Математическое моделирование волноводно-резонансных свойств биизотропных сред (1103703), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

На границебиизотропной вставки выполняются условия сопряжения~ τI = E~ τII ,E~ τI = H~ τIIH(1)для тангенциальных компонент напряжённостей электрического и магнитного полей.Комплексные материальные уравнения биизотропной среды представимследующим образом:~ = a11 (ε, µ, ξ)E~ + a12 (ε, µ, ξ)H,~D~ = a21 (ε, µ, ξ)E~ + a22 (ε, µ, ξ)H,~B(2)где ε и µ – комплексные электрическая и магнитная проницаемости, ξ –действительный или комплексный параметр,a12 = a∗21 .(3)Вид коэффициентов a11 , a12 , a21 и a22 определяется конкретной модельюсреды.

Коэффициенты должны удовлетворять предельным соотношениямlim a11 (ε, µ, ξ) = ε,ξ→0lim a12 (ε, µ, ξ) = 0,ξ→0lim a21 (ε, µ, ξ) = 0,(4)ξ→0lim a22 (ε, µ, ξ) = µ,ξ→0то есть, при устремлении ξ к нулю среда вырождается в диэлектрик илимагнетик.В следствие регулярности рассматриваемой волноведущей системы,∂= iΓ,∂z(5)где Γ — постоянная распространения (собственное значение).Во втором параграфе рассматривается схема метода Галёркина длярешения поставленной задачи с разложением по продольным компонентам5нормальных волн пустого волновода.

Выражение поперечных компонентполей через продольные для биизотропной среды имеет вид:~ t = (b11 Ê + b1 R̂)R̂∇t Hz + (b2 Ê + b2 R̂)R̂∇t Ez ,H212~ t = (b31 Ê + b3 R̂)R̂∇t Hz + (b4 Ê + b4 R̂)R̂∇t Ez .E212Здесь использованы обозначения1 0Ê =,0 1(6)0 1R̂ =.−1 0Коэффициенты в уравнении (6) представляют собой рациональные функции Γb11b12b21b22b31b32b41b42= ik(a12 Γ2 − k 2 a21 (a11 a22 − a12 a21 ))/P4 (Γ),= iΓ(Γ2 − k 2 (a11 a22 − a221 ))/P4 (Γ),= ika11 (Γ2 − k 2 (a11 a22 − a12 a21 ))/P4 (Γ),= −ik 2 a11 Γ(a12 − a21 )/P4 (Γ),= −ika22 (Γ2 − k 2 (a11 a22 − a12 a21 ))/P4 (Γ),= ik 2 a22 Γ(a12 − a21 )/P4 (Γ),= −ik(a21 Γ2 − k 2 a12 (a11 a22 − a12 a21 ))/P4 (Γ),= iΓ(Γ2 − k 2 (a11 a22 − a212 ))/P4 (Γ),с общим знаменателемP4 (Γ) = Γ4 + k 2 (a212 + a221 − 2a22 a11 )Γ2 + k 4 (a11 a22 − a12 a21 )2 .Система уравнений Максвелла для продольных компонент поля в биизотропной среде может быть записана как(−b21 ∆t Ez − b11 ∆t Hz + ika11 Ez + ika12 Hz = 0,(7)−b41 ∆t Ez − b31 ∆t Hz − ika21 Ez − ika22 Hz = 0.Приближённое решение системы (7) ищется в виде конечных суммEz(N )=Hz(N ) =NXn=1NXen Enz ,(8)hn Hnz ,n=1где Enz и Hnz — продольные компоненты нормальных волн пустого волновода.

На приближённое решение накладывается требование выполненияусловий сопряжения (1) на границе биизотропной вставки в интегральном(энергетическом) смысле.6Приближённое решение системы (7) должно удовлетворять интегральным соотношениям ZZ∗{−b21 ∆t Ez(N ) − b11 ∆t Hz(N ) + ika11 Ez(N ) + ika12 Hz(N ) }Emzds =SI∗ ~ (N ) ~E[Ht ]dl,=mzCS1ZZ(9)4(N)3(N)(N)(N)∗{−b1 ∆t Ez − b1 ∆t Hz − ika21 Ez − ika22 Hz }Hmz ds =SI∗ ~ (N ) ~H[Et ]dl,=mzCS1где CS1 — контур поперечного сечения S1 биизотропной вставки,I II(N )(N )(N )~~~[Ht ] = Hz− Hz,I II(N )(N )(N )~~~[Et ] = Ez− Ez,индекс I соответствует области D1 (внутренняя область вставки), индексII соответствует области D2 (внешняя область)Система (9), с учётом (8), представляет собой СЛАУ с полиномиальной матрицей шестого порядка относительно Γ. Матричные элементы были вычислены в явном виде для прямоугольного и круглого волноводов.Алгоритм нахождения постоянных распространения в прямоугольном волноводе с частичным по сечению биизотропным заполнением реализован ввиде программы для ЭВМ.В третьем параграфе рассматривается схема метода Галёркина длярешения поставленной задачи с разложением по поперечным компонентамнормальных волн пустого волновода.

