Решение уравнения Гельмгольца в мгогосвязных волноводных областях (1104573), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Дляэтого за счет перехода к другой системе координат производится отображениевнутренней области волновода с нерегулярностью на регулярную полосу% .% = {(ξ ,η ) 0 ≤ ξ ≤ 1, − ∞ < η < ∞} с границей ∂ΩΩКоординаты преобразуются следующим образом:ξ=x; η = z;F ( z)⎧x⎪a ; − ∞ <η < 0⎪x⎪ x; 0 ≤η ≤ l=⎨F ( z ) ⎪ L( z )⎪x⎪ ; l <η < ∞⎩h14,т.е. имеет место следующий переходx=al + (h − a)η(al + (h − a)η )ξal + (h − a )η, z = η , L(η ) =, J=,lllгде J - якобиан перехода к новым координатам.В новых координатах уравнение Гельмгольца будет выглядетьследующим образом:l 2 + ξ 2 (a − h) 2 ∂ 2u (ξ ,η )( a − h)∂ 2u (ξ ,η ) ∂ 2u (ξ ,η )+ 2ξ++(al + (h − a )η ) 2 ∂ξ 2(al + (h − a)η ) ∂ξ∂η∂η 2(13)( a − h) 2∂u (ξ ,η )+2ξ+ k 2ε (ξ ,η )u (ξ ,η ) = 0 .2(al + (h − a)η )∂ξ% области Ω%:Граничные условия Дирихле на границе ∂Ωu (ξ ,η ) ∂Ω% = 0 .(14)Условия излучения и возбуждения в новых координатах:∞u A (ξ ,η ) = ϕ nA0 (ξ )eiγ n 0η + ∑ RnAϕ nA (ξ )e − iγ n η , 0 ≤ ξ ≤ 1, η < 0, n0 = 1,AAn =1∞u (ξ ,η ) = ∑ T ϕ (ξ )eBjBjnBjnBiγ n j (η −l ), ξj ≤ξ ≤ξj +n =1bjh, η > l,(15)j = 1, 2,...M ,Приближенное решение уравнения (13) с граничным условием (14) иусловиями (15) будем искать в виде ряда:Nu N (ξ ,η ) = ∑ A% n (η )ϕ n (ξ ) ,n =1где ϕ n (ξ ) = sin π nξсечений- нормированные собственные функции поперечныхη = 0, η = l ,N-количествогармоник; A% n (η )-неизвестныекоэффициенты.Система дифференциальных уравнений относительно неизвестныхкоэффициентов A% n (η ) (n = 1, 2K N ) получается из требования ортогональностидифференциального оператора приближенного решения L[u N ] к первым Nфункциям ϕ m (ξ ) .
Имеет место соотношение:1∫ L[u01LN(ξ ,η )]ϕ m (ξ ) Jdξ = ∫ (∆u NL (ξ ,η ) + k 2ε (ξ ,η )u NL (ξ ,η ))ϕ m (ξ ) Jdξ = 0 .0Система дифференциальных уравнений имеет следующий вид:15NA% m ''(η ) = ∑ [K mn (η ) A% n '(η ) + Lmn (η ) A% n (η )], m = 1, 2,K N ,n =1где коэффициенты представлены следующими выражениями:K mnLmn( a − h)⎡⎢ (al + (h − a)η ) , при m = n,=⎢N⎢2(a − h)n(−1) nm, при m ≠ n ,∑⎢ (−1) 2m(al + (h − a)η ) n =1 (m 2 − n 2 )⎣⎡ 2 2⎛⎞ 1l21( a − h) 2( a − h) 2⎟++− k 2 ε (ξ ,η ), при m = n⎢π n ⎜⎜22 ⎟232+−+−+−ηηη(al(ha))(al(ha))(al(ha))⎝⎠= ⎢⎢22nN⎛⎞⎢(−1) m 2m 2(a − h) 2 ∑ n(2−1) 2 ⎜1 + 24n 2 ⎟, при m ≠ n.(al + (h − a)η ) n =1 (m − n ) ⎜⎝ m − n ⎟⎠⎢⎣Граничные условия для системы дифференциальных уравнений получим спомощью применения проекционных условий сшивания в сечениях η = 0 иη =l.