Разрушение решений смешанных краевых задач для уравнений соболевского типа (1104601)
Текст из файла
Íà ïðàâàõ ðóêîïèñèÌÀÊÀÐΠÏàâåë Àëåêñàíäðîâè÷ÐÀÇÐÓØÅÍÈÅ ÐÅØÅÍÈÉ ÑÌÅØÀÍÍÛÕ ÊÐÀÅÂÛÕ ÇÀÄÀ× ÄËßÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÑÎÁÎËÅÂÑÊÎÃÎ ÒÈÏÀ01.01.03 - ìàòåìàòè÷åñêàÿ ôèçèêàÀâòîðåôåðàò äèññåðòàöèè íà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíèêàíäèäèòà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÌîñêâà - 2010 ãîäÐàáîòà âûïîëíåíà íà êàôåäðå ìàòåìàòèêè ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòàÌîñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà èìåíè Ì.Â.Ëîìîíîñîâà.Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü:äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÌ.Î.
ÊîðïóñîâÎôèöèàëüíûå îïïîíåíòû:äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê,ïðîôåññîð À.Ì. Ïîïîâäîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê,ïðîôåññîð Ì.Ë. ÃîëüäìàíÂåäóùàÿ îðãàíèçàöèÿ:ÈÏÌ èì. Ì.Â. Êåëäûøà ÐÀÍÇàùèòà ñîñòîèòñÿ2010 ã. â÷àñîâ íà çàñåäàíèèÄèññåðòàöèîííîãî Ñîâåòà Ä501.002.10 ïðè Ìîñêîâñêîì ÃîñóäàðñòâåííîìÓíèâåðñèòåòå èìåíè Ì.Â.Ëîìîíîñîâà ïî àäðåñó: 119992, ÃÑÏ-2, ã. Ìîñêâà,Âîðîáü¼âû ãîðû, ÌÃÓ, ôèçè÷åñêèé ôàêóëüòåò, àóä..Ñ äèññåðòàöèåé ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ â áèáëèîòåêå ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòàÌÃÓ èìåíè Ì.Â.Ëîìîíîñîâà.Àâòîðåôåðàò ðàçîñëàí""Ó÷åíûé ñåêðåòàðü äèññåðòàöèîííîãî ñîâåòàäîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîôåññîð22010 ã.Þ. Â.
ÃðàöÎÁÙÀß ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈÊÀ ÐÀÁÎÒÛÄèññåðòàöèÿ ïîñâÿùåíà âîïðîñàì ëîêàëüíîé ðàçðåøèìîñòè ðàçëè÷íûõ ñìåøàííûõêðàåâûõ çàäà÷ äëÿ ëèíåéíûõ è íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñîáîëåâñêîãî òèïà âêëàññè÷åñêîì è îáîáùåííîì ñìûñëàõ è âîïðîñàì ðàçðóøåíèÿ ðåøåíèé íåëèíåéíûõóðàâíåíèé òèïà Ñîáîëåâà çà êîíå÷íûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè. Áîëüøîå âíèìàíèåóäåëåíî íàõîæäåíèþ äîñòàòî÷íûõ è íåîáõîäèìûõ è äîñòàòî÷íûõ óñëîâèé ðàçðóøåíèÿðåøåíèÿ, à òàêæå ïîëó÷åíèþ äâóñòîðîííèõ îöåíîê íà âðåìÿ ðàçðóøåíèÿ, åñëè òàêîâîåïðîèñõîäèò.Àêòóàëüíîñòü òåìûÈññëåäîâàíèþ óðàâíåíèé ïñåâäîïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà ïîñâÿùåíî áîëüøîå ÷èñëîðàáîò.
Ñëåäóåò îòìåòèòü ðàáîòû ðîññèéñêèõ ìàòåìàòèêîâ Áàðåíáëàòòà Ã.È., ÆåëòîâàÞ.Ï., Êî÷èíîé È.Í., Äåìèäåíêî Ã.Â., Óñïåíñêîãî Ñ.Â., Ñâèðèäþêà Ã.À., ÊîæàíîâàÀ.È., Øèøìàðåâà È.À., Ãàáîâà Ñ.À. è äð., à òàêæå çàðóáåæíûõ ìàòåìàòèêîâËèîíñà Æ.-Ë., Showalter R.E., Ting T.W., Levine H.A., Ãàåâñêîãî Õ., ÃðåãåðàÊ., Çàõàðèàñà Ê., Rosenau P.  òî æå âðåìÿ, âîïðîñàì ðàçðóøåíèÿ ðåøåíèéíåëèíåéíûõ óðàâíåíèé ïñåâäîïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà ïîñâÿùåíî äîñòàòî÷íî ìàëîíàó÷íûõ òðóäîâ. Ïîäîáíûå âîïðîñû, èìåþùèå âåñüìà àêòóàëüíûå ôèçè÷åñêèåïðèëîæåíèÿ (òàêèå, êàê òåîðåòè÷åñêîå îïèñàíèå ÿâëåíèÿ ïðîáîÿ â ïîëóïðîâîäíèêàõâ ðàìêàõ ðàçëè÷íûõ ìîäåëåé), ðàññìàòðèâàëèñü â ðàáîòàõ ìàòåìàòèêîâ Levine H.A.,Êîæàíîâà À.È., Ñàìàðñêîãî À.À., Ïîõîæàåâà Ñ.È. è äð.  ðàáîòàõ ÊîðïóñîâàÌ.Î.
