Особенности электронного спектра магнитных примесей при низкой температуре (1104159), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

VII конференция “Сильно коррелированные электронные системы и кван­товые критические явления”, г. Троицк, 18.06.2009: И.С. Кривенко, А.Н.Рубцов, А.И. Лихтенштейн, “Kondo peak in the first order of perturbationtheory”.2. 1st International Workshop “New generation in strongly correlated electronsystems-2010”, Лансароте, Испания, 20-25.06.2010: I. Krivenko, A. Rubtsov,M.

Katsnelson, A. Lichtenstein, “Analytical approximation for single-impurityAnderson model”.63. Международная конференция “Realistic theories of correlated electronsin condensed matter”, р. Волга, 01-08.08.2010: I. Krivenko, A. Rubtsov,M. Katsnelson, A. Lichtenstein, “A new analytical solver for multiorbitalimpurity problems”.4. Международный симпозиум “Strong correlation from first principles”, Мо­настырь Зееон, Германия, 30.08.2011 - 02.09.2011: I. Krivenko, A. Rubtsov,“Analytic continuation of QMC data: optimal stochastic regularizationapproach”.Публикации.

Материалы диссертации опубликованы в 6 печатных ра­ботах, из них 2 статьи в рецензируемых журналах [A1, A2] и тезисы 4 докла­дов.Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положе­ния, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубли­кованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов прово­дилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяю­щим.

Все представленные в диссертации результаты получены лично авто­ром.Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,3 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 138 страниц,из них 125 страниц текста, включая 18 рисунков. Библиография включает122 наименования на 13 страницах (в том числе публикации автора по темедиссертации).Содержание работыВо введении обоснована актуальность диссертационной работы, сфор­мулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показанапрактическая значимость полученных результатов, представлены выносимыена защиту научные положения.В первой главе, являющейся обзорной, рассмотрены основные теоре­тические модели и методы, используемые для изучения физики магнитныхпримесей.

Изложен аппарат функций Грина и фермионных континуальныхинтегралов; дан вывод примесной модели Андерсона, приведен ее качествен­ный анализ и кратко описаны основные количественные методы решения.Кроме того, в главе дано введение в динамическую теорию среднего поля,7используемую для решения модели Хаббарда, и методы численного аналити­ческого продолжения с мацубаровских частот на ось реальных частот.Во второй главе предложен новый алгоритм аналитического продол­жения зашумленных данных квантовых методов Монте-Карло (QMC) с ма­цубаровских частот на ось вещественных частот (метод оптимальной стоха­стической регуляризации).Задача аналитического продолжения сводится к решению линейного ин­тегрального уравнения+∞Z() = (),(1) − −∞для спектральной плотности (), где — аргумент на оси реальных частот.Если ввести пару ортогональных базисов ℱ , ℱ и разложить по ним функции(), (), интегральное уравнение переходит в линейную систему видаA = G(2)с некоторой известной матрицей .

Формально эта система включает беско­нечное число уравнений, однако, можно ожидать, что при правильном выборебазисов возможно эффективно свести ее к конечной системе.Плохая обусловленность означает, что малые вариации G приводят к(экспоненциально) большим изменениям решения.

Отправная точка предло­женного метода — регуляризация некорректной задачи по Тихонову. Регуля­ризация состоит в поиске вектора A, минимизирующего функционал Тихо­нова:ℱ[A; ] = || A − G||2 + (A, A) = min.(3)Здесь — регуляризующая эрмитова матрица. Минимум (3) достигается приA = † G,где ≡ ( † + )−1 .(4)В случае ненулевой полученное таким образом решение задачи (3) содер­жит определенную систематическую ошибку. Однако, правильно выбраннаярегуляризующая матрица позволяет радикально уменьшить случайную ошиб­ку результата, избавившись от экспоненциальной неустойчивости по входнымданным. При этом полная ошибка оказывается существенно меньше, чем прирешении непосредственно (2).8Регуляризующий функционал вычисляется, исходя из требования опти­мальности (то есть, минимальности полной ошибки) на определенном клас­се решений и для заданного вида погрешности.

Сформулируем предлагае­мое условие оптимальности. Пусть вектор G известен приблизительно: G =Ḡ + G, где Ḡ — математическое ожидание вектора G, а отклонение G —случайная величина, распределенная с нулевым средним и характеризуемая^ G = GG† (здесь и далее горизонтальная черта надматрицей ковариаций: выражением означает его мат. ожидание, к которому сходится QMC-счет).Пусть вектор Ā — точное решение системы (2) с точно известной правой ча­стью: Ā = Ḡ.

