Решение уравнения Гельмгольца в мгогосвязных волноводных областях (1104573), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Самара. Сентябрь 2003.III Международной научно-технической конференции «Физика итехнические приложения волновых процессов». Волгоград. Сентябрь2004.III Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе итехнике». Москва. Январь 2005.XII Международной конференции студентов, аспирантов и молодыхученых по фундаментальным наукам «Ломоносов 2005».
Москва.Апрель 2005.Работа«КомпьютерноедиэлектрическихВсероссийскиймоделированиеволноведущихконкурснаучныхплоскослоистыхструктур»,работметалло-представленнаястудентоввнаобластителекоммуникаций за 2001 год, награждена дипломом лауреатаконкурса IV степени.Результаты работы докладывались на научных семинарах:Семинаре «Численные методы электродинамики» МГУ имени М.В.Ломо-носова под руководством профессоров А.Г.
Свешникова и А.С.Ильинского. Март 2005.Научном семинаре кафедры математики физического факультета МГУпод руководством профессора В.Ф. Бутузова. Март 2005.Публикации7Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 13работах, список которых приведен в конце автореферата.Структура и объем диссертацииДиссертация состоит из трех глав, введения, заключения, спискалитературы и приложения. Объем работы составляет 114 страниц, включая16 рисунков, 2 таблицы и список литературы, содержащий 126 работ.СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫВо введении дается обзор существующих математических методоврешениякраевыхзадачдляуравненияГельмгольцавразличныхволноводных областях.
Обосновывается актуальность разработки новых имодификациисуществующихматематическихметодовиалгоритмовисследования и численного решения краевых задач в многосвязныхволноводных областях и областях со сложной геометрией области и границ.Приводится краткое описание содержания диссертации по главам.Первая глава диссертации посвящена математическому исследованиюи решению краевой задачи для уравнения Гельмгольца в многосвязнойволноводной области с кусочно-постоянной границей, имеющей критическиеточки, и кусочно-постоянным заполнением.В первом параграфе этой главы рассмотрена строгая математическаяпостановка краевой задачи для уравнения Гельмгольца с граничнымиусловиями Дирихле.
Постановка проведена в общем виде с учетоммногосвязности области и особенностей границы. Условия излучения набесконечности,выделяющиеединственноерешениекраевойсформулированы в виде парциальных условий излучения.