Некоторые непертурбативные аспекты теории Янга-Миллса (1104040), страница 4
Текст из файла (страница 4)
3. Â÷àñòíîñòè, øèðèíà ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ñòðóíû, âû÷èñëåííàÿ ïðè ïîìîùèðàññìàòðèâàåìûõ âåëè÷èí, îäèíàêîâà è ðàâíàTgλstring = .2(34)Ïðåäñòàâëåííîå íà ðèñ. 3 ðàñïðåäåëåíèå êà÷åñòâåííî íàïîìèíàåò ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå â õîäå ÷èñëåííûõ âû÷èñëåíèé ïëîòíîñòè ãëþîííîãîêîíäåíñàòà (A. M. Green, C. Michael and P. S. Spencer// Phys. Rev. D 1997. 55. c. 1216) è òîïîëîãè÷åñêîãî çàðÿäà (M. N.
Chernodub andF. V. Gubarev// Phys. Rev. D 2007. 76. c. 016003) â îêðåñòíîñòèñòðóíû. Êîëè÷åñòâåííîå ñðàâíåíèå â äàííîì ñëó÷àå íåóìåñòíî, òàê êàêðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ âû÷èñëåíèé ó÷èòûâàþò ïîïåðå÷íûå êâàíòîâûå15ôëóêòóàöèè ñòðóíû, íå ïðèíèìàåìûå âî âíèìàíèå â äàííîé ãëàâå.Ïÿòàÿ ãëàâà íà÷èíàåòñÿ ñ îáñóæäåíèÿ óêàçàíèé íà òåñíóþ ñâÿçü íà-ðóøåíèÿ êèðàëüíîé ñèììåòðèè è êîíôàéíìåíòà öâåòà. Òàê êàê îïèñàíèåóêàçàííûõ ýôôåêòîâ èç ïåðâûõ ïðèíöèïîâ òåîðèè ÊÕÄ ïðåäñòàâëÿåò ïîêà åùå íå ðåøåííóþ çàäà÷ó, ïðåäëàãàåòñÿ, äëÿ íà÷àëà, ïîïûòàòüñÿ îáúåäèíèòü óïîìÿíóòûå ÿâëåíèÿ â ðàìêàõ ýôôåêòèâíîé ìîäåëè.
 êà÷åñòâåïîäõîäÿùåé ðàññìàòðèâàåòñÿ ìîäåëü äóàëüíîãî ñâåðõïðîâîäíèêà, õîðîøîîïèñûâàþùàÿ êîíôàéíìåíò êâàðêîâ. Îäíèì èç âàæíåéøèõ ñâîéñòâ äóàëüíîãî ñâåðõïðîâîäíèêà ÿâëÿåòñÿ ôàêòîðèçàöèÿ ãëþîííûõ ñòåïåíåé ñâîáîäûíà ïåðòóðáàòèâíûå (ôîòîííûå) è íåïåðòóðáàòèâíûå (ìîíîïîëüíûå), èäîìèíàíòíîñòü ìîíîïîëüíîãî âêëàäà â ðàçëè÷íûõ íåïåðòóðáàòèâíûõ íàáëþäàåìûõ è, â ÷àñòíîñòè, â ôîðìèðîâàíèè ÊÕÄ ñòðóíû. Òàêæå ñóùåñòâóþò ÷èñëåííûå óêàçàíèÿ íà äîìèíàíòíîñòü âêëàäà ìîíîïîëåé â êèðàëüíûéêîíäåíñàò â ðàçëè÷íûõ òåîðèÿõ (íàïðèìåð, R. J.
Wensley// Nucl. Phys.Proc. Suppl. 1997. 53. c. 538). Êðàòêîå ââåäåíèå çàêàí÷èâàåòñÿ ñ àíîíñèðîâàíèÿ ðåçóëüòàòà ãëàâû: â ðàìêàõ ìîäåëè äóàëüíîãî ñâåðõïðîâîäíèêàáóäåò ïîêàçàíî, ÷òî íàëè÷èå ìîíîïîëüíîãî êîíäåíñàòà, îáóñëàâëèâàþùåãîêîíôàéíìåíò öâåòà, âåäåò ê îáðàçîâàíèþ êèðàëüíîãî êîíäåíñàòà.Ïîñòðîåíèå ýôôåêòèâíîé òåîðèè ÊÕÄ ñî ñêîíäåíñèðîâàííûìè àáåëåâûìè ìîíîïîëÿìè ñòàðòóåò ñ ðåàëüíîé ìîäåëè ÊÕÄ. Êëþ÷åâûìè ìîìåíòàìèôåíîìåíîëîãè÷åñêîãî îáîñíîâàíèÿ èñïîëüçóåìîé äàëåå èíôðàêðàñíîé ìîäåëè äóàëüíîãî ñâåðõïðîâîäíèêà äëÿ ÊÕÄ (35) ÿâëÿþòñÿ ïðèìåíåíèå ìåòîäà àáåëåâûõ ïðîåêöèé è ïîäõîäà, ïðåäëîæåííîãî Çâàíçèãåðîì (Phys.
