Разрушение решений смешанных краевых задач для уравнений соболевского типа (1104601), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ñèëüíûì îáîáùåííûì ðåøåíèåì çàäà÷è (5) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿu(x, t) êëàññà C(1) ([0, T ); H20 (Ω)), óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿìhD(u), wi = 0ãäåãäå÷åðåçh·, ·i∀w ∈ H20 (Ω)),u(0) = u0 ∈ H20 (Ω)),∀t ∈ [0, T0 ),∂(−∆2 u + ∆u + ∆p u) + ∆u − k∇uk2q2 ∆u,∂tîáîçíà÷åíû ñêîáêè äâîéñòâåííîñòè ìåæäó ãèëüáåðòîâûìèD(u) ≡ïðîñòðàíñòâàìè H20 (Ω) è H−2 (Ω).Òåîðåìà 4. Ïóñòü ëèáî N 6 2 , ëèáî N > 3 è p 6 2N/(N − 2).
Òîãäà ∀u0 ∈ H20 (Ω))íàéäåòñÿ òàêîå T0 = T0 (u0 ) > 0, ÷òî ñóùåñòâóåò ñèëüíîå îáîáùåííîå ðåøåíèåçàäà÷è (5) êëàññà C(1) ([0, T0 ); H20 (Ω)), ïðè÷åì ëèáî T0 = +∞, ëèáî T0 < +∞ è âïîñëåäíåì ñëó÷àå âûïîëíåíî ïðåäåëüíîå ðàâåíñòâîlim k∆uk2 = +∞.t↑T0Äîêàçàòåëüñòâî äàííîé òåîðåìû îñíîâàíî íà ñâåäåíèè èñõîäíîé çàäà÷è (5) êíåêîòîðîìó àáñòðàêòíîìó èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ, äëÿ êîòîðîãî ïðèìåíèì ìåòîäñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé. Òàêîé ïîäõîä ïîçâîëÿåò óòâåðæäàòü, ÷òî èñõîäíàÿ çàäà÷àèìååò ðåøåíèå êëàññà L∞ ([0, T0 ); H20 (Ω)).
Äàëüíåéøåå äîêàçàòåëüñòâî ïðèíàäëåæíîñòèðåøåíèÿêëàññóãëàäêîñòèC(1) ([0, T0 ); H20 (Ω))ïðîèçâîäèòñÿñïðèìåíåíèåìñïåêòðàëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé ëèíåéíûõ îãðàíè÷åííûõ îïåðàòîðîâ.Äàëåå â äèññåðòàöèè ðàññìîòðåí âîïðîñ îá óñëîâèÿõ ðàçðóøåíèÿ ñèëüíîãîîáîáùåííîãî ðåøåíèÿ çà êîíå÷íîå âðåìÿ. Èññëåäîâàíèå îñíîâàíî íà ìåòîäåýíåðãåòè÷åñêèõ íåðàâåíñòâ. Äàííûé ìåòîä ïîçâîëÿåò ñâåñòè çàäà÷ó î íàõîæäåíèèóñëîâèé, ïðè êîòîðûõ çà êîíå÷íîå âðåìÿ îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü ôóíêöèÿ11p−1Φ(t) ≡ k∆uk22 + k∇uk22 +k∇ukpp ,22p(6)ê ðàññìîòðåíèþ îáûêíîâåííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî íåðàâåíñòâà îòíîñèòåëüíî ýòîéôóíêöèè:ΦΦ00 − α(Φ0 )2 > 0,α = 2(q + 1)/p.Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî â èòîãå ïîëó÷åíû íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿðàçðóøåíèÿ ñèëüíîãî îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è (5), ÷òî ÿâëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíîðåäêèìðåçóëüòàòîìâèññëåäîâàíèÿõñâîéñòâðåøåíèéóðàâíåíèé.
