Методы решения линейных некорректных задач с априорной информацией и оценка погрешностей (1103517), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Она показывает, что вединичном объёме атмосферы находится n r dr частиц аэрозоля с радиусами, распределёнными в интервале между r и r dr. Кроме того,практический интерес представляют частицы с радиусом, заключенным в интервале : ; : мкм.Функцию распределения размеров частиц аэрозоля n r обычноопределяют как произведение функций h r и f r , где h r – быстроубывающая функция, f r – медленно меняющаяся функция. Исходяиз того, что большинство измерений функции распределения размеров частиц аэрозоля над континентами показывают, что эти функциимогут быть описаны юнговским распределением h rr (v +1) (v –константа формы частицы, которые обычно имеют характерный размер : ; : мкм), имеет смысл использовать h r в виде указанногоюнговского распределения с весовым коэффициентом f r .На практике в качестве входных данных обычно используют результаты измерения оптической толщины рассеяния аэрозоля толькодля небольшого числа длин волн (fj g4j =1), что связано с техническимиограничениями используемых измерительных приборов.Т.е.
на практике получается система из четырёх уравненийZ22 Q r; ; h r f r dr r; ; ; ;(4)extjaero j ; j0:1()+[0 1 2 0℄()()()()()()=[0 1 4 0℄()() () () =( )()=1 2 3 4в результате решения которой необходимо найти непрерывную функцию f r . Очевидно, что такая задача является некорректно поставленной. Для её решения необходимо построить регуляризирующий алгоритм. Существуют различные регуляризирующие алгоритмы, но в дан-()8ной работе предлагается новый эффективный регуляризирующий алгоритм (метод точек перегиба) решения поставленной задачи, основанный на минимизации функционала невязки методом сопряжённых градиентов с проекцией на множество ограниченных кусочно-выпуклыхфункций (исходя из априорной физической информации о поведениирешения). Заметим, что в этом методе параметром регуляризации является число и положение точек перегиба.В диссертации рассматриваются два случая.Первый случай заключается в том, что априорно известно, чтоточное решение имеет только одну точку перегиба.
Тогда с помощьюполного перебора всех возможных точек и метода сопряжённых градиентов с проекцией на множество ограничений определяется положениеточки перегиба и находится соответвующее приближённое решение. Наоснове полученного решения, используя априорную информацию о выпуклости (вверх и вниз), строится так называемые верхнее и нижнее решения, которые задают гарантированный коридор погрешности: f l rи fu r .Второй случай заключается в том, что априорно известно, чтоточное решение имеет больше одной точки перегиба.
В этом случае рассматриваются различные варианты, используя теорию сложности вычислений. В результате, построив метод локального полного перебора,с помощью метода сопряжённых градиентов с проекцией на множествоограничений можно найти приближённое решение исходной задачи (3).Для проверки разработанных методов была рассмотрена модельная задача. Дана функция распределения размеров частиц аэрозоля(Рис. 1).
Положим v : ,: , уровень погрешности задания оператора и правой части задачи (2) составляетотносительновеличины точных данных. Количество узлов и уравнений составляетисоответственно. С помощью предложенного метода былополучено значение параметра регуляризации метода точек перегиба:P; ~k; ; ;(где P – число точек перегиба, ~k – вектор координат расположения точек перегиба). Если умножить медленно меняющуюся функцию f r на быстро убывающую функцию h r ,то получится функция распределения размеров частиц аэрозоля n r(Рис.
1, в двойном логарифмическом масштабе).В случае применения разработанного метода к реальной задачеполучается результат, показанный на рисунке 2.Применение метода точек перегиба к задаче, сводящейся к необходимости решать переопределённую систему линейных алгебраических уравнений, в диссертации рассматривается на примере решения()()= 0 15= 1 4545%100 4= ( ) = (3 (25 49 74))()()()9x 104.51543.532.521.510.5010−1100Рис.
1. Зависимость логарифмической функции распределения размеров частиц аэрозоляnr (единица измерения: м 2 мкм 1) отлогарифмического радиуса частиц аэрозоляr (единица измерения:мкм) при уровнях погрешностей hÆ. Точное решение (—).Приближённое решение по методу А.Н. Тихонова с выбором параметра регуляризации по обобщённому принципу невязки (4) и методуточек перегиба ( Æ ).log (log( ))log( )= = 45%Рис. 2.
