Особенности электронного спектра магнитных примесей при низкой температуре (1104159), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Примесная задача решалась методом разложения по функции гибридизации с накоплениемстатистики в представлении ортогональных полиномов. Во всех расчетах постоянная хоппинга была выбрана равной = 0.5 (безразмерные единицы),что соответствует полуширине затравочной зоны = 1, a обратная температура — = 100. Рассматривались 3 значения хаббардовской константы : = 2.0 (коррелированный металл), = 2.4 (окрестность фазового переходаМотта) и = 3.0 (моттовский диэлектрик с выраженной щелью в спектре).Восстановленные с помощью метода оптимальной стохастической регуляризации плотности состояний показаны на рис. 1. Для сравнения на томже рисунке приведены результаты аналитического продолжения по методуСэндвика (разновидность MaxEnt).С увеличением константы кулоновского взаимодействия при достаточно низких температурах электронный спектр системы показывает две широкие хаббардовские подзоны, расположенные в окрестности энергий ±/2.При = 4.7 .
. . 6.0 система испытывает переход первого рода, и в спектревозникает щель, соответствующая формированию фазы моттовского диэлектрика. Однако, во всей ферми-жидкостной фазе, вплоть до точки перехода,величина спектральной плотности на уровне Ферми фиксирована следствиемиз теоремы Латтинжера и локальности собственно-энергетической функции.Это соответствует наличию имеющего кондовскую природу узкого спектрального пика вблизи уровня Ферми, ширина которого при подходе к точке перехода обращается в нуль.Проблема описания однозонной модели Хаббарда при → ∞ до сих110.70.70.6стох.
регуляризацияметод Сэндвика0.50.50.40.4A(ε)A(ε)0.60.30.30.20.20.10.100−0.1стох. регуляризацияметод Сэндвика−0.1−4−3−2−10ε1234−4−3−2−1(а)0ε123(б )0.70.6стох. регуляризацияметод Сэндвика0.5A(ε)0.40.30.20.10−0.1−4−3−2−10ε1234(в)Рис. 1. Восстановленные плотности состояний для а) = 2.0, б) = 2.4 и в) = 3.0.Сплошные линии — результаты стохастической регуляризации, точки — результаты метода Сэндвика.
Тонкая горизонтальная линия на уровне 2/ показывает значение (0),диктуемое следствием из теоремы Латтинжера.124пор содержит открытые вопросы, связанные с наличием пиковой структурыхаббардовских подзон (узкие пики, расположенных на границе формирующейся запрещенной зоны).
Пики присутствуют только в металлической фазедля достаточно больших величин и полностью исчезают при переходе вфазу моттовского изолятора. На существование данной структуры впервые,по-видимому, было указано в работе [6], а надежно ее присутствие при = 0было установлено с использованием D-DMRG [7]. Вопрос о физической природе указанных пиков до сих пор открыт.0.70.6QMCD-DMRG0.5A(ε)0.40.30.20.10−4−3−2−101234εРис.
2. Плотности состояний однозонной модели Хаббарда с половинным заполнениемна бесконечномерной решетке Бете при = 2.4, = 0.5. Сплошная линия — результатDMFT + CTQMC + оптимальной регуляризации (температура = 0.01). Пунктир —результат D-DMRG для нулевой температуры, полученный в работе [7]. Тонкая горизонтальная линия на уровне 2/ показывает значение (0), диктуемое следствием из теоремыЛаттинжера.Описание тонкой структуры хаббардовских подзон при конечной температуре с использованием QMС наталкивается на сложности, связанные сплохой обусловленностью процедуры аналитического продолжения.В работе показано, что описание деталей электронного спектра можно существенно улучшить, заменив широко используемый метод MaxEnt напроцедуру оптимальной стохастической регуляризации.