è Ñâåøíèêîâà À.Ã. äîñòèãíóò çíà÷èòåëüíûé ïðîãðåññ â èññëåäîâàíèè âîïðîñîâðàçðåøèìîñòè è ðàçðóøåíèÿ ðåøåíèé äëÿ öåëîãî ñïåêòðà ìîäåëüíûõ óðàâíåíèéïñåâäîïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà ñ íåëèíåéíûìè îïåðàòîðàìè ýëëèïòè÷åñêîãî òèïà ïðèïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè.  óêàçàííûõ ðàáîòàõ çàäà÷è ðàññìîòðåíû â àáñòðàêòíîì(îïåðàòîðíîì) âèäå, ÷òî îáåñïå÷èëî îáùíîñòü ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ. Òåì íå ìåíåå,êëàññ ïñåâäîïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé â öåëîì èçó÷åí ìàëî.
Øèðîêèé êðóã âîïðîñîâòðåáóåò äàëüíåéøåãî ðàçâèòèÿ òåîðèè.  ÷àñòíîñòè, îòêðûòû âîïðîñû î íàõîæäåíèèíåîáõîäèìûõ è äîñòàòî÷íûõ óñëîâèé ðàçðóøåíèÿ ðåøåíèé, îá èññëåäîâàíèè çàäà÷äëÿ ñèñòåì óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî âåêòîðíûõ âåëè÷èí. Êðîìå òîãî, ìàëîèçó÷åííûìèîñòàþòñÿ çàäà÷è â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè â ïîñòàíîâêå ñ íåëèíåéíûìè ãðàíè÷íûìèóñëîâèÿìè.Öåëü ðàáîòû.Ðàçâèòèå ìåòîäîâ äîêàçàòåëüñòâà ðàçðåøèìîñòè ñìåøàííûõ êðàåâûõ çàäà÷äëÿëèíåéíûõèíåëèíåéíûõóðàâíåíèéòèïàÑîáîëåâà,ïðîèñòåêàþùèõèçêîíêðåòíûõ çàäà÷ ôèçèêè ïîëóïðîâîäíèêîâ è ãèäðîäèíàìèêè, â êëàññè÷åñêîì, ñèëüíîìîáîáùåííîì, èëè ñëàáîì îáîáùåííîì ñìûñëå, è èññëåäîâàíèå âîïðîñîâ ðàçðóøåíèÿîáîáùåííûõ ðåøåíèé íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé çà êîíå÷íîå âðåìÿ.Íàó÷íàÿ íîâèçíà. äèññåðòàöèè ïðåäëîæåíà ñõåìà äîêàçàòåëüñòâà ëîêàëüíîé ðàçðåøèìîñòè3ñìåøàííûõ êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ íåëèíåéíûõ ïñåâäîïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé âïîñòàíîâêå ñ íåëèíåéíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèåì Íåéìàíà, îñíîâàííàÿ íà ïðèìåíåíèèìåòîäà Ãàë¼ðêèíà.Ìåòîä äîêàçàòåëüñòâà ëîêàëüíîé ðàçðåøèìîñòè è ðàçðóøåíèÿ ðåøåíèÿ, ðàçâèòûõäëÿ ñìåøàííûõ êðàåâûõ çàäà÷ îòíîñèòåëüíî ñêàëÿðíûõ ôóíêöèé, ðàçâèò è îáîáùåíäëÿ ïðèìåíåíèÿ ê çàäà÷àì îòíîñèòåëüíî âåêòîðíûõ ôóíêöèé.