Применение метода точек перегиба для решения реальной задачи. Результаты: восстановленная логарифмическая функция распределения размеров частиц аэрозоляnr .log (log( ))101.510.50−0.5−1−1.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91Рис. 3. Сравнение результатов, полученных с помощью различных методов при одинаковом уровне погрешностей входных данных (Æ h). Точное решение (—); приближённое решение по методу ОПН (Æ);приближённое решение по методу МТП ( 4 ).= =20%следующей задачи:1ZK (x; s)z (s)ds = u(x); z (s) 2 L2[0; 1℄; u(x) 2 L2[0; 1℄;0где ядро имеет вид(1 s)K (x; s) = sx(1x)8<припри:x 6 s;s 6 x:Вместе с методом МТП рассмотрен также и регуляризирующийалгоритм выбора параметра регуляризации по обобщённому принципуневязки (ОПН).
На Рис. 3 представлены результаты применения обоихметодов для решения поставленной задачи при одинаковых уровняхпогрешности.Во ВТОРОЙ ГЛАВЕ описываются методы построения поточечного псевдооптимального регуляризирующего алгоритма решениялинейных некорректно поставленных обратных задач математическойфизики и оценки апостериорной погрешности решения, полученного спомощью этого алгоритма, на основе использования априорной информации о решении.Пусть XLx; Rx , YLy ; Ry и ZCX,UL2 Y , аоператор A: Z ! U – линейный непрерывный инъективный оператор.=[℄=[℄11:= ( ):= ( )fПредполагается, что априорная информация о решении Zявляетсянекоторым замкнутым ограниченным выпуклым и уравновешенныммножеством в пространстве Z . Рассматривается следующее операторное уравнение:fAz u; z 2 Z;u 2 U:(5)=Пусть вместо точно заданных оператора A и правой части u известны лишь такие их приближения fAhA ; uÆ g, что kA AhA kZ !U 6 hAи ku uÆ kU 6 Æ .
Для многих конкретных операторов A аналитическоерешение z операторного уравнения (5) найти невозможно. Поэтому прирешении прикладных задач математической физики соответствующееоператорное уравнение (5) решается с использованием численных методов, т.е. в качестве решения задачи (5) ищется не сама функция z x ,а её конечномерная аппроксимация fz xk gKk=1 (где K – число узлов сетки, на которой ищется неизвестная функция). Далее, с помощью полученной конечномерной аппроксимации строится приближённое непрерывное решение задачи (5), и доказывается сходимость этого приближенного непрерывного решения в пространстве Z C X .Сначала рассматривается задача восстановления значения функции z x в конкретной точке xk (узле k).()( )(( ))()()Определение 1 Методом восстановления значения функции z xfв точке xk (по информации Z) называется любой функционал u :U ! R 1 , а погрешностью восстановления с помощью метода uназывается величина0(xk ; Z; "; u) :=f:= +supsupz 2Z;8 u2U : kAhA z uk6"z (xk ) u(u) ;e(6)где "Æ hA z2Ze kz kZ .
Оптимальной погрешностью восстановления значения функции z x в точке xk называется величина() );1(xk ; Z; ") := inf(x;Z;";u0kuff(7)где точная нижняя грань берётся по всем функционалам u : U !R 1 . Функционал u, на котором эта точная нижняя грань достигается, называется оптимальным методом восстановлениязначения функции z x в точке xk .^()По теореме Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала и теореме Смоляка предыдущую постановку (6)–(7) экстремальной задачи можно переписать в следующем виде:1(xk ; Z; ") = inf2Ufsupz 2Z;8u2U :ku AhA z k6"e12z (xk ) h; ui ;(8)где h; i – скалярное произведение взадаче (8) будет ставится какsup z (xk );z 2Zгде0L2(Y ).