Ðåçóëüòàò ñôîðìóëèðîâàí â âèäå òåîðåìû.Òåîðåìà 5. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 4. Òîãäà1. Åñëè k∇u0 k 6 1, òî T0 = +∞.2. Åñëè k∇u0 k > 1, òî(a) ïðè p > 2q + 2 èìååò ìåñòî T0 = +∞,7ïñåâäîïàðàáîëè÷åñêèõ(b) ïðè p < 2q + 2 èìååò ìåñòî äâóõñòîðîííÿÿ îöåíêà íà âðåìÿ ðàçðóøåíèÿðåøåíèÿ:12q+1 qΦq06 T0 6( 2q+2pΦ0,2− 1)(k∇u0 k2q2 − 1)k∇u0 k2ãäå Φ0 = Φ(0), îïðåäåëÿåìîé ñîãëàñíî (6).Îòìåòèì, ÷òî ðàçðóøåíèå ðåøåíèÿ äàííîé çàäà÷è èìååò êîíêðåòíûé ôèçè÷åñêèéñìûñë: â ìîìåíò ðàçðóøåíèÿ ðåøåíèÿ ïðîèñõîäèò ïðîáîé ïîëóïðîâîäíèêà. Òåîðåìà 5,òàêèì îáðàçîì, èìååò íå òîëüêî òåîðåòè÷åñêîå, íî è ïðèêëàäíîå çíà÷åíèå: ñ å¼ïîìîùüþ ïðè èçâåñòíîì íà÷àëüíîì ðàñïðåäåëåíèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà ìîæíîïðåäñêàçàòü, ïðîèçîéäåò ëè ïðîáîé ïîëóïðîâîäíèêà, à òàêæå âû÷èñëèòü âðåìåííîéèíòåðâàë, â ïðåäåëàõ êîòîðîãî ëåæèò ìîìåíò âîçíèêíîâåíèÿ ïðîáîÿ.Òðåòüÿ ãëàâà äèññåðòàöèè ïîñâÿùåíà îáîáùíèþ ìåòîäèêè íàõîæäåíèÿ óñëîâèéðàçðóøåíèÿ ðåøåíèé íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé òèïà Ñîáîëåâà, ðàçâèòîé äëÿ îäíîãîóðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñêàëÿðíîé ôóíêöèè, äëÿ ñèñòåì óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíîâåêòîðíîéôóíêöèè.Îáîáùåíèåïðîâåäåíîíàïðèìåðåñèñòåìûíåëèíåéíûõïñåâäîïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé, ïðîèñòåêàþùåé èç òåîðèè æèäêîñòè ÊåëüâèíàÔîéãòà (ïîíÿòèå æèäêîñòè Êåëüâèíà-Ôîéãòà ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç ìîäåëåé îïèñàíèÿâÿçêîóïðóãèõ íåíüþòîíîâûõ æèäêîñòåé).
À èìåííî, èñõîäíàÿ ñèñòåìà ïðåäñòàâëÿåòñîáîé îäíó èç ε-àïïðîêñèìàöèé óðàâíåíèé æèäêîñòè Êåëüâèíà-Ôîéãòà, ïðè ýòîì âôèçè÷åñêóþ ìîäåëü ââåäåíû ñèëüíàÿ ïðîñòðàíñòâåííàÿ äèñïåðñèÿ è èñòî÷íèêè ñêóáè÷åñêîé íåëèíåéíîñòüþ. Îòìåòèì, ÷òî ñàìè óðàâíåíèÿ æèäêîñòè Êåëüâèíà-Ôîéãòàâûãëÿäÿò ñëåäóþùèì îáðàçîì:vt − κ∆vt − ν∆v + vk∂v+ ∇p = f ,∂xkdiv v = 0,ãäå v = v(x, t) âåêòîð ñêîðîñòè, p = p(x, t) äàâëåíèå, ν > 0 êèíåòè÷åñêèéêîýôôèöèåíò âÿçêîñòè, κ > 0 âðåìÿ ðåòàðäàöèè, õàðàêòåðèçóþùåå óïðóãèå ñâîéñòâàæèäêîñòè Êåëüâèíà-Ôîéãòà, f = f (x, t) âåêòîð îáúåìíûõ âíåøíèõ ñèë.Òå÷åíèå æèäêîñòè Êåëüâèíà-Ôîéãòà (â ðàìêàõ óêàçàííîé ôèçè÷åñêîé ìîäåëè)ðàññìàòðèâàåòñÿ â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè ñ óñëîâèÿìè ïðèëèïàíèÿ íà ãðàíèöå îáëàñòè.Èñõîäíàÿ ñìåøàííàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à, òàêèì îáðàçîì, èìååò âèä∂2 ∂t (−∆ u + ∆u + ∇(∇, u) − u)+ u| =∂Ω+∆u + ∇(∇, u) + (u, ∇)u + 12 u(∇, u) + |u|2 u = 0,∂u|∂n ∂Ω= 0,(7)u(x, 0) = u0 (x),ãäå x ∈ Ω ∈ RN , Ω îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü ñ äîñòàòî÷íî ãëàäêîé ãðàíèöåé.
