Некоторые вопросы теории сплайнов и приложения (1104038)
Текст из файла
Московский ГЬсударственный Университет имени М. В. Ломоносова Факультет вычислительной математики и кибернетики На нравах рукописи НИКОЛАЙ ВЛАДИМИРОВИЧ МЕДВЕДЕВ НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ СПЛАЙНОВ И ПРИЛОЖЕНИЯ ( 0).008-вычислительная математика ] А В Т О Р Е Ф Е Р А Т диссертации на соискание ученой степени кандидата.
физико - математических наук (автореферат написан нз русском языке) Москве Ю73 Работа вмповиеиа иа кафедре вмчисввтеиькой математика Московского государствевиого увиверситета имеви М.В.Ломоносова Научиме руководители: - каидвдат фивико-математических паук, доцеит А Д.ГОРВУНОВ - кандидат физико-математических паук, Дсцевт В.А .МО1ОНОВ Офвциальвые оппоиевтн:- доктор фяэию-математических ваук В.Я.АРСЕНИН - каадвдат физико-иатематических наук Ведуиая оргааиеацяя: Ивстятут математика в механики АН СССР г.Сверчковом. Автореферат равослвв " 1973 г Запита диссертация состоятса " 1973 г. ва заоедааии Учекого Совета фекувьтета вмчисвитевьясй математики и кяберветикя МРУ.
Отвывм по давиой работе ( в двух акееяпкярех) просим напрев вать по адресу: Мосвва, 117234, Леыявскве горы, МГУ, Учеимй Сове~ факувьтета вичислительной иатеиатвкя и кяберветякк. С диссертацией мовво озыакоиятьса в читальном ваке факуль'- тета. УЧЕНИИ СЕЕУИТАРЬ СОВЕТА факультета вмчисвитевьвой иатематики в киберветвкв д.ф.м.в. (Н.Н ЕУВНННОВ) старым вопросам теорыи кусочно-полириловюниям. блнжения, илв, как их теперь назычах являются более естественным апочлены и имеют ряд преимуществ перед лижениями, в частности, при решении числительных машинах. К иим относят- ся практически важные задачи интерполирования и сглаживания Функ- цый, численного дибзреренцировайия и численного интегрирования, а такке численного решения динйеренциальных и интегральных уравненяй.
Широкое распрост1внение сплаййы получилы и как промежуточный аппарат в различных математических исследованиях. диссертация состоит из трех глав. В первой главе рассматриваются кубические стохастнческие сплайны. ' Исследованы стохастические изтерполяционные сплайны третьего порядка и ыекоторые их свойства, а именно: пусть на некоторрм вероятностном пространстве У=(й,б,Р~ [1) задана система случайных величин ь(и (а)), 1с =О ,..., К , удовлетворяющах условиям Ци„(М)-Я[ц (оу)~~=бкнб~ где Е Я вЂ” знак математического ожидания, а б> Π— числовой па|вметр.
Шреруется построить случайаую Функцию М(оз>Х), непрерывную (в смысле среднего квадратического) воете со своими производныыи первого и второго порядков ы удовлетворявшую соотношеняям МЯХа)=МЯЛ),ж о,...,Х. Случайная Функция Я(ЩХ), удовлетворяющая перечисленным выше условиям, в работе названа стохастическим ивтерполяционинм сплайном третьего порядка. Если систему случайных величин Ыя(со),Ы~„.,Фрассматривать венстза для дисперсий интерзоляцяонных сплайнов (теорею 1.3). для любой дзаиды непрерывно диФФеренцируемой гильбертовой случайной Функции И(сю,х)юИ, удовлетворяющей условиям ол( )4Щзь ц~е Й - знак дисперсии, а Функции уц)( ( ю 0,1,д) неотрвцательвы и такие, что Ьц фФу)=О, имеют место предельные соотвомевв~ 6~0 (теорема 1.4) С0л вах Е [и(в,д)-и(л,а,д3 = Ьм аад Е ~4ф"-~-~ф-"Я= лн о озхи й,н О Озне~ Полученные предельные соотнонензн для случайных Функций паазм- вьют, что известные свойства сходимости для детермннирювавимх нвтерполяцнонных сплайноз (и] сохраняются н для стохастическнх нвтерполяционных сплайноз.