Использование предложенного метода позволило восстановить пики в структуре хаббардовских13подзон, стартуя с QMC-данных с относительной погрешностью на уровне10−2 . . . 10−3 .0.80.70.6A(ε)0.50.40.30.20.10−4−3−2−101234εРис. 3. Плотности состояний однозонной модели Хаббарда с половинным заполнением набесконечномерной решетке Бете при = 2.4, = 0.5. Тонкий пунктир — то же, что исплошная линия на рис. 2, жирный пунктир — плотность состояний () после удаления˜центрального пика, сплошная линия — плотность состояний ().Возможность воспроизвести пиковую структуру хаббардовских подзон,исходя из результатов QMC расчетов, позволила простым образом исследовать вопрос о связи центрального “кондовского” пика и пиков в хаббардовскихподзонах.
Для = 4.8, был проведен дополнительный QMC расчет для искусственно сгенерированной гибридизационной функции, соответствовавшейспектральной функции без центрального пика. Технически, после достижения самосогласования, была построена спектральная функция, приведеннаяна рис. 2 и рис. 3 (тонкий пунктир). Центральный пик на последней был замещен сглаженным участком (рис.
3, жирная пунктирная линия). Из этоймодифицированной спектральной функции по формулам (1) и (13) была вычислена новая гибридизационная функция Δ̃. Для примесной задачи (12) с Δ̃˜ а из нее восстановленапри помощи QMC была рассчитана функция Грина ,˜ показанная на рис. 3 сплошноймодифицированная плотность состояний ,14линией.Центральный пик практически отсутствует не только в спектральной˜ Тафункции, соответствующей гибридизации Δ̃, но и в итоговом спектре .ким образом связанные с переворотом спина эффекты (Кондо-процессы), ответственные за формирование центрального квазичастичного пика, из системы полностью удалены. Тем не менее, пиковая структура подзон сохраняется,но частоты пиков несколько уменьшены, и из-за этого сами пики оказываютсяболее выражены.
Из этого можно сделать вывод, что вопреки высказаннымранее предположениям, пиковая структура подзон не связана напрямую сквазичастичным пиком на уровне Ферми. Полученный результат свидетельствует в пользу того, что за формирование пиковой структуры хаббардовскихподзон ответственны зарядовые, а не спиновые возбуждения.Результаты второй главы опубликованы в работе [A1].В третьей главе разработана аналитическая схема, позволяющую впервом порядке теории возмущений воспроизвести физику однозонной примесной модели Андерсона, включая появление логарифмической особенностина уровне Ферми и сдвиг изолированных атомных резонансов за счет гибридизации локализованных электронов примеси с электронами зоны проводимости.
Схема основана на преобразовании к дуальным фермионам [8].Построенное разложение вблизи атомного предела для атома с вырожденным основным состоянием требует ввести процедуры нарушения симметрии и перенормировки; эти процедуры являются необходимой и неотъемлемой частью теории.В главе рассматривается полузаполненная однозонная примесная модельАндерсона при нулевой температуре, задаваемая действием:∑︁ ZZ+∞ = − ′ ¯ Δ( − ′ )′(14) −∞+∞Z =−∞(︃∑︁¯ − ˜ ↑ ˜ ↓)︃(15)Здесь введено обозначение ˜ ≡ 21 (¯−0 + ¯+0 ). Действие обладаетэлектрон-дырочной симметрией и соответствует гамильтониану взаимодействия (↑ − 1/2)(↓ − 1/2).15Полный оператор эволюции (−∞, ∞) сохраняет ориентацию спина.
Поэтому его можно разделить на две части, ответственные за эволюцию, стартующую и заканчивающуюся с определенной проекцией спина: = ↑↑ + ↓↓(16)Формально оператор может быть определен в форме интеграла попутям|⟩Z = [¯],(17)|⟩R|⟩где выражение |⟩ [¯] означает интегрирование по траекториям, стартующим и заканчивающимся с проекцией спина .Преобразование к дуальным фермионам [8] требует разделения действияна две части.
Первая часть должна быть точно решаемой, а вторая — квадратичной по переменным поля. Наиболее простое такое разделение — на ичасть с гибридизацией — позволяет хорошо описывать низкоэнергетическуюфизику модели Андерсона. Однако, корректное описание во всем частотномдиапазоне требует более изощренного подхода, включающего особую процедуру перенормировки.Расцепление слагаемого с гибридизацией приводит к дуальному действиюследующего вида: [¯, ] =+∞∑︁ Z(︀)︀−2−1 Δ−1 ()() − () ¯ + [¯, ],(18) −∞где () — атомная функция Грина, 12 = −⟨1 ¯2 ⟩, а коэффициенты рядаТейлора для нелинейной части [¯, ] являются неприводимыми вершинами атомной задачи.
