Диссертация (1104967), страница 10
Текст из файла (страница 10)
В данном приближении электроннаяпроводимость связывается с вероятностями отражения и прохождения частиц (электронов)через барьер (непосредственно область контакта), что то же самое через вероятностьрассеяния электронной волновой функции с энергией Ферми.В этом приближении НК моделируется как область рассеяния, соединяющая двамакроскопических источника электронов (макроскопические металлические электроды)через пару металлических электродов с размерами порядка нескольких нанометров, то естьсравнимыми с длиной свободного пробега (рис.2.10, а).Для упрощения вывода формулы Ландауэра-Буттикера будем считать двемакроскопических части проводника, соединенные через НК, идеальными источниками68электронов, абсолютно идентичными, находящимися в состоянии термодинамическогоравновесия, с определенными температурой и химическим потенциалом. При этом будемсчитать, что электронные волны в двух частях макроскопических проводниковнекогеретные между собой для исключения их интерференции.Рис.
2.9 Схематическое изображение диффузионного и баллистического режимов проводимости.Внутри каждой макроскопической части НК фазовая когерентность электронныхволн сохраняется. Рассеяние электронов возможно только в макроскопической частиконтакта. Рассеяния электронных волн не происходит ни в области электродов, нивобласти непосредственно цепи контакта. Вместо рассмотрения процессов, происходящихвнутри макроскопических проводников, их влияние заменяется наложением граничныхусловий. Распределение электронов в электродах и в макроскопических частях контактаопределяется распределением Ферми-Дирака, при этом у первого макроскопическогопроводника один химический потенциал, у второго несколько отличный, оба значенияблизки к уровню Ферми, так что (µ1, - µ2) = eV (рис.2.10, б). Внутри электродов электронысвободно передвигаются в продольном направлении и представляются волнами Блоха.
Вперпендикулярном направлении их движение квантовано из-за ограничения поперечныхразмеров проводника. Квантование движения в электродах определяет допустимое числовходящих и исходящих мод.69а)б)Рис.2.10. Модель электродов (а), схематическое изображение электродов (б).Распределение электронов (распределение входящих мод) в области электродовопределяетсяравновеснымраспределениемФерми-Диракасоответствующихмакроскопических проводников (электродов) 1 и 2. Считается, что граница разделаэлектрода и основного макроскопического проводникаидеальна, и не вноситдополнительных факторов рассеяния. Все волны из электрода с вероятностью 1 проходят вмакроскопический проводник, то есть не испытывают рассеяния на границе. Токэлектроновсоздаетсяразницейхимическихпотенциаловпервогоивторогомакроскопических источников электронов, поэтому проводящими оказываются толькосостояния с энергиями в интервале (µ1,µ2).
Поток электронов с энергией ниже µ1 иволновым вектором к полностью компенсируется аналогичным потоком с электронов сволновым вектором –k.Приняв все эти ограничения можно просто рассчитать проводимость одномерногопроводника с одной активной модой. Ток электронов в таком случае окажетсяпропорциональным групповой скорости электронов:(2.114)и разнице распределений электронов в первом и втором электродах:∑(2.115)Суммирование производится по всем разрешенным значениям волнового вектора, то естьпо всем допустимым модам, Lz – продольный размер проводника.Для достаточно длинных проводников можно заменить суммирование интегралом по всемсостояниям,учитываявзаимосвязьмеждураспределением электронной плотности:70групповойскоростьюэлектронаи(2.116)Можно вывести соотношение для тока через контакт:(∫)Если∫(2.117)то ток через контакт, вызванный разницей химических потенциаловпервого и второго электродов пропадает, так как равновесное распределение первого ивторого электродов определяется как:⁄(2.118)Однако при наложении незначительного напряжения⁄ появляется токчерез контакт.В случае линейного режима проводимости, проводимость контакта определяетсявыражением:(⁄)(2.119)При низких температурах распределение Ферми-Дирака представимо в виде:()(2.120)так что для проводимости имеем⁄- квант баллистической электроннойпроводимости в низкоразмерных системах (наноконтактах, нанопроводах).В реальности необходимо учитывать ненулевую вероятность отражения электронной волныот потенциального барьера, которая представляет для электрона проводимости цепьконтакта (рассеяния электронной волны на потенциальном барьере).
