Диссертация (1103954), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Так как ŵ(�) — решение (1.3.20)-(1.3.21)для некоторого � = �0, то она экспоненциально убывает и мы можем выбрать �˜ такой, что||ŵ(�)|| < � для � > �˜. Так как wN,k сходится к монотонной функции ŵ, мы можем выбрать′� > �˜ и �1 > �0 такие, что ||wN,k (�))|| 6 � при � > � и � > �1 и wN,k (�) < 0 при � > �1 .Покажем, что из этих свойств следует, что при выполнении (1.3.44) также выполнено:0k′wN,k (�) < 0для � > � и � > �1.(1.3.45)78В самом деле, функцияvk (�) = −(wN,k )′ (�)является решением системы:′′�vk + (Fτk )′ (wN,k )vk = 0.Предположим, чтоvk (+∞) = 0числодля всехvk (�) не положительна для некоторого � > � и � > �1 . Так как vk (�) > 0 и(вследствие экспоненциального убывания�>0такое, что функция� > �,и(1.3.46)uk (�1 ) = 0uk (�) ≡ vk (�) + �qдля некоторого�1 > �vk ),то мы можем выбрать некотороеудовлетворяет неравенствуuk (�) > 0хотя бы для одной компоненты этоговектора.
Из системы (1.3.46) следует, что�(uk )′′ + (Fτk )′ (wN,k )�k + bk (�) = 0,где второй член (1.3.47) положителен вследствие (1.3.17), и[�, +∞).Тогда(uk )′′ (�1 )(1.3.47)bk (�) = −�(Fτk )′ (wN,k )q > 0должна быть отрицательна, и мы получаем противоречие в знакахв уравнении для компоненты вектор-функцииОстается рассмотреть случай�k → 0 .uk ,достигающей минимума в точке� = �1 .Покажем, чтоFτ0 (ŵ(0)) > 0.Очевидно, неравенствонаFτ0 (ŵ(0)) > 0(1.3.48)выполнено, так как в противном случае, если хотябы одна компонента этого вектора была бы отрицательна, то соответствующая компонентавектораŵ′′ (0) была бы положительна.
Так как ŵ′ (0) = 0, то это приводит к противоречию спредположением о том, чтовектораŵ убывает. Таким образом, нам нужно показать, что компоненты� τ0 (ŵ(0)) не могут обращаться в ноль. Предположим, что то не так, и �iτ0 (ŵ(0)) = 0для некоторого�такого, что�ˆi ′′ (0) = 0.Тогда�(�) = −�ˆi ′ (�)удовлетворяет��iτ0�� +(ŵ)� + �(�) = 0,��i′′гдеТак как�(0) = 0и� ′ (0) = 0,6︁��iτ0(ŵ)�ˆj′ > 0.�(�) = −��jj=1,j̸=iто мы получаем противоречие с леммой Хопфа.Таким образом, мы показали, что все компоненты векторакак функции0.wN,kТаким образом,′wN,k (�) < 0сходятся к′′Fτ0 (ŵ(0))положительны. Такŵ, то для всех достаточно больших � выполнено Fτk (wN,k (0)) >wN,k (�) < 0в некотором интервалена этом интервале и сходимостьчие завершает доказательство леммы.�k → 00<�<�независимо от�.Значит,не может выполняться.
Это противоре-79Замечание.Монотонные решения системы (1.3.20)–(1.3.21) также отделимы от триви-альных решений w ≡ 0 данной системы. Действительно, в силу аргументов, использованныхпри доказательстве теоремы 1.3.4, существует некоторая константа � > 0 такая, что для любого монотонного решения wM и любого � ∈ [0, 1] выполнено:�iM (0) > �, для � = 1, . . .
, 6.(1.3.49)В самом деле, в противном случае существует последовательность монотонных решенийwM,k , сходящаяся к некоторой ŵ в �µ1 и хотя бы одна компонента ŵ(0) обращается в ноль.Это противоречит лемме 1.3.4.1.3.3Доказательство теоремы 1.3.1Часть теоремы 1.3.1, посвященная несуществованию решений для � 6 0, может быть доказана аналогично тому, как это было сделано в [126]. Далее мы будем предполагать, чтоскорость автоволны в (1.2.1) положительна:(1.3.50)� > 0,и докажем существование монотонно убывающего решения типа пульс в системе (1.2.1).Доказательство основано на методе Лере-Шаудера.
Ключевым шагом является построениенепрерывной деформации (гомотопии) нашей задачи к модельной задаче, для которой мысможем доказать, что значение топологической степени отлично от нуля.Непрерывная деформация была введена в разделе 1.3.1. В определениях (1.3.9) и (1.3.10)для �6τ функция � по-прежнему присутствует и выполнено условие (1.3.16). Сначала мыпокажем, как выбрать функцию � так, чтобы �τ из (1.3.34) оставалась положительной приизменении � (раздел 1.3.3.1).
