Теория Морса минимальных сетей (1105006), страница 30
Текст из файла (страница 30)
как показано на рис. 3.16 d), т.е. вершине инцидентны одно особое невырожденное ребро , одно неособое невырожденное ребро иодно вырожденное граничное ребро (, ), где — граничная вершина и Γ() = , ∈ — граничная точка. Тогда у любой минимальной параметрической сети Γ′ из minℓ [] подвижная вершина расположена на прямой, проходящей через точку и перпендикулярной ребру сети Γ.Приложения1634. как показано на рис.
3.16 b), т.е. вершине инцидентны два особых противоположно направленных невырожденных ребра и одноневырожденное особое ребро им перпендикулярное. Тогда у любойминимальной параметрической сети Γ′ из minℓ [] ребро ′ параллельно соответствующему ребру сети Γ.5. как показано на рис. 3.16 e), т.е. вершине инцидентны два особых противоположно направленных невырожденных ребра 1 и 2и одно вырожденное граничное ребро (, ), где — граничная вершина и Γ() = , ∈ — граничная точка.
Тогда у любой минимальной параметрической сети Γ′ из minℓ [] подвижная вершина расположена на прямой, проходящей через точку и перпендикулярной ребрам 1 и 2 .6. как показано на рис. 3.17 I.1), т.е. вершине инцидентно одно особое невырожденное граничное ребро (, 1 ) и Γ(1 ) = 1 , 1 ∈ — граничная точка; одно неособое невырожденное граничное ребро (, 2 ) и Γ(2 ) = 2 , 2 ∈ — граничная точка и одно особоеневырожденное внутреннее ребро . Тогда у любой минимальнойпараметрической сети Γ′ из minℓ [] подвижная вершина расположена на отрезке прямой = (Γ(), Γ()), ограниченном точкой1 и прямой, проходящей через точку 2 и перпендикулярной прямой .Доказательство.
1) Поскольку множество minℓ [] в пространстве []является выпуклым, то две минимальные параметрические сети Γ и Γ′соединяет отрезок, целиком состоящий из минимальных параметрических сетей. Этот отрезок представляет собой линейную деформацию Γ()сети Γ = Γ(0) в Γ′ = Γ(1). Предположим, что у сети Γ′ ребро ′1 не параллельно соответствующему ребру 1 сети Γ. Тогда, согласно лемме 3.37,ребро ′1 будет не параллельно соответствующему ребру 1 сети Γ и длялюбой сети Γ() при > 0.
Таким образом, для достаточно малого > 0подвижной вершине минимальной параметрической сети Γ() инциденты два неособых невырожденных ребра 1 и и одно невырожденноеребро 2 . Такой локальной структуры у минимальной параметрическойсети, согласно лемме 3.36 не бывает. Следовательно, ребро ′1 сети Γ′ параллельно соответствующему ребру 1 сети Γ. Аналогичная ситуация ис ребром ′2 .Приложения1642) Поскольку множество minℓ [] в пространстве [] является выпуклым, то две минимальные параметрические сети Γ и Γ′ соединяет отрезок, целиком состоящий из минимальных параметрических сетей. Этототрезок представляет собой линейную деформацию Γ() сети Γ = Γ(0) вΓ′ = Γ(1). Предположим, что у сети Γ′ положения вершин и не совпадают, или, другими словами, ребро (, ) невырождено.
Тогда, ребро(, ) будет невырожденным и для любой сети Γ() при > 0. Такимобразом, для достаточно малого > 0 подвижной вершине минимальной параметрической сети Γ() инциденты два неособых невырожденныхребра с противоположными субградиентами и одно невырожденное ребро. Такой локальной структуры у минимальной параметрической сети,согласно лемме 3.36 не бывает. Следовательно, Γ′ () = Γ′ () = .3)–5) Эти пункты доказываются рассуждениями, аналогичнымипунктам 1) и 2).6) Тот факт, что подвижная вершина лежит на прямой , следует из пункта 1).