пусть и и(ыз,д) - дзвиды непрерывно диФФеренпнруемм случайваи Функция н Ил(сз) - ее значения з узлах сетки (Хф Если через3,~ч обозначить мвокестзо всех дзавды непрерывно днФФереицвруемых анз'- чайвых Функций, совпадающих с Иа(оу) за сетзв (Ха~, то имеет юето сзойствс минимальности для стохастическото иатерпоияциоввоюз сплайна (теорема 1.5): Исследованы обобщенные стохастические сплайны третьето порндив н нх применение к обработке экспершментальной инФормацвн. Следуя работе В.А.'морозова [3) задачу обобщенного стохастического интерполирования можно сФормулировать так: найти Функцию с((,Х)Е~» удовлетворяющую условиям: 1 ~р ~бам(оэ,х)ф ~Е~бэйбо,х)~й~ ~~Ц" гдеЦ~=~Ы(мХ)аЦйс: Е~И(~о Хя) чйо Хмфб ~, а ч(озХ)- Фиксированная непрерывная Функция, заданная на [0,1~ж9; Це - класс дважды непрерывно дыФФеренцнруемых случайных Функций.
доказано существо- ванне решений задачи обобщенного стохастического инте)полирования (теорема 1.7) ы установлеыа внутренняя структура этих решений (теорема 1.6). Устанавлываетсн возможность применения решенвй эа- дачи обобщенного стохастического интерполирования к обработке эксл пернментальной инФормацнн (теорем 1.9): доказано, что если У(Х)- -Фиксированная дважды непрерывно диФФеренцыруемая детерминированная Функция в Цы(оэ,Х) - ее б- прнблняенне, т.е., яехх Е ~~АОО"це(оз хфб, то решение А(~,а(сб>х) задачи обобценноочхц го стохастнческого ннте1аолвровання при 'т(га,Х)=Ыш(хя,Х) удовлетворяет предельным соотыоненням (2), если в этих соотвоненнях заменять ь((сюх) на ьг(к) и СГ(й,а,х)- на Йы,а(оэ,х) Во второй главе рассматриваются полнномнальные обобщенные сплайны и некоторые их прнлокення.
Изучается детермнннрованная задача обобщенного интерполирования: необходимо определить Функцию ((к(Х)еЦа, зависящую от па1аметра Т, которая удовлетворвт соотвоневню ь~ (щ 3[И1 ю 3 [мш), где Л [А4 ййлА3ьа, 1. - оператор обобщенного днФФереыцнровення порядкайв2, а ця~ - кхасс тц раз непрермвыо дифферепцируемых функций, заданных ва отрезке (0,1) в удозлштворншщнх условия«ш~ Ы(Ха)-цаава)146, «Ке «уб(Хя) - значеввя некоторой фиксированной непрерывной функции Мй(«) з узлах Хш ( 2=0,...,2«) равномер«ой сетки 1Хк~, определенной ыа отрезав (0,1) . (предволагается, что лаЖ+! ). Функция ю~(х),удовлетзоряшщая перечисленным выше условиям, иазюю обобщенным полиномнальным сплайном.