В силу теоремы 1.3.3, это дает априорные оценки в �µ1 длямонотонно убывающих решений. Далее, в разделе 1.3.3.2 мы рассмотрим предельный случай(� = 1) и в частности, некоторые спектральные свойства такой системы. Они позволят намзавершить доказательство существования монотонного пульса в разделе 1.3.3.3.1.3.3.1Положительность скорости автоволны .Вернемся к определению гомотопиидля нашей системы и покажем, что при выборе некоторой подходящей функции � будетвыполнено �τ > 0 для всех � ∈ [0, 1].Напомним, что для � ∈ [0, �1 ] функция �6τ задана выражением︂︂�τ�6 (w) = �6 �5 (1 + ��1 ) 1 −− �� + � �(� ),�080где�удовлетворяет условию (1.3.16). Так как� > 0,�6τ (w) > �6 (w)токлассического результата для монотонных систем [265],�τ > �.и, как следует изСледовательно, из (1.3.50)следует�τ > 0для� ∈ [0, �1 ].(1.3.51)Стоит отметить, что для получения вышеописанного результата не нужно налагать никаких�.дополнительных ограничений на функциюДля� ∈ (�1 , 1]ситуация отлична, так как�6τпринимает видгде︂�= �6 [� �5 + � �5 (� )] (1 + � [� �1 + � �1 (� )]) 1 −�0�6τ (w)τ�τ , � τ > 0иτ� τ + � τ = 1.ττОтметим, что дляw∈�и︂− �� + �1 �(� ),� ∈ (�1 , 1]�6τ (w) > �(� ) ≡ �1 �(� ) − ��.�,В силу выполнения условия (1.3.16) дляможем предположить, чтофункция�мы получаемдвуустойчива, и существуют�(� ) = �1 �(� )−��имеет три корня в�(� ) > 0дляУтверждение 1.3.2.
Предположим, что︁T∗(1.3.52)�(0) = 0�′ (0) < 0.�¯ < �˜ < �* < � −[0, � − ] : 0, �˜и�˜ < � < �* , �(� ) < 0�иудовлетворяеттакие, что�* , �(� ) < 0длядля�* < � 6 � − .(1.3.16), (1.3.53),�(�)�� > 0.Мы также0 < � < �˜,(1.3.53)и более того,(1.3.54)0Тогда�τ > 0для� ∈ [�1 , 1].Доказательство.Рассмотрим скалярное параболическое уравнение� 2���= � 2 + �(�),����(1.3.55)на всей оси с некоторым заданным начальным условием�(�, 0), являющимся монотонно убы-вающей функцией, стремящейся кдля функции0на+∞ик�*на−∞.При выполнении условий (1.3.53)�, для данного уравнения решение сходится к некоторой автоволне �* (� − �* �).Скорость �* имеет тот же знак, что и интеграл (1.3.54), так что условие (1.3.54) гарантируетвыполнение неравенства �*> 0.Утверждается, что� τ > �*для� ∈ [�1 , 1).(1.3.56)81В самом деле, рассмотрим параболическую задачу�vτ� 2 vτ= D 2 + Fτ (vτ ),����vτ (�, 0) = v̂(�).(1.3.57)Если v̂(−∞) = w− и v̂(∞) = w+ = 0, то vτ (�, �) сходится к некоторой автоволне uτ (� − �τ �)со скоростью распространения равной �τ .Вместе с системой (1.3.57) рассмотрим также систему�zτ� 2 zτ= D 2 + Φτ (zτ ), zτ (�, 0) = ẑ(�),����(1.3.58)где �6τ (w) заменено на �(�6τ ), а все остальные компоненты вектор-функции неизменны.
Выберем �ˆi(�) ≡ 0 для � = 1, . . . , 5, и последнюю компоненту — совпадающей со значением ееначального условия в уравнении (1.3.55), то есть:�ˆ6 (�) = �(�, 0).Предположим, что �ˆ6(�) > �ˆ6(�) для всех � ∈ R. Так как Fτ (w) > Φτ (w) и v̂(�) > ẑ(�), тоvτ (�, �) > zτ (�, �) для всех � ∈ R и � > 0. Так как vτ (�, �) сходится к автоволне со скоростьюраспространения �τ и �τ6 (�, �) — к автоволне со скоростью распространения �*, то �τ > �* > 0.Далее мы будем предполагать, что функция � выбрана таким образом, что выполняютсяусловия (1.3.16), (1.3.53) и (1.3.54).