Нулевой порядок дуальной теории возмущений совпадаетс приближением Хаббард-I (приближением среднего поля), а неприводимыевершины играют роль параметров разложения Как правило, используетсятолько вершина четвертого порядка (4) . В рассматриваемой модели она имеет очень простой вид(4)↑↓↑↓ (1 , 2 ; 3 , 4 )2=+,3 − 2 − 016(4)(1 , 2 ; 3 , 4 ) = 0(19)Существует строгое тождество, связывающее дуальную собственную энергию и функцию Грина реальных электронов, из которого следует, что обаописания система полностью эквиваленты с физической точки зрения.В работе рассматривается наиболее простое приближение за рамкамисреднеполевого, т.е. первая диаграммная поправка к дуальной собственнойэнергии:+∞Z−(4)dual′′Σ () =¯¯ (, ′ ; , ′ )¯dual(20)¯ ( )2−∞−1Простая оценка показывает, что ℜΣdualln(−Ω/)Δ(−0) (Ω — по ≈ 2луширины зоны проводимости), т.е. дуальная собственная энергия содержитКондо-подобный логарифм. Такое логарифмическое поведение отражается ина спектральной функции.
Кроме того, дуальная теория обладает важнымсвойством — результирующие плотности состояний, полученные в ее рамках,удовлетворяют правилу сумм Фриделя (0) = −1/Δ(0).Чтобы протестировать предложенную теорию возмущений, были проделаны аналитические вычисления для гибридизационной функции, соответствующей полукруглой затравочной зоне проводимости:(︂ )︂2 (︁)︁√︀1 222Δ() = − sgn() − (21)2 Здесь — полуширина зоны, которая во всех результатах ниже для простоты выбрана равной единице. Константа хоппинга имеет смысл вероятностиперескока электрона между атомом примеси и его ближайшим соседом. Разумеется, вычисление первой диаграммы возможно и при произвольном видеΔ(), но требует численного интегрирования, что менее наглядно.Финальное выражение для Σdual () имеет видΣ↑↑ ()[︂ 4 2 (− ) − (+ )=−++2 1 − 4 22− − +(︂)︂]︂( − 0) − (− ) ( − 0) − (+ )−(22)+ − − − − − +dualΣdual↓↓ () = −Σ↑↑ (−)(23)Было установлено, что простейшая теория возмущений первого порядкав том виде, в котором она изложена выше, испытывает серьезные трудности173∈poleλ0.20.10.022345Uизолированный атомприближение Хаббард-Iперенормированное приближение Хаббард-Iперенормированная дуальная теория возмущений12345UРис.
4. Положение атомного резонанса однозонной симметричной модели Андерсона с = /2 в различных приближениях в зависимости от величины . Для сравнения показан резонанс изолированного атома (т.е., pole = /2). Перенормированное приближениеХаббард-I (с нарушенной симметрией) дает в два раза больший сдвиг резонанса, чем неперенормированное. Для перенормированной теории возмущений Σ() обращается в нольвблизи резонанса по построению, поэтому резонанс практически не сдвигается при учетедуальной поправки.
На врезке представлена зависимость параметра перенормировки от.на более высоких частотах. Недостатки представленного формализма связаны с полюсами атомной функции Грина (). Во-первых, функция Гринаэлектронов () принимает фиксированное значение −1/Δ() в точке, где () имеет полюс. Исключение составляет тот случай, когда Σdual () зануляется в точке полюса, но, вероятно, этому условию не удовлетворяет никакой конечный порядок дуальной теории возмущений. Пиннинг значения () нефизичен, поскольку полюса атомной задачи не являются выделенными энергетическими точками для системы с полным действием (14); нетправил сумм, которые предписывали бы такой пиннинг. Дальнейший анализпоказывает, что теория возмущений дает сбой не только в точке полюса, но18UUUU0.6= 0= 2.5= 3= 40.40.20.0-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
