — статическая диэлектрическая проницаемость, дифференцированиеидет по энергии электрона. После перехода от суммы к интегралу в последнейформуле и его вычисления для известной функции распределения, полученная длина экранирования должна быть использована для вычисления новыхзначений функции распределения на следующем шаге.
Таким образом, задача становится самосогласованной. Это обстоятельство существенно, так какзначение может заметно влиять на результат.Рассмотрение электрон-электронного механизма рассеяния проводится в разделе 1.5 первой главы. Электрон-электронное рассеяние часто неучитывается при решении подобных задач, поскольку не меняет импульса системы электронов. Однако при решении задач, чувствительных к виду функции распределения, электрон-электронное рассеяние должно быть принятово внимание, так как оно влияет на формирование функции распределения.Интеграл столкновений, описывающий рассеяние электрона с импульсом k на электроне с импульсом p, в результате которого импульсы электронов стали равны k′ и p′ , соответственно, содержит интегрировании по девятипеременным (компоненты векторов p, k′ , p′ ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