Поэтому при расчетепроводимости НК необходимо ввести в полученное ранее выражение для тока вероятностьпрохождения через барьер T, так что искомое выражение принимает вид:∫.(2.121)Тогда проводимость НК будет определяться формулой:(2.122)Если переложить выведенное выражение на случай контакта с более чем однойразрешённой модой, необходимо учесть, что каждая мода может при рассеянии перейтилибо в себя, либо в любую другую моду.
Предположим, что в правой части содержится N1мод, в левой части контакта N2 мод. Амплитуда исходящих и входящих волн (то естьотношение числа рассеянных и прошедших волн) определяется через матрицу рассеяния:()()(2.123)Элементы матрицы определяют соотношение между амплитудами выходящих волн изэлектрода 1 и входящих волн в электрод 2. Для наглядного объяснения формулы Ландаура71Буттикера для случая существования более, чем одной моды в области электродов,вводятся в рассмотрение операторы рождения и уничтожения для входящих и выходящихмод, соответственно:∑̃(2.124)Распределениевходящихмодопределяетсяраспределением〉макроскопического проводника〈Ферми-Диракадля, аналогично для исходящихмод.
Ток через контакт определяется разницей входящих и выходящих мод в НК:[〈∫〉〈〉](2.125)Учитывая взаимосвязь между групповой скоростью и электронной плотностью системы,новое выражение для тока для каждой моды:[∫∑ | ̂|∑∑ |̂|](2.126)Полный ток:[∫]̂Где(2.127)̂- коэффициент отражения,унитарные матрицы, так что выполняется условие ̂[∫̂- коэффициент прохождения –.
Поэтому:](2.128)Таким образом можно напрямую использовать полученное выше выражение дляпроводимости и тока через НК с одной разрешенной модой, но необходимо учесть, чтокоэффициент рассеяния в данном случае будет выражать через матрицу рассеяния как:[]∑ ||(2.129)Такое введение коэффициента проводимости возможно, если матрица рассеяния задаетсоотношение между нормализованными амплитудами волн. Хотя t не всегда являетсяквадратной матрицей, так как число мод в каждом электроде не должно быть одинаковым,но матрица tt всегда квадратная. Условие сохранения заряда гарантирует унитарность( ̂ ) ̂ . Поскольку это эрмитова матрица,матрицы и выполнение условия:что следует из симметрии времени уравнения Шредингера, которое требует,она может быть унитарным преобразованием сведена к диагональному виду.
Собственныевекторы матрицы называются собственными каналами проводимости. Таким образом,общая проводимость наноконтакта является суперпозицией проводимостей собственныхканалов:∑(2.130)72При температуре 0К -ведет себя как ступенчатая функция, при n=N принимает значениеN, а во всех других случаях равна 0. Таким образом "квантом" проводимости служит:(2.131)Выражение соответствует значению проводимости одного собственного канала.
Всезначения проводимости НК должны быть пропорциональны этой величине.Расчеттранспортных свойств проводился в работе с помощью первопринципного кода SMEAGOL[101,102,103], являющегося программной надстройкой программы SIESTA, котораяоснована на методе локализованных атомных орбиталей (ЛКАО)(рис.2.11). На рисунке 2.11представлен алгоритм работы ПО Smeagol.Рис.2.11. Алгоритм работы ПО SMEAGOL.Из рис. 2.11 видно, что ПО SIESTA обеспечивает систему KS гамильтонианом, аПО Smeagol вводит собственные энергии и переводит систему из периодический к системесостоящей из центральной области рассеяния взаимодействующей с электродами.
Кодыобмениваться гамильтонианаи и матрицами плотности до тех пор, пока не будет достигнутосамосогласованное решение. Программа smeagol используется для расчета транспортныхсвойств: коэффициентов проводимости и I-V характеристик. В программе заложен расчет73квантового транспорта через наноструктуры в рамках теории Ландауэра с использованиемодно-частичных неравновесных функций Грина. Для описания данного метода необходимоввести гамильтониан и матрицу перекрытия в базисе локализованных атомных орбиталей.После чего в ограниченной двумя макроскопическими электродами области рассеяниявводятся функции Грина.
Через которые впоследствие вводятся матрица плотности иматрица проводимости.Система (НК) делится на 3 области: левый и правый электроды и непосредственнообласть рассеяния D – центральная часть контакта (рис.2.12).При этом полагаем, что электроды невзаимодействуют между собой, а только сцентральной областью контакта. Гамильтониан, описывающий данную систему H:()(2.132)Рассматрим неортогональный набор базисных локализованных функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
