Диссертация (1103954), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Эта траектория совпадает с линией � = �� для0 < � 6 �0 , где � — отрицательное решение уравнения�2 + �� − � = 0.Интеграл в знаменателе (1.2.29) может быть приближен, если мы заменим траекторию функции прямой линией � = −��:︁∞′2(� (�)) �� =−∞︁u∗01�(�)�� ≈ �(�* )2 .2Подставляя это выражение в (1.2.29), мы получаем приближенное значение скорости распространения автоволны, эквивалентное скорости, полученной методом узкой зоны реакции (1.2.28).F(u)σu0u*u0u*upu-λРис.
3.3: Иллюстрация идеи метода узкой зоны реакции.Таким образом, метод узкой зоны реакции эквивалентен замене траектории уравнения напрямую. Отсюда можно заключить, что этот метод дает оценку скорости снизу, а также даетасимптотически точный результат в предельном случае при стремление носителя функции� (�) к точке.1.2.1.2Кусочно-линейное приближение.Перепишем уравнение (1.2.22) в виде��′′ + ��′ + � (�) = 0,где � (�) = �n(1 − �) − �� и � (0) = � (�*) = 0, и рассмотрим следующее приближение этогоуравнения:��′′ + �2 �′ + �0 (�) = 0,(1.2.31)62где⎧⎨ ��,0 < � < �0 ,�0 (�) =, � = � ′ (0), � = � ′ (�* ).⎩ �(� − � ), � < � < � ,*0*(1.2.32)Для уравнения (1.2.20) выполнено:� = −�, � = ���*n−1 − �(� + 1)�*n − �.Значение�0(1.2.33)может быть получено из дополнительного условия:︁w∗� (�)�� =0︁w∗�0 (�)��.(1.2.34)0�0 :Таким образом, мы получаем следующее уравнение относительно�−� 2�0 + ��* �0 + � = 0,2Для явного вида рассматриваемой функции�=��*n+1︂��− −2 �+1︂Из (1.2.35) получаем:�0 =−��* ++где�=� (�)−��*2−︁w∗� (�)��.(1.2.35)︂(1.2.36)0мы имеем:��*n+2︂1�+1+2�+2+ ��*2 .︀� 2 �*2 − 2(� − �)�.�−�(1.2.37)Таким образом, вместо (1.2.31) мы рассматриваем следующие уравнения:⎧⎨ ��′′ + ��′ + �(� − � ) = 0, � < 0,*⎩ ��′′ + ��′ + �� = 0,� > 0,(1.2.38)и дополнительные условия на непрерывность решения и его первой производной:�(0) = �0 , �′ (−0) = �′ (+0).Мы получаем решение в явном виде:⎧︃︃ ︀2⎪�−4��−�⎪22⎪+ �* , � < 0,⎪⎨ � = (�0 − �* ) exp �2�︃︃ ︀2⎪−�−4��−�⎪22⎪,� > 0.⎪⎩ � = �0 exp �2�(1.2.39)Из условия непрерывности решения и его производной получаем окончательную формулу:√�0�(��¯ 2 − �), �¯ =.�2 = ︀2�0 − �*(�¯ − 1)(��¯ − � �)¯(1.2.40)Данная формула дает хорошее приближение скорости распространения автоволны в уравнении (1.2.22) (рис.
3.2).631.2.1.3мыСравнение аналитической оценки с результатами вычислений для систе-(1.1.1). Возвращаясь к исходной системе (1.1.2), получаем:(1.2.41)� = �5 �2 �3 �4 �5 ��,� =�*−3��02 + 4��04 + �, �* =+�* − �04��02 − 3��0︁︀2(3��02 − 4��03 − �) − 2�(4�0 − 3)�02 − 23 ��02 −b2 2�4 0+11��0354��02 − 3��0+�︀, (1.2.42)и оценки (1.2.28) и (1.2.40) принимают вид:�1 =√√4��02 − ��03 − 2��︃ ︂ 5︂,42 ��02 − ��035︀︀� −3��0 2 − �� + 4��03 − ��2 = ︁︀︀.23(�0 − 1) � −�� − 3��0 + 4��0 + �(1.2.43)(1.2.44)Полученные аналитические оценки можно сравнить с найденной численно скоростью распространения тромбина в модели (1.1.1) (рис.