Rev.D 1971. 3. c. 880). Èñïîëüçîâàíèå ìåòîäà àáåëåâûõ ïðîåêöèé ïîçâîëÿåò âûäåëèòü â îñòàòî÷íûõ êàëèáðîâî÷íûõ ïîëÿõ, íàðÿäó ñ ôîòîííûìè,ìîíîïîëüíûå êîìïîíåíòû, à òàêæå ïîìîãàåò îáúÿñíèòü êîíäåíñàöèþ ïîñëåäíèõ, ãàðàíòèðîâàâ òåì ñàìûì íåâûëåòàíèå öâåòà. Ìåòîä Çâàíçèãåðàïîçâîëÿåò, ïóòåì ââåäåíèÿ äîïîëíèòåëüíîãî ðåãóëÿðíîãî äóàëüíîãî êàëèáðîâî÷íîãî ïîëÿ, èçáàâèòüñÿ îò ñèíãóëÿðíîñòåé, âûçâàííûõ ïðèñóòñòâèåìàáåëåâûõ ìîíîëåé, ÷òî óäîáíî äëÿ âû÷èñëåíèé.1~ ν [n · ∗ (∂ ∧ B)]~ ν + 1 [n · (∂ ∧ B)]~ ν [n · ∗ (∂ ∧ A)]~ ν−LDGL = − [n · (∂ ∧ A)]221~ 2 − 1 [n · (∂ ∧ B)]~ 2 + ψ̄(i 6 ∂ − e(6A~ · H)~ − m)ψ +− [n · (∂ ∧ A)]223 h¯¯2iX¯¯22 2~+(35)¯(i∂µ − g(~²α · Bµ ))χα ¯ − λ(|χα | − v ) ,α=1ãäå òðè ìîíîïîëüíûõ ïîëÿ, χα ñ α = 1, 2, 3, âçàèìîäåéñòâóþò ñ äâóìÿ~ = (Bµ3 , Bµ8 ), ïîñðåäñòâîì äëèííîé ïðîèçâîäíîé, âäóàëüíûìè ïîëÿìè, B³êîòîðîé ~²1 = (1, 0),~²2 =√ ´1− 2 , − 23 ,~²316³√ ´1= − 2 , 23 êîðíåâûå âåêòîðà~ âçàèìîäåéñòâóåò ñ îñòàâãðóïïû SU (3).
Äóàëüíîå êàëèáðîâî÷íîå ïîëå Bøèìñÿ ïîñëå ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà àáåëåâûõ ïðîåêöèé êàëèáðîâî÷íûì ïî~ = (A3µ , A8µ ), ÷òî îïèñûâàåòñÿ ïîñðåäñòâîì îáîáùåííîãî ëàãðàíæèàëåì A~ âçàèìîäåéñòâóåò ñ ïîëåì ôåðìèîíîâ ψ . Ôèçè÷åñêèåíà Çâàíçèãåðà. Ïîëÿ Aíàáëþäàåìûå (òî åñòü êâàíòîâûå ñðåäíèå îò êàëèáðîâî÷íî-èíâàðèàíòíûõîïåðàòîðîâ) íå çàâèñÿò îò íàïðàâëåíèÿ ïðîèçâîëüíîãî 4-âåêòîðà nµ , åñëèçàðÿä ìîíîïîëÿ ïîä÷èíÿåòñÿ ïðàâèëó êâàíòîâàíèÿ Äèðàêà,eg = 2π .(36)Çäåñü e, g ýëåêòðè÷åñêèé è ìàãíèòíûå çàðÿäû, λ, v ïàðàìåòðû ìîäåëè,òàêæå èñïîëüçóþòñÿ ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:[a · (b ∧ c)]ν ≡ aµ (bµ cν − bν cµ ) , [a · ∗ (b ∧ c)]ν ≡ aµ ²µναβ bα cβ ,(a · b) ≡ aµ bµ , (~a · ~b) ≡ ai bi , n2 ≡ nµ nµ , ~a2 ≡ ai ai .Òåïåðü çàäà÷à ãëàâû ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàíà ìàòåìàòè÷åñêè ñòðîãî:ìîíîïîëüíûé êîíäåíñàò, |hχα i| = v , ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ ôåðìèîííîãî êîíäåíñàòà, hψ̄ ψi.