Îáîáùåíèå ïðîâåäåíîíà ïðèìåðå çàäà÷è äëÿ îäíîé ñèñòåìû íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ äèíàìèêóæèäêîñòè. çàäà÷å äëÿ îäíîãî íåëèíåéíîãî íåëîêàëüíîãî óðàâíåíèÿ, âîçíèêàþùåãî ïðèðàññìîòðåíèè ïîëóïðîâîäíèêà ñ íåëîêàëüíîé çàâèñèìîñòüþ òîêà ïðîâîäèìîñòè îòýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, èñ÷åðïûâàþùå èçó÷åí âîïðîñ î ëîêàëüíîé ðàçðåøèìîñòè èóñëîâèÿõ ðàçðóøåíèÿ ðåøåíèÿ. Ïîñòðîåí îðèãèíàëüíûé ìåòîä âûâîäà íåîáõîäèìûõè äîñòàòî÷íûõ óñëîâèé ðàçðóøåíèÿ ñèëüíîãî îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ çà êîíå÷íûéïðîìåæóòîê âðåìåíè.Ïðåäëîæåí ìåòîä äîêàçàòåëüñòâà ñóùåñòâîâàíèÿ êëàññè÷åñêèõ ðåøåíèé ñìåøàííûõêðàåâûõçàäà÷äëÿëèíåéíûõïñåâäîïàðàáîëè÷åñêèõóðàâíåíèéïðèíåíóëåâîì íà÷àëüíîì óñëîâèè, ðàññìîòðåííûé äëÿ êîíêðåòíîãî ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ,îïèñûâàþùåãî ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â ïîëóïðîâîäíèêå.Íàó÷íàÿ è ïðàêòè÷åñêàÿ çíà÷èìîñòü.Ïîëó÷åííûå â ðàáîòå ðåçóëüòàòû ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ:à) òåîðåòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ ÿâëåíèÿ ïðîáîÿ â ïîëóïðîâîäíèêå ïðè ðàññìîòðåíèèïîñëåäíåãî â ðàìêàõ îïðåäåëåííûõ ìîäåëåé, à òàêæå âû÷èñëåíèÿ îöåíîê ñâåðõó è ñíèçóäëÿ âðåìåíè âîçíèêíîâåíèÿ óêàçàííîãî ÿâëåíèÿ â çàâèñèìîñòè îò ãåîìåòðèè îáëàñòè,â êîòîðîé ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à, è íà÷àëüíûõ óñëîâèé;á) èññëåäîâàíèÿ ñâîéñòâ òå÷åíèé âÿçêîóïðóãèõ æèäêîñòåé;â) ðàçðàáîòêè ÷èñëåííûõ àëãîðèòìîâ ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèé çàäà÷ äëÿ ëèíåéíîãîïñåâäîïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùåãî ýôôåêò ñòðàòèôèêàöèè îáúåìíîãîçàðÿäà â ïîëóïðîâîäíèêå.Àïðîáàöèÿðåçóëüòàòîâäèññåðòàöèè.Îñíîâíûåðåçóëüòàòûðàáîòûíåîäíîêðàòíî äîêëàäûâàëèñü íà ñåìèíàðàõ ÂÌèÊ ïî íåëèíåéíûì äèôôåðåíöèàëüíûìóðàâíåíèÿì ïîä ðóêîâîäñòâîì È.À.
Øèøìàðåâà, íà ñåìèíàðå êàôåäðû ìàòåìàòèêèôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ ïîä ðóêîâîäñòâîì À.Í. Áîãîëþáîâà è íà ñåìèíàðåÌÈÀÍ ïî íåëèíåéíîìó àíàëèçó äëÿ ñòóäåíòîâ è àñïèðàíòîâ ïîä ðóêîâîäñòâîì Â.À.Êîíäðàòüåâà è Ñ.È. Ïîõîæàåâà.Ïóáëèêàöèè. Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû îïóáëèêîâàíû â [3] ðàáîòàõ, ñïèñîê êîòîðûõïðèâåäåí â êîíöå àâòîðåôåðàòà (íà ìîìåíò ïîäà÷è âñåõ ïóáëèêàöèé â ïå÷àòü äèññåðòàíòíîñèë ôàìèëèþ ×óáåíêî).Ñòðóêòóðà è îáúåì äèññåðòàöèè. Äèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç ââåäåíèÿ, ñïèñêàîáîçíà÷åíèé, ÷åòûðåõ ãëàâ, çàêëþ÷åíèÿ, è ñïèñêà ëèòåðàòóðû, âêëþ÷àþùåãî 1354íàèìåíîâàíèå, è èçëîæåíà íà 86 ñòðàíèöàõ.ÎÑÍÎÂÍÎÅ ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ ÐÀÁÎÒÛÂâåäåíèå ñîäåðæèò îáçîð ðàáîò, îòíîñÿùèõñÿ ê èññëåäîâàíèþ óðàâíåíèéñîáîëåâñêîãî òèïà è îïèñàíèÿ îñíîâíûõ ðåçóëüòàòîâ äèññåðòàöèè.Ïåðâàÿ ãëàâà äèññåðòàöèè ïîñâÿùåíà âîïðîñàì ðàçðåøèìîñòè ñìåøàííûõ êðàåâûõçàäà÷ äëÿ ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ òèïà Ñîáîëåâà, îïèñûâàþùåãî òàê íàçûâàåìûé ýôôåêòñòðàòèôèêàöèè îáúåìíîãî çàðÿäà â ïîëóïðîâîäíèêå.