при Я«ю2 зта задача 1шоомотрена в работе[4 Показано, что решение задачи обобщенного интерполирования существ пуст (теорема П.1) н является фувкпвей из класса зв И~В(Х) 3(Х) ЕСззье~ ф [Х.,п;«=О 'прв )=н«,в«+«,...,2«з-й н — рп-БО, где Хщ(Хн,Ха,ДЬ4~ Фф «Р й(Х) «(Х (лемма П.2). Провфдено всследованне векото1мх аппрокси«я«званых сюйотв решений детерминированной задачи обобиевкого ивтерполироювия, а ванно: если М(Х) - фмксвроваввая я«раз непрермвю днффереицнруеюя функция, удовхетворает.условю ~ й(Х)-«уу(Х)) ай и фуккцпя ««й(Х)щС,(0,13 удовлетворяет условию согласования (ру (ин««зЩ~'мО, то имеет меото предельные соетюпеиияй,ф 6 Йз«й«(ь,б-Йфь =О (теорема П.2) и « («з«ф~4М-Щ.« О (теорема П.З), «Ке Я«,,б ЙЬ б(Х) -решение 'в,б о задачи обобщенного интерполировании.
А Из последних соотношений следует, что семейстю репеиий Мз,й задачи обобщенюго интерполирования, прв сформулпроюипшх мие условинх, равномерно приблииает П«1аз нвпрермвио дпффереищшрйшмуш функции Их)вместе с ее проинищ«инки де ( и«-«) пейндяа включительно (теорема П.Ч). детерминироьанная задача обобненного интерполнронания допускает обобыеные на случай, когда з - опе1втор обобценного днфферепцирования порядка Яь 2, действуюиий в гильберговом пространстве И случайных Функций ЫМХ), определенных на множестве (0,1 хЯ, где $У=(Я,бтра~ - некоторое нероятностное пространство, а (0,11 - отрезок действительной оси. Если через Ц обоев начать класс ( В-1 ) - раз непрерывно дифференцируемых случайных Функций м =и(ю,Х) таких, что 11л!1,~ <+оп и Я [ц(<д «„) ц фс Х„Яз-базкаб, где б - числовой паЩметР н хь(со.хк), ((ш(со,жк) - значения Функций х((со,х) . мш(сд,х) в Узлах сетки ~Хк~ (Д=О,...,И), то стохастическаа задача обобиенкого интерполирования Формулируется так: найти функцию -ь( (сох)ч=Ц, удозхетнорншщую услОВиям: (ц~ ~~~хф~~цД, й.
(Цт(оо,Ха)-ци(хб>ХаЯ 46, где и а Ц~ ~ ~ь() а ~ Я Щ~й~, о Показано, что решение стохастической задачи обобиенного ингерполироиавия суиествуют (теореыа П.б) и установлена внутренняя структура стих решений, а именно: 1) есла ы(<о,м) и М(хб,Х) — решения стохастической задачи обобиенного интерполнрозания, то случайная Функциям(сох)-м(азх) с нероятностью, равной единице, есть случайный полипом степени не ныне, чем ( й-$ ) (лемма П.8 — П.11). 2) решение бюс,Х)' стохастической задачи обобыенноп> нйеРполироиаиия с нероятиостью, равной единыце, удовлетворяют условиям лзс й (лемва П.12) Е ( 7! х 1 О .
1 ° В, зц+т,...,2а-й и - 11— случайных функций Я(со,Х), удовлетворяющих соотношениям а). Оказывается (теорема Ш.Ф, лемма Ш.1), что заданием элеыента Я(оз,Х)ЯС~ минимальный интерполяционный стохастический сплайн Мй(со,Х) с вероятностью, равной единице, определяется однозначно н имеет место предельное соотношение 1ыа й хь,й-Ыйй~О г де М„ [оэ»Р — полное гильбертово пространство (теорема Ш.5), норма в котором определяется скалярным произведением (ц,11) =3 ШЕ [(ах ) »Мх„)~+(Еи,1л)„»,Щсюх),т(сьх)ей .