Äëÿ ïðîñòîòû èçëîæåíèÿ èñïîëüçóåòñÿ ïðèáëèæåíèåñðåäíåãî ïîëÿ, òî åñòü îòáðàñûâàþòñÿ ôëóêòóàöèè δχα ìîíîïîëüíîãî ïîëÿ,χα = v + δχα , ïîëàãàåòñÿ χα = v .  ïðîèçâîäÿùåì ôóíêöèîíàëå ïðîèçâî~ , çàòåì ïî A~ êàëèáðîâî÷íîäèòñÿ èíòåãðèðîâàíèå ñíà÷àëà ïî äóàëüíîìó Bìó ïîëþ äëÿ ÷åãî ïðåäâàðèòåëüíî äîáàâëÿåòñÿ ξ ÷ëåí, ôèêñèðóþùèé ëîðåíöåâó êàëèáðîâêó. Ïîñëå ÷åãî îáñóæäàþòñÿ ñèììåòðèéíûå ñâîéñòâà ïîëó÷åííîãî ëàãðàíæèàíà: ôåðìèîííîå ïîëå ψ ÿâëÿåòñÿ òðèïëåòîì ïî öâåòó(ψ ≡ (ψ1 , ψ2 , ψ3 )), à ëàãðàíæèàí ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâîêêîìïîíåíò òðèïëåòà (ψi → ψj ). Àíàëîãè÷íîé ïåðåñòàíîâî÷íîé ñèììåòðèåéîáëàäàåò è íàðóøàþùèé êèðàëüíóþ ñèììåòðèþ ôåðìèîííûé êîíäåíñàòδij.(37)3Èñõîäÿ èç ñîîáðàæåíèé óïðîùåíèÿ ôîðìóë, äàëåå ðàññìàòðèâàåòñÿ òîëüêî îäíà êîìïîíåíòà ôåðìèîííîãî ïîëÿ.
Ñîîòâåòñòâèå ìåæäó óïðîùåííîéîäíîêîìïîíåíòíîé è èñõîäíîé òðèïëåòíîé ìîäåëÿìè äîñòèãàåòñÿ ïåðåîïðåäåëåíèåì ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà:hψ̄i ψj i = hψ̄ψi ·e2.(38)3Äàëåå e21−comp îáîçíà÷àåòñÿ êàê e2 , à ïîäðàçóìåâàåòñÿ ïåðåîïðåäåëåíèå (38).Ïîëó÷åííîå èíòåãðèðîâàíèåì êàëèáðîâî÷íûõ ïîëåé óïðîùåííîå îäíîêîìïîíåíòíîå äåéñòâèå â ïðåäåëå íóëåâîé ôåðìèîííîé ìàññû èìååò âèä:Zh44S[ψ̄, ψ] = d x d y ψ̄(γ · ∂)δ (4) (x − y)ψ(39)~2 ≡e21−comp = e2 Hie2+ (ψ̄γµ ψ)(x) Dµν (x − y; ξ) (ψ̄γν ψ)(y) ,217ãäåZDµν (x; ξ) =Xµνd4 k ³ 1(2π)4 k 2µ¶kµ kνδµν + (ξ − 1) 2(40)k´1 MB2n2+ 2 2Xµν exp{i(k · x)} ,k k + MB2 (n · k)21h 2 2= 2 (n k − (n · k)2 )δµν − k 2 nµ nν(41)ni+(n · k)(nµ kν + nν kµ ) − n2 kµ kν .Ðàññìîòðåíèå ìîäåëè ïðîèñõîäèò â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå.Èññëåäîâàíèå ôåðìèîííîãî êîíäåíñàòà â ìîäåëè (39) óäîáíî ïðîâîäèòüïðè ïîìîùè ïðîèçâîäÿùåãî ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðàëà:¡¢RDψ̄ Dψ exp −S[ψ̄, ψ] + d4 x(η̄ψ + ψ̄η)¡¢R,Z[η̄, η] =Dψ̄ Dψ exp −S[ψ̄, ψ]R(42)ãäå η è η̄ âíåøíèå ôåðìèîííûå ïîëÿ.
