Теория дифракции рентгеновских лучей на латеральных структурах (1105004), страница 2
Текст из файла (страница 2)
E0 ïàäàþùàÿ âîëíà, Eh îòðàæåííàÿ âîëíà.ãåîìåòðèÿ ðåíòãåíîâñêîé äèôðàêöèè: íà èäåàëüíûé êðèñòàëë ïðÿìîóãîëüíîãî ñå÷åíèÿ ïàäàåò ïëîñêàÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà. Ïëîñêîñòü ïàäå-xz . Ðàññìîòðèì îòðàæåíèå îòïåðïåíäèêóëÿðíûõ îñè z . Ìàòåìà-íèÿ ðåíòãåíîâñêîé âîëíû ëåæèò â ïëîñêîñòèñèñòåìû êðèñòàëëè÷åñêèõ ïëîñêîñòåé,òè÷åñêîå îïèñàíèå äàííîé çàäà÷è äàåòñÿ óðàâíåíèÿìè Òàêàãè â äåêàðòîâîéñèñòåìå êîîðäèíàò∂∂ππcos θB+ sin θBE0 (x, z) = i χ0 E0 (x, z) + i χ−g C Eh (x, z),∂x∂zλλ∂∂ππcos θB− sin θBEh (x, z) = i (χ0 − α) Eh (x, z) + i χg C E0 (x, z),∂x∂zλλ(1)5E0 (x, z) ïîëå ïðîõîäÿùåé âîëíû, Eh (x, z) ïîëå äèôðàêöèîííîé âîëíû, α = −2 sin 2θB ∆θ ,θB òî÷íûé óãîë Áðýããà èññëåäóåìîãî êðèñòàëëà,∆θ îòêëîíåíèå óãëà ïàäåíèÿ ðåíòãåíîâñêèõ ëó÷åé îò óãëà Áðýããà, C ôàêòîð ïîëÿðèçàöèè, λ äëèíà âîëíû ðåíòãåíîâñêîãî èçëó÷åíèÿ, χ0,g,−g ãäåôóðüå êîìïîíåíòû ðåíòãåíîâñêîé ïîëÿðèçóåìîñòè.Ïîñêîëüêó äèôðàêöèîííàÿ çàäà÷à ÿâëÿåòñÿ äâóìåðíîé, íåîáõîäèìî çàäàòü 4 ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿ:E0 (x = 0, z) = 1,Eh (x = 0, z) = 0,E0 (x, z = 0) = 1,Eh (x, z = Lz ) = 0.×èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷è ñâîäèòñÿ ê ñëåäóþùåé ïðîöåäóðå.
Âäîëü îñèzââîäèòñÿ ðàçíîñòíàÿ ñåòêà èçíûå ïîzNzóçëîâ, íà êîòîðîé ÷àñòíûå ïðîèçâîä-àïïðîêñèìèðîâàíû ðàçíîñòíûìè ïðîèçâîäíûìè.  èòîãå âìåñòî2Nzîáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííîé x,ñèñòåìû äâóõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ (1) ïîëó÷åíà ñèñòåìàêîòîðàÿ ðåøàåòñÿ ìåòîäîì Ðóíãå-Êóòòà.Äàííûé ìåòîä äîñòàòî÷íî ãèáîê, ìîæåò áûòü îáîáùåí äëÿ ðàñ÷åòà ðåíòãåíîâñêîé äèôðàêöèè íà êðèñòàëëàõ ñëîæíîé ôîðìû, ñî ñëîæíûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè, ñ äåôåêòàìè ñòðóêòóðû. Íåäîñòàòîê ìåòîäà íèçêàÿñêîðîñòü ñ÷åòà.