Ассоциированная задача кZ0 := Z \ fz : kAhA z k 6 "g:f:((9))Еслиопределить функцию Лагранжа L Z U U ! R 1 в видеL z; u ; z xk h; ui, то справедлива следующая теорема, которая описывает связь между исходной задачей (8) и ее ассоциированнойзадачей (9).( ):= ( )+Теорема 1 (Принцип Лагранжа) Если элементстимой точкой в задаче (9) (т.е. z 2 Z0 ), то^z^ является допу-1) следующие два условия эквивалентны:а)б)z^ является решением задачи9 ^ 2 U : L (^z ; 0); ^ =inf(9);(z; u); ^ ;Lez 2Z;8u2U :ku AhA z k6"2) при выполнении этих двух эквивалентных условий линейныйфункционал является методом оптимального восстановления в задаче (8), и его погрешность равна=^1(xk; Z; ") = z^(xk) =(^z ; 0); ^ :fLТаким образом, принцип Лагранжа позволяет свести задачу оптимального восстановления к поиску решения ассоциированной задачии поиску множителя Лагранжа .В диссертационной работе с целью построения конкретного выпуклого и уравновешенного множества априорной информации об искомом решении Zn0 рассматриваются некоторые предположения о свойствах задачи (5).
В том числе, предполагается истокопредставимостьрешения, т.е. z Bv , где v 2 L2 и B — интегральный оператор.Введём множество всей априорной информации задачи (8)f z; u 2 Zn0 U ku AhA z kU 6 "g, где " Æ hA kBhB kV !Z hB n0,число n0 находится с помощью метода расширяющихся компактов, иBhB – приближённый оператор к B такой, что kB BhB kV !Z 6 hB .Далее в диссертации рассматривается конечномерный аналог задачи (8) для всех узлов k;K^( )=:inf 2UMk := +=1sup zk hMk ; ui ;2M (z;u)MK(k = 1; K; :=+ )(10)и формулируется конечномерный принцип Лагранжа, определяющийсвязь между конечномерной задачей и её ассоциированной задачей.13Здесь MK — конечномерный аналог для множества и zk — k-ая компонента вектора z.
Связь между конечномерной задачей (10) и исходнойзадачей (8) также рассматривается в диссертации.Исходя из принципа Лагранжа, вместо задачи (10) нам нужнорешить неравенство(^zkMzk ) + hMk ; ui > 0; 8(z; u) 2 K ; k = 1; K;(11)или в векторном виде:0)(^zz) + u 0; 8(z; u) 2 MK ;(12)где символ z означает, что все элементы вектора z неотрицательны.M TM1 ; :::; K называется матрицей множителей Лагранжа.Множество решений неравенства (12) (или (11)) обозначим какΛ. Далее в диссертации подробно рассматриваются некоторые методынахождения одной (оптимальной в некотором смысле) матрицы множителей Лагранжа . Сформулируем один из них.Среди всех решений (12) из множества Λ выбираем такой элемент , что 1TA A IK AT ;(13) := ( = ^ ^+^0где IK – единичная матрица в R K R K и > – параметр регуляризации.Для любой матрицы A верно сингулярное разложение A E F T ,где E , F – -ортогональные матрицы размеров M M и K K соответ1; :::; r ; ; :::; — диагональная матрица порядкаственно,M K , причём 1 > 2 > ::: > r > , число r — ранг матрицы A.
Тогдас помощью разложения в ряд Тейлора можно показать, что неравенство (11) эквивалентно неравенству^ = diag(00)^= ^0O(2) + dk + dk 6 dk ; k = 1; K; 8(z; u) 2 MK ;(14)( )где dk , dk и dk — некоторые функции, зависящие от точки z; u .Очевидно, что для любого положительного числа "0 существует0 > такое, что 8 2 ; 0 и 8k: 6 k 6 K верно jO 2 j 6 "0.В диссертации рассматривается метод выбора числа 0 при заданном числе "0 . Кроме того, в диссертации сформулировано достаточное условие, при котором система неравенств (14) при условии 2; 0 имеет решение f < 6 g.Кроме этого метода в диссертации рассматривается два другихметода, которые учитывают специальную структуру матрицы A.0(0 ℄(0 ℄1:0~14( )^x 10−312.221.81.61.41.210.80.60.40.20.80.60.40.20−0.2−0.4(a)(b)110.80.80.60.60.40.40.20.200(c)(d)= =Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