4» Шо 2 Локазано (теорема Ш.5), что для любой случайной ФункцннЧ=Ч(мфЕЗ„ справедливы соотношения (цу й111й-1ч!~й»=!Ич4М~ н Л,чЦы= Ва~ю ~3 2 1 2 т я =1~ЩРЬ1ф+ЙЧЫ»~~ь»,где 1Х»=ЫЧ(оса) — решение задачи а),б) "2 4 Л' при $(<ой)=М(сю>Х), т.е. на элементе Ц~(сстХ) получается оптимальное, в смысле нора пространства л„э, прибликенне к значенкю оператора 1, на элементе Ч(оеХ) . получено решение следующей вариационной задачи (теорема Ш.б): найти элемент ~ м ~(аз,Х) Е С, [о,ч), на котором ВцУ ! $ ®-Р(и~)), ~(,Х) -=С„- тц(ц, Ч'бчй Е где Мб ш01(о>д) — миниьшльный ннтерполнциопньй стохастическим сплайн для Функции у(И,Х), 1(г1) - некоторый лннейнпн . зкцпонал, заданный в пространстве У» .
Оказываетоя, что сити: зльпсе решение вмпе сформулированной вариационной задачи .сть прнбликение к значению линейного Функционала 1(Я): !(ий) =р %Е [и (ыэ,Х )Ч(ы,Х,Я +Ф0й,~Л)Ш . В атой ие главе 1вссматрнваются среднеквадратическне стохастичес- - 12- кие спхайны. Элемент Шй=5в(со,Х) называется среднеквадратическим стохастическим сплайном для элемента д(са,х)е Сь, если выполняются условия: 1) ЬВ(со,Х)а(2 - ядру оператора 1. М Н й г) М~ Х И[а(оэФ )-д М~ =Х И[ай(со,Х)-д (ы)!, ©х о й=о доказано, что среднеквадратический стохастическим сплайн Зй для элемента 9 =фс4Х)~ С„сувествует и может быть конструктивно определен как предел (теорема э.7) зй(со,х)= Ьх тес,й(оэ>х) с1-есо (з пРостРанстве пн ), где ((л,й (щх) - РзгУла1мзиРованный стохастический сплайн.
Кроме того исследованы некоторые свойства невязка )э6~)=ХЯ~1эфЩ94фля функпяонала ф [ц;д] «со Следствием теорем Ш.Э, Ш.4, Ш.7 и лемм Ш.'Ы, Ш.Э является милл,а ау., уМ) ° гр ° ую .ввэр. цей и имеет место соотношение)Оьу~1)лйЮ [ШШФОЛа)-Як00)1 ° во Х 2 таким образом, для всякогэ у:ЮФ~КЗИ[$й(сбфк)-яс(ю)1 уравнекэо ние я(0=~» имеет, по крайней мере, одно реиениеоьу:у~яр)=у. Рассмотрены некоторые аппроксимативные свойства регуляризярованных стохастических спхайнов.
Пусть х1=М(Х) - уд раз непрерывно дифференцируемая детерминированная вункция и Яи(~и,ХМС~ т - ЕЕ 6'-ПРИбяяжэпяа, т.Е. !!М-УЕ!!,э46, УДОВЛЕтВОРИВИаи УС- ловко согласования: Ьа в!!Де!! „=О . Пусть, далее,'я,=й,(о34)- $,6-ео - проекция элемента ХЬ на ядро (з!, оператора 1, . Тогда имеет место предельное с~ютноиение (теорема Ш.р) !~ Ь ~йЯ[ (Я,Х.)-д,М,Х.)1'=!!а,-й!!' . и н.ьо '~ 3 ! -19- Если Мт*й, то теорема Ш.9 и принцип невязки (теорема Ш.о) позвоияет выбрать параметр сС =о1(Ш,Ш) так, что регулярязированный стохастический сплайн Ме при у(<е,Х)м~е~~о>й), соответствующий параметру с1п, удовлетворяет предельным соотнощениям ЬГ йт йМ,-М!1„;=ЬПХИМ;ЕЩ -О ~теорею Ш.1О).
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