Ôóíêöèÿu(x, t) èìååò ôèçè÷åñêèé ñìûñë ñêîðîñòè ÷àñòèö æèäêîñòè.Îïðåäåëåíèå. Ñèëüíûì îáîáùåííûì ðåøåíèåì çàäà÷è (7) íàçûâàåòñÿ ðåøåíèå~ 2 (Ω)), óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèÿìêëàññà u ∈ C(1) ([0, T ); H0hD(u), wi2 = 0~ 2 (Ω),∀w ∈ H0∀t ∈ [0, T0 ),8~ 2 (Ω),u(0) = u0 ∈ H0ãäåD(u) ≡∂1(−∆2 u + ∆u + ∇(∇, u) − u) + ∆u + ∇(∇, u) + (u, ∇)u + u(∇, u) + |u|2 u.∂t2~ p (Ω) ïîíèìàåòñÿ äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå Hp (Ω) × Hp (Ω) × . .
. × Hp (Ω)Ïîä Hn ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâ, à ÷åðåç h·, ·ip îáîçíà÷åíû ñêîáêè äâîéñòâåííîñòè ìåæäó~ p (Ω) è H~ −p (Ω).ãèëüáåðòîâûìè ïðîñòðàíñòâàìè H0Ñïðàâåäëèâà òåîðåìà î ëîêàëüíîé ðàçðåøèìîñòè çàäà÷è (7).Òåîðåìà 6. Ïóñòü N = 1,3. Òîãäà ∀u0 ∈ H20 (Ω) íàéäåòñÿ òàêîå T0 = T0 (u0 ) >~ 2 (Ω)),0, ÷òî ñóùåñòâóåò ñèëüíîå îáîáùåííîå ðåøåíèå çàäà÷è (7) êëàññà C(1) ([0, T0 ); H02,ïðè÷åì ëèáî T0 = +∞, ëèáî T0 < +∞ è â ïîñëåäíåì ñëó÷àå âûïîëíåíî ïðåäåëüíîåðàâåíñòâîlim k∆uk2 = +∞.t↑T0Ñõåìà äîêàçàòåëüñòâà ñôîðìóëèðîâàííîé òåîðåìû àíàëîãè÷íà ñõåìå äîêàçàòåëüñòâàòåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ èç ïðåäûäóùåé ãëàâû äèññåðòàöèè.Âûâîä óñëîâèé ðàçðóøåíèÿ ñèëüíîãî îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è (7) ïðîèçâîäèòñÿíà îñíîâå ìåòîäà ýíåðãåòè÷åñêèõ íåðàâåíñòâ.
Îäíàêî, â äàííîì ñëó÷àå çàäà÷à ñâîäèòñÿê áîëåå ñëîæíîìó, íåæåëè â ïðåäûäóùåé ãëàâå, äèôôåðåíöèàëüíîìó íåðàâåíñòâóΦΦ00 − α(Φ0 )2 + βΦ2 + γΦ3 > 0,îòíîñèòåëüíî ôóíêöèè" N#X1 X2222Φ(t) =k∆ui k2 +k∇ui k2 + k div uk2 + kuk2 .2 i=1i(8)Ðåçóëüòàòîì èññëåäîâàíèÿ âîïðîñà î ðàçðóøåíèè ðåøåíèé çàäà÷è (7) ÿâëÿåòñÿÒåîðåìà 7. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 6. Òîãäà, åñëè ôóíêöèÿ u0 (x)óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì111Xku0 k44 − k div u0 k22 −k∇(ui )0 k22 > 0422 iè2Φ208κ2 Φ30−> 0,ε0 (1 − ε0 ) ε0 (1 − 2ε0 )ãäå Φ0 = Φ(0) èç ôîðìóëû (8), à Φ00 îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëåXk∇u00i k22 ,Φ00 = ku0 k44 − k div u0 k22 −(Φ00 )2 −(9)iε0 < 1/2 îïòèìàëüíàÿ êîíñòàíòà, çàâèñÿùàÿ îò Φ0 , κ = C1 C2 N 3/2 + C22 N , C1 êîíñòàíòà íàèëó÷øåãî âëîæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà H2 (Ω) â W1,4 (Ω), C2 êîíñòàíòàíàèëó÷øåãî âëîæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà H2 (Ω) â L4 (Ω), òî ñèëüíîå îáîáùåííîå ðåøåíèåçàäà÷è (7) ðàçðóøàåòñÿ çà êîíå÷íîå âðåìÿ T0 , ïðè÷åì èìååò ìåñòî äâóñòîðîííÿÿîöåíêà1Φ06 T0 6Φ0 C21 − ε0µ(Φ00 )22Φ208κ2 Φ30−−ε0 (1 − ε0 ) ε0 (1 − 2ε0 )9¶−1/2.Ïîñòîÿííàÿ ε0 âûáèðàåòñÿ îïòèìàëüíûì îáðàçîì â òîì ñìûñëå, ÷òî ïðè âûáðàííîìçíà÷åíèè ε0 êëàññ ôóíêöèé u0 , óäîâëåòâîðÿþùèõ (9) ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíî øèðîêèì. ÷åòâåðòîé ãëàâå ðàññìîòðåíû âîïðîñû ëîêàëüíîé ðàçðåøèìîñòè è ðàçðóøåíèÿðåøåíèé çàäà÷è äëÿ íåëèíåéíîãî ïñåâäîïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ 3-ãî ïîðÿäêà,â ïîñòàíîâêå ñ íåëèíåéíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèåì Íåéìàíà.