Ôåðìèîííûé êîíäåíñàò îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèîíàëüíîé ïðîèçâîäíîé:´¯δδ¯hψ̄(x)ψ(x)i =logZ[η̄, η] ¯.η̄=η=0δη(x) δ η̄(x)³(43)Äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ôåðìèîííûì ïîëÿì â óðàâíåíèè (42) èñïîëüçóåòñÿìåòîä, ïðåäëîæåííûé Ê. Ðîáåðòñîì è Ð. Êàõèëëîì (Phys. Rev. D 1986. 33. c. 1755), îñíîâàííûé íà ìåòîäå ïåðåâàëà è ââåäåíèè âñïîìîãàòåëüíûõáèëîêàëüíûõ ýðìèòîâûõ ïåðåìåííûõ (β ).noDψ̄ Dψ G(x, y; [β]) exp −S[ψ̄, ψ]nohψ̄(x)ψ(y)i =,RDψ̄ Dψ exp −S[ψ̄, ψ]R(44)ãäå íåëîêàëüíîå âûðàæåíèå G(x, y; [β]) ñîîòâåòñòâóåò ôóíêöèè Ãðèíà:(G−1 )(x, y; [β]) = (γ · ∂)δ (4) (x − y) + Σ(x, y; [β]) .(45)Ïîëîæåíèå ñòàöèîíàðíîé òî÷êè ïî ïåðåìåííûì β äàåòñÿ âàðèàöèîííûìèóðàâíåíèÿìè ÝéëåðàËàãðàíæà, êîòîðûå â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå ïðèíèìàþò ñëåäóþùèé âèä:ZΣ(p, [β]) = e2d4 q1D(p−q)γγν .µνµ(2π)4i(γ · q) + Σ(q, [β])(46)Ðåøåíèå Σ(p, [β]) óðàâíåíèÿ (46) èùåì â âèäå:Σ(p, [β]) = i[A(p) − 1](γ · p) + iC(p)(γ · n) + exp(iγ5 θ)B(p) .18(47)Ïàðàìåòðèçàöèÿ ðåøåíèÿ (47) èìååò ñëåäóþùèé ïðîñòîé ñìûñë: ïåðâûåäâà ÷ëåíà â ïðàâîé ÷àñòè ñîîòâåòñòâóþò êèðàëüíî íåíàðóøåííîìó âàêóóìó, â òî âðåìÿ êàê ïîñëåäíèé ÷ëåí àññîöèèðîâàí ñ íàðóøåíèåì êèðàëüíîéñèììåòðèè.
Äåéñòâèòåëüíî, êàê ïîêàçàíî íèæå, âåëè÷èíà äåéñòâèÿ íå çàâèñèò îò óãëà θ, è ñóùåñòâóåò íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå (47) ñ B 6= 0, ïðè÷åìB íå çàâèñèò îò óãëà θ,∂B≡ 0.(48)∂θÒàêèì îáðàçîì, ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî âûðîæäåííûõ êîíôèãóðàöèé ñ îäèíàêîâûì äåéñòâèåì, ñâÿçàííûõ äðóã ñ äðóãîì ãëîáàëüíûìèàáåëåâûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè:B → B 0 = exp(iγ 5 ϕ)B.(49)Òî åñòü ýôôåêòèâíûé ôóíêöèîíàë äåéñòâèÿ òåîðèè èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî ýòèõ ïðåîáðàçîâàíèé, â òî âðåìÿ êàê êîíêðåòíûé âèä ðåøåíèÿ òàêîâûì íå ÿâëÿåòñÿ, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ñïîíòàííîìó íàðóøåíèþ êèðàëüíîéñèììåòðèè.Ãëàâà çàâåðøàåòñÿ âû÷èñëåíèåì ðàçíèöû äåéñòâèé ∆S âàêóóìíûõ ðåøåíèé ñ êèðàëüíî íåâûðîæäåííûì (B = 0) è êèðàëüíî âûðîæäåííûì(B 6= 0) âàêóóìàìè.