Äëÿ èäåàëüíûõ êðèñòàëëîâ ïðÿìîóãîëüíîãî ñå÷åíèÿ áîëååýôôåêòèâíûì ìåòîäîì ðàñ÷åòà îêàçûâàåòñÿ ïîäõîä ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà.Ïðèìåíèì ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà ê óðàâíåíèÿì Òàêàãè (1)E0 (s, z) = L E0 (x, z) =Eh (s, z) = L Eh (x, z) =Z∞0Z∞E0 (x, z) e−sx dx,(2)Eh (x, z) e−sx dx.0 ðåçóëüòàòå ýòîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé Òàêàãè ïåðåéäåò âñèñòåìó äâóõ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêàdE0 (s, z)= (a1 − s)E0 (s, z) + b1 Eh (s, z) + 1,dzdEh (s, z)= −(a2 − s)Eh (s, z) − b2 E0 (s, z)dzñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìèa1 , a2 , b 1 , b 2E0 (s, z = 0) = 1/sè êîýôôèöèåíòû, íå çàâèñÿùèå îò6Eh (s, z = Lz ) = 0.s è z.(3)ÇäåñüÝòè óðàâíåíèÿ ëåãêî èíòåãðèðóþòñÿ àíàëèòè÷åñêè.
Îêîí÷àòåëüíîå ðåøåíèå íàõîäèòñÿ â âèäå ðÿäà ïî ïîëþñàì ôóíêöèéêîìïëåêñíîé ïëîñêîñòèE0 (x, z) =XèEh (s, z)âs:Res [E0 (s, z), sk ] esk x ,Eh (x, z) =XRes [Eh (s, z), sk ] esk x ,kkãäåE0 (s, z)Res [f (s), sk ] âû÷åò ôóíêöèèf (s)â ïîëþñåsk .Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ïî ýòèì ôîðìóëàì è ÷èñëåííî ìåòîäîì ÐóíãåÊóòòà ïðåäñòàâëåíû íà ðèñóíêàõ 2 è 3.Íà ýòèõ æå ðèñóíêàõ äëÿ ñðàâíåíèÿ ïîêàçàíû êðèâûå äèôðàêöèîííîãîîòðàæåíèÿ äëÿ áåñêîíå÷íî ïðîòÿæåííîé âäîëü îñåéxèyïëîñêîïàðàë-ëåëüíîé ïëàñòèíêè ñîîòâåòñòâóþùåé òîëùèíû. Ïî àáñöèññå îòëîæåíû îòêëîíåíèÿ îò óãëà Áðýããà â óãëîâûõ ñåêóíäàõ.
Ïî îðäèíàòå îòñ÷èòûâàåòñÿèíòåíñèâíîñòü îòðàæåíèÿ â ïðîèçâîëüíûõ åäèíèöàõ, â êîòîðûõ ìàêñèìóìêàæäîé êðèâîé íîðìèðîâàí íà åäèíèöó. Èç ýòèõ ðèñóíêîâ âèäíî, ÷òî ïðèìàëîé ïðîòÿæåííîñòè êðèñòàëëà âäîëü îñèx (Lx /Lz . 1) êðèâûå äèôðàê-öèîííîãî îòðàæåíèÿ (ðèñ. 2(a) è 3(a)) ïî ôîðìå ìàëî îòëè÷àþòñÿ îò òåõ,÷òî áûëè ïîëó÷åíû â êèíåìàòè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè. Ïðè âîçðàñòàíèè ïðîòÿæåííîñòèLxíà êðèâîé îòðàæåíèÿ ïîÿâëÿþòñÿ äîïîëíèòåëüíûå îñöèë-ëÿöèè, îáóñëîâëåííûå èíòåðôåðåíöèåé âîëí ñ áîêîâîé ïîâåðõíîñòè (x= 0)è ñ âåðõíåé ïîâåðõíîñòè (zíåéøåì óâåëè÷åíèè= 0) êðèñòàëëà (ðèñ.