Ðàññìàòðèâàåòñÿ òðåõìåðíûéñëó÷àé. Ôèçè÷åñêàÿ ìîäåëü, â ðàìêàõ êîòîðîé ðàññìàòðèâàåòñÿ ïîëóïðîâîäíèêîâàÿñðåäà, îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèìè óðàâíåíèÿìè:∆3 ϕ = −4πρ,ερσ = ρ − e(n0 − n),∂ρσn0 − n=e,∂tτn = n0 expeϕ,kTe(1)ãäå ϕ ïîòåíöèàë ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, ρ ïëîòíîñòü îáúåìíîãî çàðÿäà â êðèñòàëëå, ρσ ïëîòíîñòü îáúåìíîãî çàðÿäà, ñâÿçàííîãî íà ïðèìåñíûõ öåíòðàõ ïîëóïðîâîäíèêà, n0 ðàâíîâåñíàÿ êîíöåíòðàöèÿ ýëåêòðîíîâ, n êîíöåíòðàöèÿ ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ, τ õàðàêòåðíîå âðåìÿ æèçíè ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ, ε äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòüïîëóïðîâîäíèêà, Te òåìïåðàòóðà ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ. Ñèñòåìà óðàâíåíèé (1) ïðèîïðåäåëåííûõ äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèÿõ è ïðèíàäëåæíîñòè ôóíêöèè ýëåêòðè÷åñêîãîïîòåíöèàëà ϕ(r, t) êëàññó ãëàäêîñòè C(1) ([0, +∞); C(2) (Ω)), ãäå Ω îäíîñâÿçíàÿïðîñòðàíñòâåííàÿ îáëàñòü, â êîòîðîé ðàññìàòðèâàåòñÿ ïîëóïðîâîäíèê, ðåäóöèðóåòñÿê îäíîìó ëèíåéíîìó óðàâíåíèþ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ∂(∆u − u) − u = 0.∂t(2)îòíîñèòåëüíî ôóíêöèè u(x, t) áåçðàçìåðíûõ ïåðåìåííûõ x è t, èìåþùåé ôèçè÷åñêèéñìûñë ïîòåíöèàëà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. äèññåðòàöèè èññëåäîâàíû âíóòðåííÿÿ è âíåøíÿÿ ñìåøàííûå êðàåâûå çàäà÷è äëÿóðàâíåíèÿ (2) â ïîñòàíîâêå ñ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì ïåðâîãî ðîäà (ò.
å., êîãäà íà ãðàíèöåîáëàñòè çàäàíî ðàñïðåäåëåíèå ýëåêòðè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà). Äàííûå çàäà÷è èìåþò âèä∂ ∂t (∆u − u) − u = 0, x ∈ D, t ∈ (0, T ],u(s, t) = g(s, t), u(x, 0) = u (x),0s ∈ S,t ∈ [0, T ],x ∈ D,ãäå D - âíóòðåííÿÿ èëè âíåøíÿÿ îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü â ïðîñòðàíñòâå R3 ñ ãðàíèöåé Sêëàññà Ëÿïóíîâà.Îñíîâíîé ðåçóëüòàò ïåðâîé ãëàâû ôîðìóëèðóåòñÿ â âèäå òðåõ òåîðåì.Òåîðåìà 1.