Подвижная вершина не может лежать вне отрезкапрямой , ограниченном точкой 1 и прямой, проходящей через точку2 и перпендикулярной прямой , поскольку это противоречило бы лемме 3.36 о локальной структуре минимальных параметрических сетей вокрестности подвижной вершины . Закончим доказательство предложения 3.13. Обозначим через подвижную вершину минимальной параметрической сети Γ, которой инцидентны два внутренних ребра и одно граничное; а через 1 и 2 —остальные подвижные вершины.
Будем последовательно разбирать варианты локальной структуры сети Γ в подвижной вершине из следствия 3.4, дополненные вариантами локальной структуры сети Γ в подвижных вершинах 1 и 2 . Напомним, что мы рассматриваем границы общего положения, поэтому некоторые сочетания локальных структурбудут автоматически исключаться из рассмотрения.1. Пусть в вершине сеть Γ имеет локальную структуру, изображеннуюна рис. 3.18 II.1). Тогда фрагмент сети Γ, включающий подвижные вершины и 1 вместе с инцидентными им ребрами, может быть устроенодним из шести способов, изображенных на рис. 3.19.Заметим, что без ограничения общности можно рассматривать только первые два фрагмента (слева). В самом деле, если у минимальнойпараметрической сети Γ рассматриваемый фрагмент со второго по шестой, то малым шевелением подвижных вершин и 1 сеть Γ можетПриложения165Рис. 3.19:Рис.
3.20:быть переведена в минимальную параметрическую сеть Γ′ , у которой соответствующий фрагмент первый или второй. Например, для третьегофрагмента достаточно мало сдвинуть влево по горизонтали подвижныевершины и 1 .Таким образом, сеть Γ может быть устроена одним из трех способов,изображенных на рис. 3.20.Согласно утверждению 6) леммы 3.38, подвижные вершины 1 и 2должны принадлежать отрезкам [1 , 1 ] и [2 , 2 ] соответственно. Согласно же утверждению 1) леммы 3.38, ребра 1 и 2 должны быть перпендикулярны отрезкам [1 , 1 ] и [2 , 2 ] соответственно. Поэтому длятого, чтобы существовала сеть Γ1 с вырожденным ребром 1 необходимо,чтобы отрезок [2 , 2 ] пересекался с прямой 1 .
Аналогично, для существования сети Γ2 с вырожденным ребром 2 необходимо, чтобы отрезок [1 , 1 ] пересекался с прямой 2 . Следовательно, отрезки [1 , 1 ] и[2 , 2 ] пересекаются. Из рис. 3.20 видно, что, поместив все три подвижные вершины , 1 и 2 в точку пересечения этих отрезков мы получимминимальную параметрическую сеть Γ0 типа звезда. Таким образом, длясети Γ, обладающей в вершине локальной структурой первого типаПриложения166Рис. 3.21:предложение 3.13 доказано.2. Пусть в вершине сеть Γ имеет локальную структуру, изображеннуюна рис. 3.18 II.2). Тогда фрагмент сети Γ, включающий подвижные вершины и 1 вместе с инцидентными им ребрами, может быть устроенодним из шести способов, изображенных на рис.
3.21.Заметим, что без ограничения общности можно рассматривать только первые два фрагмента (слева). В самом деле, если у минимальнойпараметрической сети Γ рассматриваемый фрагмент со второго по шестой, то малым шевелением подвижных вершин и 1 сеть Γ можетбыть переведена в минимальную параметрическую сеть Γ′ , у которойсоответствующий фрагмент первый или второй. Например, для третьего фрагмента достаточно мало сдвинуть вверх по вертикали подвижныевершины и 1 .Согласно утверждению 1) леммы 3.38, подвижные вершины и 1должны лежать на вертикальных (в данном случае) прямых, проходящих через граничные точки и 1 соответственно, см. рис.
3.21. Следовательно, ребро 1 = (, 1 ) не может быть вырожденным. Такимобразом, для сети Γ, обладающей в вершине локальной структурой,изображенной на рис. 3.18 II.2), не существует сети Γ1 , и условия предложения 3.13 не выполняются.3. Пусть в вершине сеть Γ имеет локальную структуру, изображеннуюна рис. 3.18 II.3). Тогда фрагмент сети Γ, включающий подвижные вершины и 1 вместе с инцидентными им ребрами, может быть устроенодним из шести способов, изображенных на рис. 3.22.Согласно утверждениям 1), 3) и 4) леммы 3.38, подвижные вершины и 1 должны лежать на вертикальных (в данном случае) прямых,проходящих через граничные точки и 1 соответственно, см.