2(be) è 3(be)). Ïðè äàëüëàòåðàëüíîãî ðàçìåðà êðèñòàëëà Lx âêëàä âîëí, âõî-äÿùèõ â êðèñòàëë ÷åðåç áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü, óìåíüøàåòñÿ ïî ñðàâíåíèþñ âêëàäîì âîëí ñ âåðõíåé ïîâåðõíîñòè.  èòîãå êðèâàÿ äèôðàêöèîííîãîîòðàæåíèÿ àñèìïòîòè÷åñêè ïðèáëèæàåòñÿ ê ñîîòâåòñòâóþùåé êðèâîé äëÿïëîñêîïàðàëëåëüíîé ïëàñòèíêè (ðèñ. 2(f ) è 2(f )).Âî âòîðîì ðàçäåëå ðàññìîòðåíà äèíàìè÷åñêàÿ äèôðàêöèÿ â ðàìêàõ ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé.
Âíà÷àëå ïðèâåäåíû ðåêóððåíòíûå ôîðìóëû Äàðâèíà äëÿ ïëîñêîïàðàëëåëüíîé ïëàñòèíêè è èõ òî÷íîå àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå. Ñðàâíåíèå ýòîãî ðåøåíèÿ ñ ðåøåíèåì óðàâíåíèé Òàêàãè äëÿ òàêîéæå ïëàñòèíêè ïîçâîëÿåò ñâÿçàòü êîýôôèöèåíòû, âõîäÿùèå â ðåêóððåíòíûåôîðìóëû ñ ôóðüå êîìïîíåíòàìè ïîëÿðèçóåìîñòè, âõîäÿùèìè â óðàâíåíèÿÒàêàãè.Äàëåå ðåêóððåíòíûå ôîðìóëû îáîáùàþòñÿ äëÿ ðàñ÷åòà äèôðàêöèè íàëàòåðàëüíûõ ñòðóêòóðàõ. Íà ðèñóíêå 4 ñõåìàòè÷åñêè ïîêàçàí õîä ëó÷åéâíóòðè êðèñòàëëà. Ïðîõîäÿùèå è äèôðàãèðîâàííûå ëó÷è ÷àñòè÷íî ïðîõîäÿò ÷åðåç êðèñòàëëè÷åñêèå ïëîñêîñòè è ÷àñòè÷íî îòðàæàþòñÿ îò ýòèõïëîñêîñòåé.
Âêëàä âñåõ ýòèõ ëó÷åé â íåêîòîðîé òî÷êå, îòìå÷åííîé ÷åðíûì7(a) Lz = 5 µmLx = 5 µm(b) Lz = 5 µmLx = 10 µm(c) Lz = 5 µm1.01.01.00.80.80.80.60.60.60.40.40.40.20.20.20.00.00.0−400(d) Lz = 5 µm20 40Lx = 20 µm−400(e) Lz = 5 µm20 40Lx = 25 µm−40(f) Lz = 5 µm1.01.01.00.80.80.80.60.60.60.40.40.40.20.20.20.00.00.0−40020 40−400020 40−400Lx = 15 µm20 40Lx = 150 µm20 40Ðèñ. 2. Êðèâûå äèôðàêöèîííîãî îòðàæåíèÿ äëÿ êðèñòàëëà òîëùèíîé Lz = 5 ìêì ïðè ðàçëè÷íûõ ïðîòÿæåííîñòÿõ Lx .
Ñåðîé ëèíèåé èçîáðàæåíà êðèâàÿ äèôðàêöèîííîãî îòðàæåíèÿäëÿ áåñêîíå÷íîé ïëîñêîïàðàëëåëüíîé ïëàñòèíêè.(a) Lz = 10 µmLx = 5 µm(b) Lz = 10 µmLx = 10 µm(c) Lz = 10 µm1.01.01.00.80.80.80.60.60.60.40.40.40.20.20.20.00.00.0−400(d) Lz = 10 µm20 40Lx = 20 µm−400(e) Lz = 10 µm20 40Lx = 25 µm−401.01.01.00.80.80.80.60.60.60.40.40.40.20.20.20.00.00.0−40020 40−40020 400(f) Lz = 10 µm−400Lx = 15 µm20 40Lx = 150 µm20 40Ðèñ. 3. Êðèâûå äèôðàêöèîííîãî îòðàæåíèÿ äëÿ êðèñòàëëà òîëùèíîé Lz = 10 ìêì ïðè ðàçëè÷íûõ ïðîòÿæåííîñòÿõ Lx . Ñåðîé ëèíèåé èçîáðàæåíà êðèâàÿ äèôðàêöèîííîãî îòðàæåíèÿäëÿ áåñêîíå÷íîé ïëîñêîïàðàëëåëüíîé ïëàñòèíêè.êðóæî÷êîì, ïîêàçàí íà ðèñóíêå 4.