Óñòàíàâëèâàåòñÿ, ÷òî â ëèäèðóþùåì ïîðÿäêå ïîMB2 = v 2 g 2 :∆S > 0(50)èç-çà íàëè÷èÿ ìîíîïîëüíîãî êîíäåíñàòà v 6= 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðèñóòñòâèå ìîíîïîëüíîãî êîíäåíñàòà äåëàåò âàêóóì, âûðîæäåííûé ïî êèðàëüíîìó óãëó θ, áîëåå ïðåäïî÷òèòåëüíûì ïî ñðàâíåíèþ ñ íåâûðîæäåííûì, ÷òîîçíà÷àåò íàðóøåíèå êèðàëüíîé èíâàðèàíòíîñòè.Áîëåå òîãî, â ñëó÷àå îòñóòñòâèÿ ìîíîïîëüíîãî êîíäåíñàòà (v = 0):∆S = 0,(51)òî åñòü íàðóøåíèå êèðàëüíîé ñèììåòðèè îòñóòñòâóåò, ÷òî ñîãëàñóåòñÿ ñ èçâåñòíûì ðåçóëüòîì êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè (ÊÝÄ).Çàêëþ÷åíèå, â êîòîðîì êðàòêî ïåðå÷èñëÿþòñÿ íàèáîëåå çíà÷èìûå ðåçóëüòàòû êàæäîé èç ïðåäøåñòâóþùèõ ãëàâ, çàâåðøàåò òåêñò äèññåðòàöèè.Ïðèëîæåíèÿ.  ïðèëîæåíèÿ áûëè âûíåñåíû íàèáîëåå òðóäîåìêèå âû÷èñëåíèÿ è ãðîìîçäêèå ôîðìóëû.3 Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû ðàáîòû1.
Èçó÷åíî ïîâåäåíèå åæåîáðàçíûõ ïåòåëü Âèëüñîíà. Ïîêàçàíî, ÷òî òåðìàëüíàÿ ïëîòíîñòü ÿâëÿåòñÿ ïàðàìåòðîì ïîðÿäêà ôàçîâîãî ïåðåõîäàêîíôàéíìåíò-äåêîíôàéíìåíò.192.  ðàìêàõ ìåòîäà âàêóóìíûõ êîððåëÿòîðîâ ðàññìîòðåíû òîïîëîãè÷åñêèå ñâîéñòâà âàêóóìà ãëþîäèíàìèêè: ïîëó÷åíû àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ äëÿ òàêèõ õàðàêòåðèñòèê, êàê òîïîëîãè÷åñêàÿ âîñïðèèì÷èâîñòüè êîððåëÿòîð êâàäðàòà ïëîòíîñòè òîïîëîãè÷åñêîãî çàðÿäà.3.  ðàìêàõ ìåòîäà âàêóóìíûõ êîððåëÿòîðîâ ââåäåíû îïðåäåëåíèÿ âåëè÷èí (ïðîáíèêîâ), èçìåðÿþùèõ ïëîòíîñòü òîïîëîãè÷åñêîãî çàðÿäàè ãëþîííîãî êîíäåíñàòà. Ñ èõ ïîìîùüþ èññëåäîâàíû ðàñïðåäåëåíèÿóêàçàííûõ ëîêàëüíûõ êîíäåíñàòîâ â îêðåñòíîñòè óäåðæèâàþùåé ÊÕÄñòðóíû.4.
Èñïîëüçîâàíèå ìîíîïîëüíûõ ñòåïåíåé ñâîáîäû â ðàìêàõ ìîäåëè äóàëüíîãî ñâåðõïðîâîäíèêà ïîçâîëèëî îäíîâðåìåííî îïèñàòü ÿâëåíèÿêîíôàéíìåíòà è íàðóøåíèÿ êèðàëüíîé ñèììåòðèè, ÷òî ïîìîãëî ëó÷øåïîíÿòü âçàèìîñâÿçü ýòèõ íåïåðòóðáàòèâíûõ ýôôåêòîâ.Ñïèñîê ëèòåðàòóðû[1] V. A. Belavin, M. N.
Chernodub and I. E. Kozlov, Hedgehogs in Wilsonloops and phase transition in SU(2) YangMills theory. // Nucl. Phys. B 2006. 748. c. 524.[2] M. N. Chernodub and I. E. Kozlov, Topological susceptibility in YangMills theory in the vacuum correlator method. // JETP Lett. 2007. 86. c. 1.[3] M. N. Chernodub and I. E. Kozlov, Topological density uctuations andgluon condensate around conning string in YangMills theory. // Phys.Lett. B 2008. 661. c.
220.[4] M. N. Chernodub and I. E. Kozlov, Chiral symmetry breaking andmonopole condensation in QCD. // JETP Lett. 2005. 81. c. 245.20.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