Среднеквадратичное отклонение A от Ā по всем возможнымзначениям случайного вектора G равно||A − Ā||2 = Tr{ − 2} + Tr{x̄x̄† }(5) ≡ † ĀĀ† † + † G (6) ≡ † ĀĀ†(7)Оптимальная матрица должна доставлять минимум ||x − x̄||2 . Само посебе такое условие неконструктивно, поскольку точное решение Ā в каждомконкретном случае неизвестно.

Поэтому ищется , оптимальная в среднемдля заданного множества (класса) возможных решений. Можно показать, чтосоответствующая матрица есть решение уравнения⟨⟩ + ⟨⟩ = ⟨⟩ + ⟨ † ⟩.(8)(угловыми скобками обозначено усреднение по классу возможных решений).Класс возможных решений, по которому проводится усреднение, следует вы­брать из физических соображений.

Использование такого рода априорнойинформации, дополнительной к исходной задаче (2), обязательно для любыхрегуляризационных схем.В качестве множества возможных решений было выбрано множество су­перпозиций нескольких лоренцевых пиков, имеющих одинаковую ширину :() =∑︁=1 − Ω + (9)Положения пиков Ω и их вычеты являются случайными величинами с из­вестными статистическими распределениями. Предполагается, что все выче­ты распределены одинаково и независимо друг от друга, а, следовательно,9нужно всего два модельных параметра ⟨ 2 ⟩ и ⟨⟩, чтобы полностью описатьучастие величин в корреляционной функции ⟨AĀ⟩.

Кроме того предпо­лагается, что положения полюсов Ω распределены независимо и согласнонекоторому модельному распределению. Одна из простейших возможностей— распределение Лоренца с нулевым математическим ожиданием: (Ω ) =11,Ω 1 + (Ω /Ω )2(10)Модельный спектр (9) используется только для вычисления первого ивторого моментов априорного распределения A (лоренцева форма самого ис­комого решения при этом, вообще говоря, не предполагается). В выбранномбазисе ℱ эти моменты представляют собой, соответственно, вектор-столбеци квадратную матрицу, компоненты которых вычисляются численным инте­грированием. Затем из уравнений (8) определяется матрица .

Используяполученную матрицу , уже нетрудно по формуле (4) восстановить спек­тральную плотность по имеющейся функции Грина.В отличие от широко используемого метода максимальной энтропии(MaxEnt) [5], предложенный подход линеен по отношению ко входным дан­ным, и поэтому может быть применен к недиагональным компонентам тем­пературной функции Грина или функции собственной энергии. Это свойствоиспользовано для анализа результатов расчета DMFT(QMC) в полузаполнен­ной однозонной модели Хаббарда на решетке Бете при низкой температуре.Гамильтониан однозонной модели Хаббарда с половинным заполнениемимеет вид:]︂ [︂]︂∑︁ [︂11 ∑︁ †^=↑ −↓ −−√ ′ .(11)22′⟨ ⟩,Первое слагаемое здесь описывает кулоновское отталкивание электронов спротивоположными спинами на узле, а второе – перескоки электронов междусоседними атомами; – число соседей атома на решетке.В рамках DMFT задача об электронных свойствах решеточной моделивида (11) сводится к одноузельной примесной задаче Андерсона с действием∑︁ = +Δ()† ,(12),где – действие одиночного изолированного атома с кулоновским отталки­ванием , а гибридизация Δ должна быть определена самосогласованным10образом.

В пределе бесконечно большого числа соседей ( → ∞) на решеткеБете корреляции локальны в пространстве, и переход от решеточной задачи(11) к примесной (12) является точным. Условие самосогласования приобре­тает видΔ() = 2 (),(13)где () — функция Грина примесной задачи (12). Поиск решения произ­водится итеративным образом: на каждой итерации вычисляется функцияГрина действия (12) с гибридизацией, полученной на предыдущем шаге. Та­кая схема обеспечивает хорошую сходимость во всей области параметров. Эф­фективность и точность расчета определяется методом решения примеснойзадачи.Для решения уравнений DMFT был использован программный комплексTRIQS (Toolkit for Research in Interacting Quantum Systems).

Характеристики

Список файлов диссертации