Óêàçàííîå óðàâíåíèåïðîèñòåêàåò èç ðàññìîòðåíèÿ ïîëóïðîâîäíèêîâîé ñðåäû ñ íåëèíåéíîé çàâèñèìîñòüþêîíöåíòðàöèè ñâîáîäíûõ çàðÿäîâ è âåêòîðà ïîëÿðèçàöèè ñðåäû îò ýëåêòðè÷åñêîãîïîòåíöèàëà. Ïðîöåññû â òàêîì ïîëóïðîâîäíèêå â êâàçèñòàöèîíàðíîì ïðèáëèæåíèèîïèñûâàþòñÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèédiv D = −4πen,rot E = 0,D = E + 4πP,e ∂n= div J + λ2 |ϕ|q2 ϕ,∂tJ = σE,div P = λ3 |ϕ|q3 ϕ + λ4 ϕ,E = −∇ϕ(10)Óñëîâèå íà ãðàíèöå ïîëóïðîâîäíèêà, ïðèâîäÿùåå ê íåëèíåéíîìó ãðàíè÷íîìó óñëîâèþÍåéìàíà, èìååò âèä(E, n) = λ1 |ϕ|q1 ϕ,(11)n âåêòîð âíåøíåé íîðìàëè ê ãðàíèöå îáëàñòè. Êîýôôèöèåíòû λi ïîä÷èíåíû óñëîâèÿìλ1 > 0, λ3 > 0, λ3 > 0, λ2 < 0, ïàðàìåòðû qi > 0, i = 1, 2, 3.
Ñèñòåìà óðàâíåíèé (10) èóñëîâèå (11), ïðè çàäàííîì ðàñïðåäåëåíèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà ϕ â íåêîòîðûéíà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè, ðåäóöèðóþòñÿ â îãðàíè÷åííîé îäíîñâÿçíîé îáëàñòè êíà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷å îòíîñèòåëüíî ôóíêöèè u(x, t), èìåþùåé ôèçè÷åñêèé ñìûñëýëåêòðè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà:∂q3q2 ¡∂t (∆u − u −¢ |u| u) + ∆u + |u| u = 0,∂u+ |u|q1 u |Γ = 0,∂n u(x, 0) = u (x),0(12)ãäå x ∈ Ω ∈ RN , Ω îãðàíè÷åííàÿ îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü ñ äîñòàòî÷íî ãëàäêîé ãðàíèöåé.Óðàâíåíèå â çàäà÷å (12) ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç îáîáùåíèé óðàâíåíèÿ Áóññèíåñêà. Âèääàííîãî óðàâíåíèÿ íå ïîçâîëÿåò ïðîâåñòè äîêàçàòåëüñòâî ëîêàëüíîé ðàçðåøèìîñòèâ ñèëüíîì îáîáùåííîì ñìûñëå ìåòîäîì, èñïîëüçîâàííîì â âòîðîé è òðåòüåé ãëàâàõ.Ïîýòîìó, äëÿ äàííîé çàäà÷è â äèññåðòàöèè äîêàçàíà òåîðåìà î ëîêàëüíîé ðàçðåøèìîñòèâ ñëàáîì îáîáùåííîì ñìûñëå.Îïðåäåëåíèå.