Ñîãëàñíî ýòîé ñõåìå ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ çàïèøóòñÿ â âèäåmTn+1= aTnm−1 + b1 Snm−1 ,m−1m−1Snm = aSn+1+ b2 Tn+1,8(4)m−1Tn−1θ∆xn−1m−1Sn−1dndm−1Tn+1n+1m−1Sn+1m−2m−1mÐèñ. 4. Ñõåìàòè÷åñêîå èçîáðàæåíèå îòðàæåííûõ è ïðîõîäÿùèõ ðåíòãåíîâñêèõ ïó÷êîâ â ïîäõîäå Äàðâèíà.a = (1 − iq0 ) exp(iϕl ), b1 = −iq̄ exp(iϕl ), b2 = −iq exp(iϕl ). Ïàðàìåòð2πdϕl = i, âõîäÿùèé â âûðàæåíèÿ äëÿ êîýôôèöèåíòîâ a è b1,2 , ó÷èλ sin θBãäåòûâàåò ðàçíîñòü ôàç, âîçíèêàþùóþ ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè ðåíòãåíîâñêîãîïó÷êà â êðèñòàëëå îò îäíîãî óçëà äî äðóãîãî.  ñèñòåìå àëãåáðàè÷åñêèõóðàâíåíèé (4) èíäåêñûmèníóìåðóþò êîîðäèíàòû óçëîâ â ãîðèçîíòàëü-íîì è âåðòèêàëüíîì íàïðàâëåíèÿõ, ñîîòâåòñòâåííî.Ðàñ÷åò ïî ôîðìóëàì (4) ïîçâîëÿåò íàéòè çíà÷åíèÿ àìïëèòóä ïðîõîäÿùåé è äèôðàãèðîâàííîé âîëí â ëþáîé òî÷êå ñå÷åíèÿ êðèñòàëëà.
Àìïëèòóäíûé êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ ðåíòãåíîâñêîé âîëíû îò êðèñòàëëà íàõîäèòñÿ ñóììèðîâàíèåì àìïëèòóä íà âåðõíåé è ïðàâîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòèïðÿìîóãîëüíîãî ñå÷åíèÿ êðèñòàëëà ñ ó÷åòîì ðàçíîñòè ôàç.Íà ðèñ. 5 ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ êàðò èíòåíñèâíîñòåé äëÿêðèñòàëëà ïðÿìîóãîëüíîãî ñå÷åíèÿ òîëùèíîéøèðèíûLx .Lz= 3,27 ìêì è ðàçëè÷íîé ñëó÷àå êðèñòàëëà ñ ìàëûì ëàòåðàëüíûì ðàçìåðîì êàðòàèìååò âèä, îòâå÷àþùèé êèíåìàòè÷åñêîé äèôðàêöèè (ðèñ.