Выражение продольных компонентполей через поперечные для биизотропной среды имеет вид:h i˜˜~~∇t · Ht a22 + ∇t · Et a12,Ez = −ik(a11 a22 − a12 a21 )h i(10)˜˜~~∇t · Et a11 + ∇t · Ht a21Hz =.ik(a11 a22 − a12 a21 )Система уравнений Максвелла для поперечных компонент поля в бии-7зотропной среде может быть записана как i ia21 ha11 h˜˜~~~−i∇ × ∇t · Et iz − i∇ × ∇t · Ht ~iz −k∆k∆~˜ t + ika11 E~ t + ika12 H~ t = 0,− λH i ia22 ha12 h˜ ~˜ ~~~∇ × ∇t · Et iz + i∇ × ∇ t · H t iz −ik∆k∆~ t = 0.~ t − ika22 H~˜t − ika21 E− λE(11)Здесь использовано обозначение λ = iΓ.

Приближённое решение системы (11) ищется в виде конечных разложений~ t(N )E=~ t(N ) =HNXn=1NX)~e(Nn Ent ,(12))~h(Nn Hnt ,n=1~ nt и H~ nt — поперечные компоненты нормальных волн пустого волногде Eвода.Приближённое решение системы (11) должно удовлетворять интегральным соотношениям ZZ n i ia11 ha21 h˜˜(N ) ~(N ) ~~~−iiz − iiz −∇ × ∇t · Et∇ × ∇t · Htk∆k∆SIo˜(N)(N)(N)∗∗ ~~ mt~t~ mt~ t + ika12 H~ t + ika11 EEds = − [Hz(N ) ]Edl,− λHCS1ZZ n i ia12 ha22 h˜ (N ) ~˜ (N ) ~~~i∇ × ∇t · Etiz + i∇ × ∇t · Htiz −k∆k∆SIo˜(N)(N)(N)∗ ~~ t − ika22 H~t~ ∗ ds = − [E (N ) ]H~ t − ika21 E~ mt− λEHdl,mtzCS1(13)где CS1 — контур поперечного сечения S1 биизотропной вставки,I II(N )(N )(N )[Hz ] = Hz− Hz,I II(N )(N )(N )[Ez ] = Ez− Ez,индекс I соответствует области D1 (внутренняя область вставки), индексII соответствует области D2 (внешняя область), m пробегает значения от 1до N .

Правые части соотношений (13) служат для удовлетворения условийсопряжения (1) в интегральном смысле.8Таким образом, задача нахождения собственных значений системы (11)сводится к проблеме собственных значений числовой комплекснозначнойматрицы. Матричные элементы были выражены в явном виде для прямоугольного волновода с частичным по сечению биизотропным заполнением.Алгоритм реализован на языке FORTRAN в виде подключаемого модуля ксистеме математического моделирования Science Lab.Вторая глава диссертации посвящена решению задачи дифракции электромагнитной волны на локальном биизотропном включении в цилиндрическом волноводе. В первом параграфе формулируется математическаяпостановка задачи.Система уравнений Максвелла с граничным условием I рода решаетсяв бесконечной цилиндрической области постоянного сечения.

На границе биизотропного включения выполняются условия сопряжения (1). Комплексные материальные уравнения биизотропной среды имеют вид (2) иудовлетворяют условиям (3), (4).Кроме граничных условий на стенке волновода, должны выполнятьсятакже условия возбуждения и излучения на бесконечности m −m ∞X~ 0~~EEiγm0 z Eiγ−m z+Xe(14)=Rem0m~ −m~ m0 ,~HHHz→−∞m=1 m ∞X~~Eiγm z E(15)Te=m~m .~HHz→+∞m=1nonn~~Здесь E (M ), H (M ) ·eiγn z (n = ±1, ±2, .

. .) — нормальные волны регулярных волноводов с однородным изотропным заполнением, соответствующим бесконечно удалённым участкам волновода. Положительным значениям индекса n соответствуют прямые волны, распространяющиеся вположительном направлении оси Z, отрицательным значениям индекса —обратные волны. Зависимость всех компонент нормальной волны от координаты z даётся множителем eiγn z , где γn — постоянная распространениясоответствующей нормальной волны в данном регулярном волноводе.Второй параграф посвящён решению задачи дифракции электромагнитной волны в цилиндрическом волноводе с биизотропным заполнениемна конечном участке его длины.

При этом поперечное сечение вставки S1не зависит от z. Алгоритм решения задачи реализован в виде программыдля ЭВМ и использует методы, разработанные в первой главе. Также, вэтом параграфе рассматриваются некоторые особенности численного алгоритма.В третьем параграфе формулируется общий вид неполного метода Галёркина для исследования распространения электромагнитных колебанийв цилиндрическом волноводе с идеально проводящей боковой поверхностью Σ и с частичным по сечению биизотропным заполнением между поперечными сечениями z = 0 и z = d. Проводится исследование свойствприближённого решения и обоснование сходимости алгоритма.9Наиболее удобно для решения поставленной задачи воспользоватьсяразложением векторов напряжённости электрического и магнитного полейна продольные и поперечные компоненты и выразить продольные черезпоперечные (10).