рис. 3.22.Следовательно, ребро 1 = (, 1 ) не может быть вырожденным. Такимобразом, для сети Γ, обладающей в вершине локальной структурой,изображенной на рис. 3.18 II.3), не существует сети Γ1 , и условия пред-Приложения167Рис. 3.22:Рис. 3.23:ложения 3.13 не выполняются.4. Пусть в вершине сеть Γ имеет локальную структуру, изображеннуюна рис. 3.18 II.4). Тогда фрагмент сети Γ, включающий подвижные вершины и 1 вместе с инцидентными им ребрами, может быть устроендвумя способами, изображенными в верхней половине рис. 3.23; а фрагмент сети Γ, включающий подвижные вершины и 2 вместе с инцидентными им ребрами, может быть устроен одним из шести способов,изображенных в нижней половине рис. 3.23.Таким образом, сеть Γ может быть устроена одним из двенадцатиспособов, изображенных на рис.
3.24.Заметим, что все эти двенадцать типов сети Γ малым шевелением подвижных вершин могут быть сведены к трем уже рассмотренным типам,изображенным на рис. 3.20.5. Пусть в вершине сеть Γ имеет локальную структуру, изображеннуюна рис. 3.18 II.5). Тогда фрагмент сети Γ, включающий подвижные вершины и 1 вместе с инцидентными им ребрами, может быть устроенПриложения168Рис. 3.24:Рис. 3.25:двумя способами, изображенными на рис.
3.25.Согласно утверждениям 1) и 2) леммы 3.38, подвижные вершины и1 не могут перемещаться. Следовательно, ребро 1 = (, 1 ) не можетбыть вырожденным. Таким образом, для сети Γ, обладающей в вершине локальной структурой, изображенной на рис. 3.18 II.5), не существуетсети Γ1 , и условия предложения 3.13 не выполняются.6. Пусть в вершине сеть Γ имеет локальную структуру, изображеннуюна рис. 3.18 II.6).
Тогда фрагмент сети Γ, включающий подвижные вершины и 1 вместе с инцидентными им ребрами, может быть устроендвумя способами, изображенными на рис. 3.26.Согласно утверждениям 1) и 5), подвижные вершины и 1 должнылежать на вертикальных (в данном случае) прямых, проходящих черезграничные точки и 1 соответственно, см.
рис. 3.26. Следовательно,Приложения169Рис. 3.26:Рис. 3.27:ребро 1 = (, 1 ) не может быть вырожденным. Таким образом, длясети Γ, обладающей в вершине локальной структурой, изображеннойна рис. 3.18 II.6), не существует сети Γ1 , и условия предложения 3.13 невыполняются.7. Пусть в вершине сеть Γ имеет локальную структуру, изображеннуюна рис. 3.18 II.7). Тогда фрагмент сети Γ, включающий подвижные вершины и 1 вместе с инцидентными им ребрами, может быть устроендвумя способами, изображенными на рис.
3.27.Согласно утверждениям 1) и 3), подвижные вершины и 1 должнылежать на вертикальных (в данном случае) прямых, проходящих черезграничные точки и 1 соответственно, см. рис. 3.27. Следовательно,ребро 1 = (, 1 ) не может быть вырожденным. Таким образом, длясети Γ, обладающей в вершине локальной структурой, изображеннойна рис.
3.18 II.7), не существует сети Γ1 , и условия предложения 3.13 невыполняются.8. Пусть в вершине сеть Γ имеет локальную структуру, изображеннуюна рис. 3.18 II.8). Тогда фрагмент сети Γ, включающий подвижные вершины и 1 (или 2 ) вместе с инцидентными им ребрами, может бытьустроен двумя способами, изображенными на рис. 3.28.Приложения170Рис. 3.28:Рис. 3.29:Таким образом, сеть Γ может быть устроена одним из трех способов,изображенных на рис. 3.29.Заметим, что все эти три типа сети Γ малым шевелением подвижныхвершин могут быть сведены к трем уже рассмотренным типам, изображенным на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