задачи,Поставленоусловие в форме Мейкснера, определяющее поведение решения в окрестностикритическихточекграницы,такжеразрешимости краевой задачи.8необходимоедляоднозначнойМатематическую задачу поставим на примере базовой задачи оразветвленииволноводабесконечнойметаллическойполуплоскостьюконечной толщины. Итак, требуется найти решения u ( x, z ) = U j ( x, z ) , где u ( x, z )- компонента электромагнитного поля Е y ( x, z ) , уравнения Гельмгольца:Lu = ∆u ( x, z ) + k 2ε j ( x, z )u ( x, z ) = 0 , ( j = Ι, ΙΙ, ΙΙΙ )(1)в двусвязной области Ω = Ω Ι U Ω ΙΙ U Ω ΙΙΙ с границей ∂Ω , гдеΩ Ι = {( x, z ) | 0 < x < a , − ∞ < z < 0} , Ω ΙΙ = {( x, z ) | c < x < d , 0 < z < ∞} ,Ω ΙΙΙ = {( x, z ) | b < x < h, 0 < z < ∞} ,⎧ z < 0,ε Ι = 1,⎪ε j (x, z ) = ⎨⎧ε ΙΙ , c < x < d ,>z0,⎨ ΙΙΙ⎪⎩ε , b < x < h.⎩Решение будем искать в виде суммы разложений падающего ирассеянного полей по системе нормальных волн:∞Ι⎧ Ιiγ nΙ 0 zΙΙU(x,z)Aϕ(x)eRnΙϕ nΙ ( x)e − iγ n z ,=+∑n0 n0⎪n =1⎪∞∞ΙΙΙΙ⎪u ( x, z ) = ⎨U ΙΙ ( x, z ) = ∑ QnΙΙϕ nΙΙ ( x)eiγ n z + ∑ BnΙΙϕ nΙΙ ( x)e − iγ n z ,n =1n =1⎪∞∞⎪ ΙΙΙ− iγ ΙΙΙ ziγ ΙΙΙ zΙΙΙ ΙΙΙΙΙΙ ΙΙΙ⎪U ( x, z ) = ∑ Tn ϕ n ( x)e n + ∑ Cn ϕ n ( x)e n ,n =1n =1⎩(2)где AnΙ 0 , BnΙΙ , CnΙΙΙ - заданные, а RnΙ , QnΙΙ , TnΙΙΙ - искомые коэффициенты разложения,причем RnΙ - коэффициенты отражения, QnΙΙ , TnΙΙΙ - коэффициенты прохожденияэлектромагнитной волны, n0 = 1 , {ϕ nj ( x )} - системы собственных функций,соответ-ствующие системам собственных значенийЛиувилля для попе-речных сеченийλnj , задач Штурма-S j = const с граничными условиямиДирихле на границе ∂S j :⎧⎪ϕ nj "( x) + (λnj ) 2 ϕ nj ( x) = 0,⎨ j⎪⎩ϕ n ( x) ∂S j = const = 0,где γ nj = k 2ε j ( x, z ) − (λnj ) 2 - постоянные распространения, k - волновое число.9Искомые функции должны удовлетворять:уравнению (1) в двусвязной области Ω ;граничным условиям Дирихле на идеально проводящих поверхностях:u ( x, z ) ∂Ω = 0 ;(3)условиям излучения и возбуждения на бесконечности в виде (2) (врассеянном поле отсутствуют волны, приходящие из ± ∞ );проекционным условиям сшивания в плоскости стыка волноводов,обеспечивающим непрерывность потока энергии:aΙ∫ U ( x, z )0dhcbϕ Ι ( x) dx = ∫ U ΙΙ ( x, z ) z =0 ϕ mΙ ( x) dx + ∫ U ΙΙΙ ( x, z ) z =0 ϕ mΙ ( x) dx ,z =0 mdd∂U Ι ( x, z )∂U ΙΙ ( x, z )ΙΙϕ(x)dxϕ mΙΙ ( x) dx ,=m∫c ∂z∫c ∂zz =0z =0h∂U Ι ( x, z )∫b ∂z(4)h∂U ΙΙΙ ( x, z )ϕ ( x) dx = ∫∂zbz =0ΙΙΙmϕ mΙΙΙ ( x) dx ;z =0условию Мейкснера в окрестности критических точек границы ∂Ω (вточках изломов боковой поверхности и угловых точках металлическихвставок),заключающемусявтребованииограниченностиэнергииэлектромагнитного поля в любой окрестности Vρ , содержащей критическуюточку:∫ ( ∇u ( x, z )22+ u ( x, z ) )dV < ∞ .VρВ пространствесистемы собственных функций полны иL2 (Ω )ортогональны.
Нормировка выбирается в следующем виде:a∫ϕhdΙn( x)ϕ ( x)dx = δ nm ,Ιm0∫ϕΙΙn( x)ϕ ( x)dx = δ nm ,ΙΙmc∫ϕΙΙΙn( x )ϕ mΙΙΙ ( x )dx = δ nm .(5)bХарактерной особенностью исследуемой краевой задачи являетсянеобходимостьрассмотрениямногосвязностьиобобщенногобесконечностьобласти,решения,иусловиеучитывающегоМейкснеравкритических точках.