Åñëè u0 (M ) íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà, à g(P, t) íåïðåðûâíà ïî P ,íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà ïî t è g(P, 0) = u0 (P ), òî ñóùåñòâóåò êëàññè÷åñêîåðåøåíèå âíóòðåííåé ñìåøàííîé êðàåâîé çàäà÷è ñ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì Äèðèõëå äëÿóðàâíåíèÿ (2).5Òåîðåìà2.Åñëè u0 (M ) íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà è îãðàíè÷åííà íà áåñêîíå÷íîñòè, à g(P, t)íåïðåðûâíà ïî P , íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà ïî t, g(P, 0) = u0 (P ), òî ñóùåñòâóåòêëàññè÷åñêîå, îãðàíè÷åííîå íà áåñêîíå÷íîñòè, ðåøåíèå âíåøíåé ñìåøàííîé êðàåâîéçàäà÷è ñ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì Äèðèõëå äëÿ óðàâíåíèÿ (2).Òåîðåìà 3. Âíóòðåííÿÿ (âíåøíÿÿ) ñìåøàííàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à ñ ãðàíè÷íûì óñëîâèåìÄèðèõëå äëÿ óðàâíåíèÿ (2) èìååò íå áîëåå îäíîãî êëàññè÷åñêîãî (êëàññè÷åñêîãî,îãðàíè÷åííîãî íà áåñêîíå÷íîñòè) ðåøåíèÿ.Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì ñóùåñòâîâàíèÿ îñíîâàíî íà òàê íàçûâàåìîì ìåòîäåäèíàìè÷åñêèõ ïîòåíöèàëîâ, ïîçâîëÿþùåì ïîëó÷èòü óòâåðæäåíèÿ òåîðåì äëÿ ñëó÷àÿu0 (M ) ≡ 0, à òàêæå èñïîëüçîâàíèè ñâîéñòâ ôóíäàìåíòàëüíîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2)äëÿ îáîáùåíèÿ ðåçóëüòàòîâ íà ñëó÷àé íåíóëåâûõ íà÷àëüíûõ äàííûõ.
 äîêàçàòåëüñòâåòåîðåìû åäèíñòâåííîñòè â øèðîêîé ñòåïåíè èñïîëüçîâàíû ñâîéñòâà ôóíêöèè Ãðèíàçàäà÷è Äèðèõëå äëÿ áåçâîëíîâîãî óðàâíåíèÿ Ãåëüìãîëüöà.Âî âòîðîé ãëàâå èçëîæåíû ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèÿ âîïðîñîâ ëîêàëüíîéðàçðåøèìîñòè è ðàçðóøåíèÿ ðåøåíèé ñìåøàííîé êðàåâîé çàäà÷è äëÿ íåëèíåéíîãîïñåâäîïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùåãî ïðîöåññû â ïîëóïðîâîäíèêå ïðèíàëè÷èè ñèëüíîé ïðîñòðàíñòâåííîé äèñïåðñèè è íåëîêàëüíîé çàâèñèìîñòè òîêàïðîâîäèìîñòè îò ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, â ðàìêàõ ïðèáëèæåíèÿ íåëèíåéíîé îïòèêè.Èñõîäíàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé ýëåêòðîäèíàìèêè, îïèñûâàþùàÿ ñâîéñòâà òàêîãîïîëóïðîâîäíèêà, â êâàçèñòàöèîíàðíîì ïðèáëèæåíèè âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:div D = −4πen,rot E = 0,e ∂n= div j ,∂tj = σ0 E − σ1P = P1 + P2 ,P1 = −4E,µD = E + 4πP,¶qR2dx |E|E,Ω(3)P2 = |E|p−2 E. îãðàíè÷åííîé ïîâåðõíîñòíî-ñâÿçíîé îáëàñòè ñèñòåìà óðàâíåíèé (3) ñâîäèòñÿ êóðàâíåíèþ ïñåâäîïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà â áåçðàçìåðíûõ ïåðåìåííûõ:∂(−∆2 u + ∆u + ∆p u) + ∆u − k∇uk2q2 ∆u = 0,∂t(4)ãäå ∆p ïñåâäîëàïëàñèàí (∆p u ≡ div(|∇u|p−2 ∇u)), à ôóíêöèÿ u èìååò ñìûñëïîòåíöèàëà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ.
Ñìåøàííàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ óðàâíåíèÿ (4),ðàññìîòðåííàÿ â äèññåðòàöèè, ïîñòàâëåíà â âèäå(∂(−∆2 u + ∆u + ∆p u) + ∆u − k∇uk2q2 ∆u = 0,∂tu|∂Ω =∂u|∂n ∂Ω= 0,u(x, 0) = u0 (x).(5)Çäåñü x ∈ Ω ∈ RN , Ω îãðàíè÷åííàÿ îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü ñ äîñòàòî÷íî ãëàäêîéãðàíèöåé, p > 2, q > 0.Ëîêàëüíàÿ ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è (5) è óñëîâèÿ ðàçðóøåíèÿ å¼ ðåøåíèÿ çà êîíå÷íûéïðîìåæóòîê âðåìåíè èçó÷åíû äëÿ ñèëüíûõ îáîáùåííûõ ðåøåíèé.6Îïðåäåëåíèå.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