В нерегулярной цилиндрической волноведущей системесистема уравнений Максвелла для поперечных компонент имеет вид: i ia11 ha21 h˜˜~~~−i∇ × ∇t · Et iz − i∇ × ∇t · Ht ~iz −k∆"k∆#~t∂H~ t + ika12 H~ t = 0,−× ~iz + ika11 E∂z i i(16)a12 ha22 h˜ ~˜ ~~~∇ × ∇t · Et iz + i∇ × ∇ t · H t iz −ik∆k∆#"~∂ Et ~~ t − ika22 H~ t = 0,× iz − ika21 E−∂zгде использовано обозначение∆ = a11 a22 − a12 a21 .Точное решение задачи представимо в виде ряда с разложением по поперечным компонентам нормальных волн пустого волновода:~ t (M, z) =E~ t (M, z) =H∞Xn=1∞X~ nt (M ),An (z)E(17)~ nt (M ).Bn (z)Hn=1С учётом разложений (17) граничные условия (14), (15) примут вид:Am + Bm |z→−∞ = 2Xm0 δmm0 ,Am − Bm |z→+∞ = 0.(18)(19)Из уравнений (16) следует, что точное решение задачи (17) при любомz должно удовлетворять интегральным соотношениям: ZZ n i ia21 ha11 h˜˜~~~∇ × ∇t · Et iz − i∇ × ∇t · Ht ~iz −−ik∆k∆S"#o~∂ Ht ~∗~~~ mt−× iz + ika11 Et + ika12 Ht Eds = 0,∂zZZ n(20)h ih iaa˜˜1222~ t ~iz + i~ t ~iz −i∇ × ∇t · E∇ × ∇t · Hk∆k∆S"#o~∂ Et ~∗~~~ mt−× iz − ika21 Et − ika22 Ht Hds = 0.∂z10Соотношения (20) вместе с граничными условиями на бесконечности (18)и (19) определяют ту форму, в которой будет применяться метод Галёркина.Эту задачу назовём задачей A.Приближённое решение будем искать в виде конечных разложений:~ t(N ) (M, z)E=~ t(N ) (M, z) =HNXn=1NX)~A(Nn (z)Ent (M ),(21)~ nt (M ).Bn(N ) (z)Hn=1(N )(N )Коэффициенты An (z) и Bn (z) определяются из системы уравнений, которую получим, потребовав, чтобы при любом z удовлетворялись следующие интегральные соотношения: ZZ n i ia21 ha11 h˜ (N ) ~˜ (N ) ~~~−i∇ × ∇t · Etiz − i∇ × ∇t · Htiz −k∆k∆S" ˜#I(N )o~∂H(N)(N)t∗∗ ~~ mt~ mt~t~ t + ika12 HEds = − [Hz(N ) ]Edl,−× ~iz + ika11 E∂zCS1ZZ nhihia12~˜t(N ) ~iz + i a22 ∇ × ∇t · H~˜ t(N ) ~iz −i∇×∇·Etk∆k∆S#" ˜I(N )o~∂E(N)(N)t∗∗ ~~ mt~ mt~t~ t − ika22 HHds = − [Ez(N ) ]Hdl,× ~iz − ika21 E−∂zCS1(22)где ∆ = a11 a22 − a12 a21 , m = 1, 2, .

. . , N , CS1 — контур поперечного сеченияS1 биизотропного тела, ~iz — орт оси z, скачки выражаются как[Hz(N ) ][Ez(N ) ]=Hz(N )=Ez(N )II−−Hz(N )Ez(N )IIII,,индекс I соответствует области D1 (внутренняя область вставки), индексII соответствует области D2 (внешняя область). Правые части соотношений (22) служат для удовлетворения условий сопряжения (1) в интегральном смысле.Система (22) представляет собой систему линейных дифференциальныхуравнений"#"#(N )(N )∂ An (z)An (z)=Â(z)·,(23)(N )∂z Bn(N ) (z)Bn (z)11где Â(z) — матрица коэффициентов, зависящая от z, элементы которойвыражаются через характеристики биизотропной вставки, с граничнымиусловиями)(N )A(Nm (0) + Bm (0) = 2Xm0 δmm0 ,(24))(N )A(N(25)m (d) − Bm (d) = 0.no(N ) ~ (N )~Задачу определения поля E , Hиз решения краевой задачи (23),(24), (25) и (10) будем называть задачей B.Показано, что для задачи B справедливо соотношение:2N noXηm0Xm0 +Reηm |Pm(N ) |2 + ηm |Tm(N ) |2 + Re ηm0 Pm(N0 ) −Re ηm0m=1ZZZ no2||ηm(N ) 2(N ) 20~~a11 |E | + a22 |H | dv =|Xm0 |2 , (26)+ k ImRe ηm0Dкоторое является основным для определения свойтств её решения.

Характеристики

Список файлов диссертации