5 a), è ðàñïðåäåëåíèå äèôðàêöèîííîé èíòåíñèâíîñòè ñîîòâåòñòâóåò èçâåñòíîìó çàêîíó sin qx Lx /2 2 sin qz Lz /2 2 .I(qx , qz ) = |S(qx , qz )| ∼ qx Lx /2 qz Lz /2 9(5)Ñ óâåëè÷åíèåì ëàòåðàëüíîãî ðàçìåðà êðèñòàëëà óãëîâîå ðàñïðåäåëåíèåèíòåíñèâíîñòè ðàññåÿíèÿ âqx -íàïðàâëåíèèñòàíîâèòñÿ âñå áîëåå óçêèì,óìåíüøàåòñÿ òàêæå ïåðèîä ëàòåðàëüíûõ îñöèëëÿöèé. Ýòîò ïåðèîä îáðàòíîïðîïîðöèîíàëåí ëàòåðàëüíîìó ðàçìåðó êðèñòàëëà.Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ïîëíîñòüþ ñîãëàñóþòñÿ ñ òåìè, ÷òî ïîëó÷åíûðåøåíèåì äàííîé çàäà÷è ïóòåì èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèé Òàêàãè. òðåòüåì ðàçäåëå âòîðîé ãëàâû ðàññìàòðèâàåòñÿ äèôðàêöèÿ íàêðèñòàëëå ñ ìåòàëëè÷åñêîé ïîâåðõíîñòíîé ðåøåòêîé.
Ïóñòü øòðèõè ðåøåòêè, âûïîëíÿþùèå ðîëü ïîãëîòèòåëåé ðåíòãåíîâñêîãî èçëó÷åíèÿ, ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïîëîñû øèðèíîé â ïîëïåðèîäà ïîâåðõíîñòíîé ðåøåòêè èíàïðàâëåíû âäîëü îñèy,òî åñòü ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè äèôðàêöèè(ðèñ. 6). Íàëè÷èå ìåòàëëè÷åñêèõ ïîëîñ óìåíüøàåò ðåíòãåíîâñêîå ïîëå âíàïðàâëåíèè ïðîõîæäåíèÿ è äèôðàêöèè.Äèôðàêöèîííàÿ çàäà÷à ðåøàåòñÿ â ðàìêàõ óðàâíåíèèé Òàêàãè (1).
Ñ÷èòàåì, ÷òî íà ïëîñêîïàðàëëåëüíóþ ïëàñòèíó èç êðåìíèÿ ïàäàåò ïëîñêàÿâîëíà åäèíè÷íîé àìïëèòóäû, ïðîìîäóëèðîâàííàÿ ñòóïåí÷àòîé ôóíêöèåéf (x), óêàçàííîé íà ðèñóíêå 7. Ýòà ôóíêöèÿ ìîäåëèðóåò ïåðèîäè÷åñêè ðàñïîëîæåííûå ìåòàëëè÷åñêèå ïîãëîòèòåëè ðåíòãåíîâñêîãî èçëó÷åíèÿ.Ðåøåíèå óðàâíåíèé Òàêàãè èùåì â âèäå ðàçëîæåíèÿ àìïëèòóä ïðîõîäÿùåé è äèôðàãèðîâàííîé âîëí â èíòåãðàë ÔóðüåZ∞E0 (x, z) =Eh (x, z) =−∞Z∞t(ω, z) eiωxdω,2πr(ω, z) eiωxdω2π−∞ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìèt(ω, 0) = g(ω) è r(ω, Lz ) = 0. Çäåñü g(ω) ôóðüå-îáðàç ñòóïåí÷àòîé ôóíêöèè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 7. èòîãå ïîëó÷àåì ðåøåíèå äëÿ äèôðàãèðîâàííîé âîëíû ïðèEh (x, 0) = b2Z∞−∞ãäåQ = (s + p)ep − (s − p)e−p ,ep − e−pdωg(ω) eiωx,Q2πp=ps2 − b1 b2 ,z = 0:(6)s = iω − (a1 + a2 )/2.Âû÷èñëÿÿ àìïëèòóäó îòðàæåíèÿ, ó÷òåì, ÷òî äèôðàãèðîâàííàÿ âîëíà íàâûõîäíîé ïîâåðõíîñòè ïëàñòèíû äîëæíà åù¼ ðàç ïðîéòè ÷åðåç ðåøåòêó, òîåñòü, àìïëèòóäàEh (x, 0)èç (6) óìíîæàåòñÿ íà10f (x)è èíòåãðèðóåòñÿ ïî Ðèñ.