Ñëàáûì îáîáùåííûì ðåøåíèåì çàäà÷è (12) íà èíòåðâàëå (0, T )íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ u(x, t) êëàññà H1 ((0, T ); H1 (Ω)), óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþµN¶RT RP 00q3 0q2dt dx(uxi vxi + uxi vxi ) + u v + (q3 + 1)|u| u v − |u| uv +0Ωi=1+RT0Rdt ds(|u|q1 u + (q1 + 1)|u|q1 u0 )v = 0Γ∀v(x, t) ∈ L2 ((0, T ); H1 (Ω)), u(x, 0) = u0 (x) ∈ H1 (Ω).10Òåîðåìà 8. Ïóñòü ëèáî N 6 2, ëèáî q1 6 2/(N −2), q2 6 4/(N −2), q3 6 4/(N −2). Òîãäàíàéäåòñÿ òàêîå ìàêñèìàëüíîå T0 = T0 (u0 , q1 , q2 , q3 ) > 0, ÷òî íà ëþáîì èíòåðâàëå t ∈(0, T ), T < T0 , ñóùåñòâóåò ñëàáîå îáîáùåííîå ðåøåíèå u(x, t) çàäà÷è (12) ñ íà÷àëüíûìóñëîâèåì u(x, 0) = u0 (x) ∈ H1 (Ω).Òåîðåìà 9. Ïóñòü ëèáî N 6 2, ëèáî q1 6 2/(N − 2), q2 6 1/(N − 2).
Òîãäà ñëàáîåîáîáùåííîå ðåøåíèå çàäà÷è (12) íà èíòåðâàëå (0, T ) ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì u(x, 0) =u0 (x) ∈ H1 (Ω) åäèíñòâåííî.Äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ ñëàáîãî îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ îñíîâàíî íà ìåòîäåÃàë¼ðêèíà â ñî÷åòàíèè ñ ìåòîäîì êîìïàêòíîñòè, äîêàçàòåëüñòâî åäèíñòâåííîñòè íàíåêîòîðûõ âñïîìîãàòåëüíûõ íåðàâåíñòâàõ è ëåììå Ãðîíóîëëà.Âûâîä óñëîâèé ðàçðóøåíèÿ ñëàáîãî îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ âïðèìåíåíèè ìåòîäà ýíåðãåòè÷åñêèõ íåðàâåíñòâ äëÿ n-ãî ãàëåðêèíñêîãî ïðèáëèæåíèÿñ ïîñëåäóþùèì ïðåäåëüíûì ïåðåõîäîì ïðè n → ∞. Ðåçóëüòàò ñôîðìóëèðîâàí â âèäåòåîðåìû î äîñòàòî÷íûõ óñëîâèÿõ ðàçðóøåíèÿ ðåøåíèÿ.Òåîðåìà 10. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 8 è, êðîìå òîãî q2 < 4/(N − 1) ïðèN > 3, q2 > max{q1 , q3 } è Φ00 >pβ/(α − 1)Φ0 , ãäå11q3 + 1q1 + 1+2Φ0 = k∇u0 k22 + ku0 k22 +ku0 kqq33 +2+22q3 + 2q1 + 2Φ00ãäå1112=ku0 kqq22 +2+2 − k∇u0 k2 −q2 + 22q1 + 2(1 − ε)(q2 + 2)α=,max{q1 , q3 } + 21β=εµZds|u0 |q1 +2 ,ΓZds|u0 |q1 +2 ,Γq12|q1 − q2 |2 (q1 + 2)+q1 + 2 (q1 + 1)2 (q2 + 2)¶,ε = (q2 − max{q1 , q3 })/(2q2 + 4).Òîãäà ñóùåñòâóåò ñëàáîå îáîáùåííîå ðåøåíèå çàäà÷è (12) ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåìu(x, 0) = u0 (x) ∈ H1 (Ω) íà èíòåðâàëå t ∈ (0, T ), ∀T < T0 < ∞, ïðè ýòîì ïðè t ↑ T0ïðîèñõîäèò ðàçðóøåíèå ðåøåíèÿ, è èìååò ìåñòî äâóñòîðîííÿÿ îöåíêà−q2 /22Φ0/q2 C̄ 6 T0 6 Φ0 (α − 1)−1/2 [(α − 1)(Φ00 )2 − βΦ20 ]−1/2 ,ãäå C¯ = 2(q2 +2)/2 C q2 +2 , à C êîíñòàíòà íàèëó÷øåãî âëîæåíèÿ H1 (Ω) â Lq2 +2 (Ω).Âûâîäû. çàêëþ÷åíèå ñôîðìóëèðóåì îñíîâíûå ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå â äèññåðòàöèè:1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