3.4). Скорость распространения автоволны вмодели, состоящей из одного уравнения (1.2.5), выше, чем скорость распространения тромбина в модели (1.1.2). Аналитические оценки скорости для одного уравнения, в свою очередь,дают оценку снизу (рис. 3.2). В результате, аналитические оценки скорости для одного уравнения дают лучшее приближение скорости распространения волны в системе (1.1.2), чемчисленная скорость волны в уравнении (1.2.19).
Более того, из двух аналитических оценок,оценка, полученная методом узкой зоны реакции, дает значение скорости ближе к результатам моделирования в модели (1.2.5), чем кусочно-линейное приближение.1.3Существование решений типа пульсСходимость решения системы к автоволне определяется величиной начального условия. Пороговое значение начального условия, гарантирующее сходимость решения к автоволне вслучае одного уравнения, соответствует стационарному решению типа пульс. Этот критерий был также доказан для системы двух уравнений в особой форме [126, 127].
В данномразделе мы формулируем аналогичный результат для модели реакций каскада свертывания,и в разделах 1.3.1–1.3.3 проводим доказательство существование решений типа пульс длярассматриваемой модели основных реакций каскада свертывания крови с использованиемметода Лере-Шаудера (см. раздел 3 главы 2).64Рис. 3.4: Скорость распространения волны тромбина при разных значениях � (слева) и�IX (справа). Сплошная линия — численная скорость в модели (1.1.1), точки — численная скорость в уравнении (1.2.5), пунктир — оценка, полученная методом узкой зоны реакции (1.2.43), штрихпунктир — кусочно-линейное приближение (1.2.44).
Параметры расчетовприведены в разделе 2 приложени].Стационарные решения системы (1.1.2) удовлетворяют эллиптической системе:��i′′ + �i (�i � − �i ) = 0, � = 1, 2, 3,��4′′ + �4 (�4 �3 − �4 ) = 0,��5′′ + �5 (�5 �4 + ��2 �4 − �5 ) = 0,︂︂�′′− �� = 0.�� + �6 �5 (1 + ��1 ) 1 −�0(1.3.1)В дальнейшем мы будем рассматривать систему (1.3.1) на вещественной оси и искать четноеположительное решение, обращающееся в нуль на бесконечности:w(�) > 0, w(�) = w(−�), � ∈ R, w(±∞) = 0.Такие решения мы будем называть решениями типа пульс. Вместо задачи на всей оси мыможем рассмотреть систему (1.3.1) на полуоси R+ с граничным условиемw′ (0) = 0.(1.3.2)Мы ищем убывающие решения, определенные на R+, и такие, что:w′ (0) = 0, w(�) > 0и w′(�) < 0 для � > 0, w(∞) = 0.(1.3.3)Тогда решение типа пульс может быть получено через отражение этого решения на R в силусимметрии.
Сформулируем основную теорему.65Теорема 1.3.1. При выполнении условия(1.3.3),влетворяющее(1.1.6)задача(1.3.1)имеет решение натогда и только тогда, когда значение скорости�R+ ,в задачеудо-(1.2.1)положительно.Теорема 1.3.1 легко доказывается для случая скалярного уравнения.
Действительно,предположим, что мы имеем дело с некоторым скалярным уравнением с нелинейной правой частью�с двумя положительными устойчивыми особыми точками. Тогда скоростьраспространения автоволны для скалярной задачи (1.2.1) имеет знак интеграла︀ w−0�� (�)��.Далее, если мы перепишем скалярное уравнение для решения типа пульс в виде:⎧⎨ �′ = �,⎩ �′ = −� (�),то можно легко показать, что:�′ (�)2=−2Отсюда следует, что условие︀ w−0︁� (�)�� > 0(1.3.4)w(x)� (�)��.0необходимо и достаточно для существованиярешений типа пульс, что доказывает теорему 1.3.1 для двуустойчивого скалярного уравнения.Для систем уравнений положительность интеграла не является достаточным условиемдля заключения о существовании решения типа пульс и/или положительности скорости автоволны.
Тем не менее, связь между знаками скорости волны и наличием решений типа пульсможет сохраняться, как было впервые показано в [126] и [127] для монотонных систем двухуравнений. В данном разделе мы получим такой результат для рассматриваемой реакционнодиффузионной модели каскада свертывания крови. Как и в случае работ [126, 127], доказательство имеет существенно более сложную структуру по сравнению со скалярным случаеми опираются на метод Лере-Шаудера (см. раздел 3 главы 2). Данный метод предполагаетпостроение некоторой подходящей гомотопической деформации.