В сечении η = 0 имеют место интегральные соотношения:1L∫ uN (ξ ,η )01ϕ mA (ξ )dξ = ∫ u NA (ξ ,η )η =001ϕ mA (ξ )dξη =01∂u NL (ξ ,η )∂u NA (ξ ,η )Lϕξξϕ mL (ξ )dξ()d=m∫0 ∂n∫0 ∂nη =0η =0,в сечении η = l :ξj+bj∫ξhbjξj+Bju NL (ξ ,η )ϕ m (ξ )dξ =η =ljBM∂u NL (ξ ,η )L()dϕξξ=∑m∫0 ∂nj =1η =lкраеваяBju N j (ξ ,η )ϕ m (ξ )dξη =lj1Окончательно∫ξhξj+.bj∫ξhjзадачаB∂u N j (ξ ,η )∂nдляϕ mL (ξ )dξη =lсистемыуравнений имеет вид:NA% m ''(η ) = ∑ [K mn (η ) A% n '(η ) + Lmn (η ) A% n (η )],n =1N∑ [BmnA% n '(0) + Cmn A% n (0)] = Wm ,n =1N∑ [Dmnn =1A% n '(l ) + Gmn A% n (l )] = 0, m = 1, 2,K N .16дифференциальныхДалееспомощьювекторногопреобразованиякраеваязадачаприводится к удобному для применения численных методов виду и решаетсяметодом прогонки.В третьем параграфе проводится исследование существования иединствен-ности приближенного решения краевой задачи.
Основываясь налогике работ А.Г. Свешникова для точного и для приближенного решениявыводится энергетическое соотношение вида:2Im K 2 ∫∫ u NL ( x, z ) dS + Re γ nA0 RnA0ΩN 2M2B N+ ∑ Reγ n 0j Tn 0 jBj∞+ ∑ Re γ nA RnAn=2N 2M∞2Bj N+ ∑∑ Re γ n j TnB= 1.j n=2Пользуясь далее аналогичностью энергетического соотношения для точного идля приближенного решений краевой задачи, рассматриваются условияограни-ченности, при выполнении которых можно говорить о существованиии единственности приближенного решения.Утверждение 2.
Решение задачи (7-12) существует и единственно, приэтомприближенноерешение,строитсяпомодифицированнойсхеменеполного метода Галеркина.В четвертом параграфе доказана сходимость приближенного решенияu N (ξ ,η ) к точному решению краевой задачи u (ξ ,η ) в пространстве L2 . Дляэтого проводится оценка функции U N (ξ ,η ) = u (ξ ,η ) − u N (ξ ,η ) при N → ∞ . ДляфункцииU N (ξ ,η )выводитсясоотношениеаналогичноесоотношениюэнергетического типа для приближенного решения и доказывается егостремление к нулю при N → ∞ , откуда следует сходимость в среднемприближенного решения к точному.Утверждение 3. Приближенное решение u N (ξ ,η ) сходится к точномурешению u (ξ ,η ) краевой задачи в пространстве L2 .Третья глава посвящена применению представленных алгоритмов прирешении некоторых физических задач, в частности при исследованииявления резонансной дифракции и при моделировании устройств СВЧ, в томчисле базовых элементов систем сверхбыстрой обработки информации наобъемных интегральных схемах СВЧ и КВЧ диапазонов.
Первый параграфиллюстрирует многообразие применений в современной микроэлектроникеволноведущих структур, включающих в себя разветвления и скачкообразные17нерегулярности.Приводитсяобзормногоканальныхволноведущихустройств: делителей и сумматоров мощности, фильтров.Во втором параграфе рассматриваются результаты моделированияреальных структур, проводится их теоретическое исследование, сравнение срезультатами,полученнымидругимиметодами,ифизическимэкспериментом.На примере ключевой задачи о ступенчатом сочленении волноводов вразделе2.1второгопараграфапроведеноисследованиеявления«относительной сходимости» (т.е.