Поэтому во втором параграфе также как в работах В.П.10Моденова и С.И. Абгалдаева вводится понятие обобщенного решения краевойзадачи Дирихле для уравнения Гельмгольца в рассматриваемой области. Втретьем параграфе сформулирована и доказана теорема существования иединственности для обобщенного решения.Теорема. Обобщенное решение u ( x, z ) задачи Дирихле для уравненияГельмгольца (1) в области Ω существует и единственно.В четвертом параграфе рассматривается реализация вычислительногоалгоритма решения поставленной краевой задачи.
Подставляя разложения(2) впроекционные соотношения (4) и пользуясь условием нормировки (5),получена бесконечная система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)для определения искомых коэффициентов разложения:Ax = By ,(6)где введены блочные операторы и векторы коэффициентов−βa = AnΙ 0n 0 =1IΙΙΤγA= 0γ−αΙΙΙ0, b = BnΙΙα γ ,β Τγ Ιn =1... ∞βtΙ, c = CnΙΙΙx= q , B= 0rγ ΙΙΙn =1... ∞, r = RnΙn =1... ∞αc−IΙΙΤ Ιγα γ , y= b ,0 β Τγ Ιa, q = QnΙΙn =1... ∞, t = TnΙΙΙn =1... ∞.Элементы матричных операторов имеют вид:dhα = α mn = ∫ ϕ nΙΙ ( x )ϕ mΙ ( x )dx , β = β mn = ∫ ϕ nΙΙΙ ( x )ϕ mΙ ( x )dx , γ j = δ mnγ njcbn =1... ∞m =1...
∞,α Τ , β Τ - транспонированные к α , β матрицы, I - единичная матрица.Приближенное решение u N ( x, z ) = U Nj ( x, z ) в каждой частичной областиищется в виде конечного ряда:11NΙΙ⎧ Ιiγ nΙ 0 zΙΙU(x,z)Aϕ(x)eRnΙϕ nΙ ( x)e − iγ n z ,=+∑n0 n0⎪ Nn =1⎪N ΙΙN ΙΙ⎪ΙΙΙΙ⎪u N ( x, z ) = ⎨ U NΙΙ ( x, z ) = ∑ QnΙΙϕ nΙΙ ( x)eiγ n z + ∑ BnΙΙϕ nΙΙ ( x)e − iγ n z ,n =1n =1⎪N ΙΙΙN ΙΙΙ⎪ ΙΙΙ− iγ ΙΙΙ ziγ ΙΙΙ z⎪U N ( x, z ) = ∑ TnΙΙΙϕ nΙΙΙ ( x)e n + ∑ CnΙΙΙϕ nΙΙΙ ( x)e n .⎪⎩n =1n =1Функцияu N ( x, z )удовлетворяетуравнениюГельмгольца(1),граничным условиям (3), условиям возбуждения и излучения в виде (2).Уравнение (6) решается методом редукции, проводится его замена наприближенное уравнение An x = B n y , в котором все бесконечные матрицызаменяются на усеченные, а число учитываемых волн в каждом волноводесоответственно равно N Ι = N ΙΙ + N ΙΙΙ .В пятом параграфе проводится обоснование сходимости решенияредуцированной СЛАУ относительно амплитуд нормальных волн к точномурешению задачи.
Для амплитуд нормальных волн вводятся координатныегильбертовы пространства, элементами которых являются бесконечныепоследовательности комплексных чисел:⎧f1 = ⎨d⎩d = (d1 , d 2 ,K, d n ,K),∞∑dn =12n(λ )< ∞⎫⎬⎭ ,j2n2где λnj = K 2j − (γ nj )2 . Скалярное произведение и норма взадаются следующим образом:∞пространстве f1d 1 = (d , d ) , (d , g ) = ∑ d n g n (λnj ), ∀d , g ∈ f1 .2n =1Утверждение 1. Для сходимости решения редуцированной СЛАУотносительно амплитуд нормальных волн An x = Bn y к точному решениюзадачи достаточно существования и непрерывности обратного оператора A−1рассматриваемой системы (6) в координатном пространстве f1 .Вторая глава диссертации посвящена математическому исследованиюирешению краевой задачи для уравнения Гельмгольца с переменнымкоэффициентом в многосвязной волноводной области с кусочно-гладкойграницей, имеющей критические точки.12Впервомпараграфепроведенафизическаяиматематическаяпостановка краевой задачи.