5. Êàðòû èíòåíñèâíîñòåé äëÿ êðèñòàëëà ïðÿìîóãîëüíîãî ñå÷åíèÿ òîëùèíîé Lz = 3,27 µmè ðàçíîé øèðèíû Lx : a) 1,35 µm, b) 5,39 µm, c) 13,5 µm, d) 53,9 µm.11E0EhLzSiÐèñ. 6. Ñõåìàòè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ãåîìåòðèè ñèñòåìû.f (x)L1γ0xlÐèñ. 7. Ôóíêöèÿ ïðîïóñêàíèÿ èçëó÷åíèÿ ðåøåòêîé. γ äîëÿ èçëó÷åíèÿ, ïðîïóùåííîãî ìåòàëëè÷åñêîé ïîëîñîé, l øèðèíà ïîëîñû, L ïåðèîä ðåøåòêè.âûõîäíîé ïîâåðõíîñòè ïëàñòèíû:R=N L/2+l/2ZEh (x, 0) e−iqx x f (x) dx =−N L/2−l/2= b2Z∞pdω e − e2πQ−∞Ìíîæèòåëüîñèx.e−iqx xg(ω)N L/2+l/2Z(7)ei(ω−qx )x f (x) dx.−N L/2−l/2ó÷èòûâàåò èçìåíåíèå ôàçû âîëíû ïðè ñìåùåíèè âäîëü èòîãå ïîëó÷èìR = b2ãäå−pω 0 = −(ω − qx ).Z∞−∞dω ep − e−pg(ω) g(ω 0 ),2πQ(8) òðåòüåé ãëàâå ðàññìîòðåíà êèíåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ äèôðàêöèè ðåíò-ãåíîâñêèõ ëó÷åé íà íåèäåàëüíûõ ëàòåðàëüíûõ ñòðóêòóðàõ.
Èññëåäîâàíûîñîáåííîñòè äèôðàêöèè â êðèñòàëëàõ òðàïåöåèäàëüíîãî ñå÷åíèÿ ñ äåôîðìàöèÿìè ðåøåòêè è õàîòè÷åñêè ðàñïðåäåëåííûìè äåôåêòàìè. Ïîñêîëüêó12Ðèñ. 8. Íà ëåâîì ðèñóíêå ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ êàðòà ðàñïðåäåëåíèÿ èíòåíñèâíîñòè ðàññåÿíèÿ,íà ëåâîì ðàñ÷åòíàÿ êàðòà äëÿ êîãåðåíòíîé ñîñòàâëÿþùåé.îïèñàíèå äèôðàêöèè â òàêèõ ñèñòåìàõ ñóùåñòâåííî óñëîæíÿåòñÿ, òî ðåçóëüòàòû ïðåäñòàâëåíû â êèíåìàòè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè. êèíåìàòè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè äëÿ àìïëèòóäû êîãåðåíòíî ðàññåÿííîéâîëíû îò êðèñòàëëà òîëùèíîélâ îáðàòíîì ïðîñòðàíñòâå ïîëó÷åíî îáùååðåøåíèå, êîòîðîå äëÿ òðåõîñåâîé äèôðàêòîìåòðèè ñ ó÷åòîì ïðåíåáðåæåíèÿýôôåêòàìè ïðåëîìëåíèÿ è ïîãëîùåíèÿ ðåíòãåíîâñêèõ ëó÷åé â ñðåäå ìîæåòáûòü çàïèñàíî â âèäåiah fEhc (qx , qz ) = √2πZldz eiqz z0ΩZ2 (z)dx eiqx x Φ(x, z),(9)Ω1 (z)ah îïðåäåëÿåò îòðàæàòåëüíóþ ñïîñîáíîñòü êðèñòàëëà.Φ(x, z) = exp(ihhu(x, z)i) ôàçîâûé ôàêòîð êðèñòàëëà, îïèñûâàþùèéêðóïíîìàñøòàáíûå (íåñëó÷àéíûå) äåôîðìàöèè.