сходимости редуцированных решений кразличным пределам в зависимости от выбранного способа усеченияподсистем СЛАУ). Исследование показало, что наилучший результатполучается, если отношение числа волн, взятых в волноводах, будет равноотношению их поперечных сечений.При исследовании дифракции волны H 10 на “нижней ступеньке” вволново-де проведено сравнение результатов полученных с помощьюалгоритма первой главы, базирующегося на проекционном методе сшивания(ПМС), с результатами, полученными другими методами: методом моментов(ММ) и методом полуобращения матричных уравнений (МПО) (рис. 1).Отношение поперечных сечений волноводов и длина волны при расчетахфиксируются: ab a = 0,501 , κ = a λ = 1,3 .
Сравнение трех методов показало, чтоиспользуемый алгоритм обеспечивает хорошую сходимость и достаточнуюточность результатов.Рис.1.Графикзависимостимодулякоэффициента отражения R от порядкаN усечения СЛАУ при расчетах разнымиметодами: ПМС - белые кружки, ММ черные точки, МПО - крестики.Примоделированиидвухканальноговолноводно-диэлектрического резона-тора (ВДР)в разделе 2.2 второго параграфа проведено18сравнениеполученныхрезультатовРассматривается волновод ширинойсфизическимэкспериментом.23 мм, разделенный металлическойполуплоскостью толщиной 0,3 мм на два волновода шириной 12,1 и 10,6 мм счастичнымдиэлектрическимзаполнениемε ΙΙ = ε ΙΙΙ = 2, 25 .Нарис.2представлена амплитудно-частотная характеристика двухканального ВДР,2где коэффициент передачи а = 10 lg (1 − R ) −1 .
Экспериментальная криваяобозначена черными точками, кривая, посчитанная с помощью ПМС –белыми кружками. Из рисунка видно, что расчетные и экспериментальныеданные находятся в хорошем соответствии, точно совпадает резонанснаячастота ( f 0 = 10,6 ГГц) и значения коэффициента передачи.В разделе 2.3 представлены результаты моделирования двухканальныхи трехканальных делителей и сумматоров мощности.
В основу алгоритмарасчета заложен алгоритм, рассмот-ренный во второй главе.В разделе 2.4 приведены результаты расчета волноведущих систем,состоящих из последова-тельности идентичных волноводных узлов.Рис. 2. Амплитудно-частотная характеристика двухканального ВДР. Сравнение сэкспериментальными данными.Рассматривается задача расчета многозвенных фильтров на одиночных исдвоенныхленточныхдиафрагмах.Используемыйвычислительныйалгоритм основан на применении комбинации проекционного методасшивания и метода декомпозиции (метода S-матриц).
На рис. 3 представлены2графики зависимости величины L = −10 lg T11 от частоты f . Для фильтра наодиночных диафрагмах (см. рис. 3, а) проведено сравнение расчетной кривой(сплошная линия) с физическим экспериментом (кружки) и результатамидругого метода (квадраты). Для фильтра на двойных диафрагмах (см. рис. 3,б) исследуется влияние на расчетную кривую изменения расстояния повертикали между металлическимивставками(dc) . При увеличениирасстояния между вставками прослеживается сужение полосы пропусканияфильтра и значительное уменьшение глубины пика.
Параметры волноводов:ширина 7,2 мм; толщина одиночных металлических вставок 0,05 мм;толщина двойных металлических вставок 0,007 мм; расстояние между19металлическими вставками li и длины вставок pi могут варьироваться,влияя в свою очередь на различные характеристики исследуемых фильтров.В заключении сформулированы основные результаты, полученные вработе.а)б)Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