Рассматривается задача о распространенииэлектромагнитной волны H10 в нерегулярном волноводе, состоящем из трехчастей: регулярный полубесконечный волновод A шириной a соединяется снерегулярным переходным участком L длинной l , который в свою очередьсоединяется с волноводом шириной h , разветвленным серией металлическихвставокконечнойтолщиныtнаMрегулярныхполубесконечныхволноводов B j шириной b j , j = 1, 2,K M .Требуется найти решение уравнения Гельмгольца u ( x, z ) = E y ( x, z ) :(7)Lu = ∆u ( x, z ) + K 2 ( x, z )u ( x, z ) = 0в области Ω с границей ∂Ω⎧ a, − ∞ < z < 0⎪Ω = {( x, z ) 0 ≤ x ≤ F ( z ), − ∞ < z < ∞} , F ( z ) = ⎨ L( z ), 0 ≤ z ≤ l ,⎪ h, l < z < ∞⎩где L( z ) - уравнение боковой поверхности переходного участка;⎧ε A , − ∞ < z < 0, 0 ≤ x ≤ a⎪⎪ωK 2 ( x, z ) = k 2ε ( x, z ) , k = , ε ( x, z ) = ⎨ε L , 0 ≤ z ≤ l , 0 ≤ x ≤ L( z ),c⎪ Bj⎪⎩ε , l < z < ∞, x j ≤ x ≤ x j + b jε ( x, z ) - в общем случае комплексная кусочно-постоянная функция координат,функция L( z ) выбирается исходя из влияния геометрии переходного участкана величину коэффициента отражения падающей волны:L( z ) =al + (h − a ) z.l(8)Искомое решение должно удовлетворять следующим условиям:граничному условию Дирихле на границе ∂Ω области Ω :u ( x, z ) ∂Ω = 0 ;(9)условиям возбуждения и излучения:∞u A ( x, z ) = ϕ nA0 ( x)eiγ n 0 z + ∑ RnAϕ nA ( x)e − iγ n z , 0 ≤ x ≤ a, z < 0, n0 = 1AAn =1∞u ( x, z ) = ∑ T ϕ ( x ) eBjBjnBjnBiγ n j ( z − l ), x j ≤ x ≤ x j + bj , z > l,n =113j = 1, 2,...M,(10)гдеBRnA , Tn j -неизвестныекоэффициентыотраженияипрохождения,Bjϕ nA ( x), ϕ n ( x) - собственные функции волновода A и каждого из волноводов B j ;условиям сопряжения ( z1 = 0, z2 = l − плоскости сочленения подобластей):u ( x, z ) z1,2 − 0= u ( x, z ) z1,2 + 0,∂u ( x, z )∂u ( x, z )=;∂n z1,2 −0∂n z1,2 + 0(11)условию Мейкснера в окрестности критических точек границы ∂Ω :∫ ( ∇u ( x, z )22+ u ( x, z ) )dV < ∞ ,(12)Vρгде Vρ - любая окрестность, содержащая критическую точку.Во втором параграфе рассматривается численный алгоритм решениякраевой задачи.
Приближенное решение задачи строится на основе неполногометода Галеркина, применение которого к задаче дифракции в нерегулярномволноводе было разработано в работах А.Г. Свешникова. В этом методекраевая задача для уравнения в частных производных сводится к краевойзадаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.Суть приближенного метода решения краевой задачи заключается вформулировкесистемыусловийортогональностиобеспечивающейвыполнение в энергетическом смысле условий сшивания в плоскостисочленения волноводов и граничных условий на стенках.Представление для приближенного решения в области нерегулярностивыбирается по системе функций, не зависящих от формы волновода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