Это гарантирует выполнение следующего свойства:�τ > 01.3.3.2Предельный случай� = 1.для � ∈ [0, 1].(1.3.59)Для � = 1 система принимает видDw′′ + F1 (w) = 0,(1.3.60)на полуоси � > 0 с граничным условиемw′ (0) = 0.Утверждение 1.3.3. Задача(1.3.61)(1.3.60)-(1.3.61) имеет единственное монотонно убывающеерешение типа пульс.Доказательство.мает видВ соответствии с определением F1, последнее уравнение в (1.3.60) прини�� ′′ + � (� ) + �1 �(� ) = 0.(1.3.62)82Здесь функция� → � (� ) + �1 �(� )имеет две устойчивые особые точки. Более того, вслед-ствие (1.3.54)︁T −(� (�) + �1 �(�))�� > 0.0Как было показано разделе 1.3, из этого следует, что скалярное уравнение (1.3.62) имеетединственное решение типа пульс на1, 2, 3R+ .
Обозначим его за � (�). Тогда уравнения для �i , � =принимают вид:��i′′ (�) − �i �i (�) = −�i �i � (�), �i′ (0) = 0.Так как операторы, соответствующие левым частям этих уравнений действуют изи обратимы, а� (�) ∈ �µ2 ,�1 (�), �2 (�), �3 (�) ∈ �µ1�µ1в�µ2то эти уравнения также обладают единственными решениями(здесь пространства�µiявляются скалярными функциональнымипространствами, аналогичными описанным в разделе 1.3.2.1). Далее, рассмотрим уравнение�4 (�):��4′′ (�) − �4 �4 (�) = −�4 �4 �3 (�), �4′ (0) = 0,которое, в свою очередь, обладает единственным решением�4 (�),(1.3.63)и уравнение для��5′′ (�) − �5 �5 (�) = −�5 �5 �4 (�) − �5 ��2 (�)�4 (�), �5′ (0) = 0,обладающее единственным решениемОстается показать, что функции�1 (�) = −�1′ (�).�5 :(1.3.64)�5 (�).�i (�)монотонно убывают. Начнем с�1 (�).ПоложимДифференцируя первое уравнение в (1.3.60), мы получаем:��1′′ − �1 �1 + ℎ(�) = 0, �1 (0) = 0,гдеℎ(�) = −�1 �1 � ′ (�) > 0.Таким образом,Единственное ограниченное решение этой задачи положительно.�1′ (�) < 0.
Аналогичным образом можно рассмотреть остальные компонентырешения.Далее, рассмотрим задачу на с.з. для линеаризации системы (1.3.60)-(1.3.61) вокруг решения типа пульсw(�),заданном в утверждении 1.3.3:Dv′′ + (F1 )′ (w)v = �v,на полуоси�>0(1.3.65)с граничными условиямиv′ (0) = 0, v(∞) = 0.(1.3.66)83Лемма 1.3.6.Все с. з. линеаризованной системыДоказательство.(1.3.65)–(1.3.66)отличны от нуля.Проведем доказательство от противного и предположим, что линеаризо-ванная система (1.3.65)-(1.3.66) имеет нулевое с.з.
В частности, для последнего уравненияв (1.3.65) для�=0существует некоторая скалярная функция�6 (�)такая, что:��6′′ (�) + �(�)�6 (�) = 0, �6′ (0) = 0, �6 (∞) = 0,где�(�) = (�61 )′ (� (�)).(1.3.67)Мы покажем, что это предположение влечет противоречие.Рассмотрим функцию�(�) = −� ′ (�).Дифференцируя (1.3.62), мы получаем:�� ′′ (�) + �(�)�(�) = 0,�(0) = 0, �(�) > 0Выберем�*такими образом, чтобыДля начала предпложим, чтоfor�(�) < 0� > 0, �(∞) = 0.для всех�6 (�) > 0(1.3.68)(1.3.69)� > �* .для всех� > 0.Тогда мы можем выбрать�достаточно большим, чтобы��6 (�) > �(�)Обозначим через�0 �6 (�) > �(�)�0инфимум всех значенийи существуетванной ниже, следует, чтообразом,�0 ∈ [0, �* ].для�0такой, что�0 �6 (�* ) > �(�* )�0 ∈ (0, �* )влечетИз леммы 1.3.7, сформулиро-�0 �6 (�) > �(�)�0 = 0,такой, что(1.3.70)для которых выполняется (1.3.70).
Тогда�0 �6 (�0 ) = �(�0 ).Мы исключаем случайким образом, существует�,0 6 � 6 �* .для всех� > �* .Такимтак как он противоречит (1.3.69). Та-��6 (�0 ) = �(�0 ),что противоречит теореме оположительности.Рассмотрим теперь случай, когда функция�6 (�)имеет переменный знак. Отметим, что�6 (0) ̸= 0. В противном случае, �6 (�) ≡ 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