Основная идея заключаетсяв том, чтобы свести последнее уравнение в системе (1.3.1) к некоторому скалярному уравнению, которое зависит только от�.В то же время, мы хотим, чтобы свойства исходнойсистемы оставались неизменными, и чтобы знак скорости волны в предположение, что�>0для задачи (1.2.1), сохранялся. Мы начнем описание построения гомотопии в разделе 1.3.1.Затем, в разделе 1.3.2 будет показана отделимость монотонных решений и мы получим априорные оценки этих решений независимо от гомотопического параметра. Раздел 1.3.3 посвящен доказательству части существования в теореме 1.3.1.
Наконец, мы сделаем некоторыезаключительные замечания в разделе 1.4.661.3.1Гомотопия1.3.1.1Описание.Рассмотрим гомотопию системы (1.3.1) следующего вида:Dw′′ + Fτ (w) = 0, � ∈ [0, 1],где только последняя компонента реакционного члена[0, 1].�6τ (w)(1.3.5)изменяется при изменении�∈Тогда гомотопная система имеет вид:��1′′ + �1 (�1 � − �1 ) = 0,��2′′ + �2 (�2 � − �2 ) = 0,��3′′ + �3 (�3 � − �3 ) = 0,(1.3.6)��4′′ + �4 (�4 �3 − �4 ) = 0,��5′′ + �5 (�5 �4 + ��2 �4 − �5 ) = 0,�� ′′ + �6τ (�) = 0.При� =0гомотопия совпадает с исходной системой (1.3.1) и мы имеем�60 (w)то есть�60�= �6 (w) = �6 �5 (1 + ��1 ) 1 −�0︂�1 , �5и︂является нелинейной функцией переменных− ��,(1.3.7)�.В процессе гомотопической трансформации мы редуцируем �60 до некоторого нелинейноговыражения�61 , которое будет зависеть только от переменной � .
Мы также потребуем, чтобынули функцииFτвR6+оставались неизменными при изменениинулями исходной нелинейности правой частиДля того, чтобы построить функцию1, . . . , 5,полученные из уравненийот0до1и совпадали сF = (�1 , . . . , �6 ).�6τ (w),�i (w) = 0�введем дополнительные функциидля�i (� ), � =� = 1, . . . , 5:�i = �i � ≡ �i (� ), � = 1, 2, 3,(1.3.8)�4 = �4 �3 � ≡ �4 (� ),�5 = �4 �3 � (�5 + ��2 � ) ≡ �5 (� ).Также дополнительно введем некоторую гладкую функцию�(� ),которая будет определе-на ниже, таким образом, чтобы она не меняла нули функции в процессе гомотопии (другиесвойства, касающиеся положительности скорости распространения волны, будут сформулированы в разделе 1.3.3.1).Окончательно гомотопия определяется следующим образом.
Для(например, �1= 1/2)� ∈ [0, �1 ], где �1 ∈ (0, 1)мы полагаем�6τ (w)︂�= �6 �5 (1 + ��1 ) 1 −�0︂− �� + � �(� ),(1.3.9)67в то время как для � ∈ (�1, 1] мы рассматриваем�6τ (w)︂�= �6 [� �5 + � �5 (� )] (1 + � [� �1 + � �1 (� )]) 1 −�0ττττ︂− �� + �1 �(� ),(1.3.10)где �τ = 11 −− �� , � τ = �1 −− ��1 .11ττДля � ∈ [0, �1] целесообразно положить � = 1 и � = 0, так что формула (1.3.10) будет также верна для � ∈ [0, �1].Прежде, чем приступить к исследованию особых точек Fτ , внесем следующие предварительные замечания. Для � = 0 нули функциизаданы уравнениями1.3.1.2Неподвижные точки системы.�i = �i (� )для�1 6 � 6 5, �6 �5 (� )(1 + ��1 (� )) 1 −�0Таким образом, прямая проверка показывает, что︂��6 �5 (� )(1 + ��1 (� )) 1 −�0где︂︂︂− �� = 0.− �� ≡ � (� ) = �� 4 + �� 3 + �� 2 + ��,� = −�6 �1 �2 �3 �4 ���0−1 , � = �6 �2 �3 �4 � + �6 �1 �3 �4 �5 � − �6 �3 �4 �5 �0−1 ,� = −�6 �1 �3 �4 �5 ��0−1 + �6 �1 �2 �3 �4 �� − �6 �2 �3 �4 ��0−1 , � = �6 �3 �4 �5 − �.(1.3.11)(1.3.12)Напомним, что ранее мы предположили, что полином � (� ) = � �(� ) имеет ровно два положительных корня 0 < �¯ < � −.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
