Методы решения линейных некорректных задач с априорной информацией и оценка погрешностей (1103517)
Текст из файла
На правах рукописиЧжан ЕМетоды решения линейных некорректных задач саприорной информацией и оценка погрешностей01.01.03 — Математическая физикаАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква — 2014Работа выполнена на кафедре математики физического факультетаМосковского государственного университета имени М. В. Ломоносова.Научныйдоктор физико-математических наук,руководительпрофессор Ягола Анатолий ГригорьевичОфициальныедоктор физико-математических наук,оппоненты:профессор Леонов Александр Сергеевич,Национальный исследовательский ядерныйуниверситет «МИФИ»доктор физико-математических наук,гл.н.с.
Инна Эдуардовна Степанова,Институт физики Земли им. О.Ю. ШмидтаРоссийской академии наукВедущаяРоссийский университеторганизациядружбы народов (РУДН)Защита состоится 20 февраля 2014 г. в 16:30 часов на заседании диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, ГСП-1,Ленинские горы, МГУ, д. 1, стр. 2, физический факультет, СФА.С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотекеМГУ.Автореферат разослан «Ученый секретарьдиссертационного совета,профессор» января 2014 г.Поляков П. А.Общая характеристика работыДиссертационная работа посвящена некоторым новым методам решения некорректно поставленных обратных задач математической физики с использованием априорной информации о решении и оценке погрешности приближённого решения, которое может быть получено спомощью этих методов.В работе строится регуляризирующий алгоритм решения линейных некорректно поставленных обратных задач на множестве ограниченных кусочно-выпуклых функций — метод точек перегиба (МТП), истроится оценка погрешности приближённого решения.В работе также исследуется теория оптимальной регуляризациина ограниченных выпуклых и уравновешенных множествах.
Строитсятак называемый поточечный псевдооптимальный регуляризирующийалгоритм решения линейных некорректно поставленных обратных задач и получается псевдооптимальная (поточечная и общая) апостериорная оценка погрешности решения. С помощью этого алгоритма решается одномерное (а также двумерное) линейное операторное уравнениев общем виде с некоторой априорной информацией о решении.Актуальность темыМногие современные задачи математическойфизики являются обратными задачами, которые могут быть представлены в виде операторного уравненияAz = u; z 2 Z; u 2 U;(1)где Z – пространство решений, а U – пространство измерений.
Физический смысл z , A и u следующий: z – искомая физическая характеристика исследуемого объекта, A – оператор, определяющий преобразованиеискомого решения z в результат измерений u. Большинство обратныхзадач заключается в том, что даны неточные правая часть и оператор, инужно найти приближённое решение, хорошо аппроксимирующее точное.Большинство обратных задач, к которым сводятся прикладныезадачи математической физики, являются некорректно поставленными. По определению Адамара корректной (корректно поставленной)задачей называется любая задача, у которой решение: (а) существует, (б) единственно и (в) непрерывно зависит от входных данных. Авсе остальные задачи Адамар называл некорректными (некорректнопоставленными).
Другими словами, некорректной считалась задача, укоторой нарушается хотя бы одно из трёх приведённых выше свойств.Российским математиком А. Н. Тихоновым в 60-х годах прошлого века была заложены основы теории решения некорректных задач.Им же был предложен регуляризирующий алгоритм, основанный на3вариационном подходе. Позже возник ряд других регуляризирующихалгоритмов, например: итерационные, спектральные и т.д.В настоящее время двумя важными направлениями исследований в этой области являются:1) поиск хотя бы одного регуляризирующего алгоритма, с помощьюкоторого можно решить поставленную практическую задачу;2) поиск так называемого оптимального (в некотором смысле) регуляризирующего алгоритма, который позволит получить наилучшее (в том же смысле) решение, а также, если это возможно, оценить его погрешность.В диссертационной работе проведена работа по этим обоим направлениям.1) Решена задача восстановления функции распределения размеровчастиц аэрозоля в атмосфере.Известно, что характеристики частиц аэрозоля, которые могут бытьописаны функцией распределения размеров частиц, играют оченьважную роль в задачах моделирования климата.
Был разработанновый регуляризирующий алгоритм, который использует априорную информацию о свойствах искомого решения и позволяет решить эту задачу, а также оценить погрешность решения.2) Решена задача построения псевдооптимального (оптимального внекотором смысле) регуляризирующего алгоритма. Эта задача непосредственным образом связана с задачей оптимальной оценки погрешности решения, полученного с помощью этого регуляризирующего алгоритма. Как известно, для большинства обратных задач математической физики (которые являются некорректно поставленными) невозможно оценить погрешность решения, но в ряде случаев возможно введение такого множества априорных ограничений (накладываемых на решение, исходя из его физическихсвойств), что возможно выполнить конечную, так называемую апостериорную, оценку погрешности решения.
В этом случае можнопостроить метод решения задачи, апостериорная погрешность решения которой с помощью этого метода является наименьшей длявсех возможных решений, полученных различными методами. Т.е.решение линейной некорректно поставленной обратной задачи будет заключаться в построении и применении псевдооптимальногорегуляризирующего алгоритма.4Цель работы1) Создание регуляризирующего алгоритма решения некорректно поставленных обратных задач математической физики на множестве ограниченных кусочно-выпуклых функций, а также оценкапогрешности полученного приближённого решения.2) Создание поточечного псевдооптимального регуляризирующего алгоритма решения линейных некорректно поставленных обратныхзадач математической физики на ограниченных выпуклых и уравновешенных множествах и алгоритма вычисления псевдооптимальной апостериорной оценки погрешности решения, полученного спомощью этого алгоритма и метода расширяющихся компактов.Положения, выносимые на защиту1) Метод точек перегиба для решения линейных некорректно поставленных обратных задач математической физики с априорной информацией о принадлежности решения к множеству ограниченных кусочно-выпуклых функций и способ оценки погрешности полученного приближённого решения.2) Численный метод и соответствующий программный комплекс решения прикладной обратной задачи (восстановления функции распределения размеров частиц аэрозоля в атмосфере) с помощьюметода точек перегиба.3) Метод построения поточечного псевдооптимального регуляризирующего алгоритма и способ вычисления псевдооптимальной (поточечной и общей) апостериорной оценки погрешности приближённого решения, полученного с помощью этого метода.4) Многошаговые алгоритмы и соответствующие программные комплексы решения обратной задачи для уравнения теплопроводностии задачи восстановления истинного изображения по дефокусированному.Научная новизнаАвтором впервые был создан метод точек перегиба и поточечный псевдооптимальный регуляризирующий алгоритм решения линейных некорректно поставленных обратных задач математической физики на некоторых специальных множествах и построены методы оценки погрешности полученных приближённых решений.5Теоретическая и практическая значимостьРезультаты, полученные в диссертации, могут быть применены какдля решения рассмотренных в диссертационной работе задач математической физики (задача восстановления функции распределения размеров частиц аэрозоля в атмосфере, обратная задача для уравнениятеплопроводности, задача восстановления истинного изображения подефокусированному), так и для решения многих других прикладныхлинейных некорректно поставленнных обратных задач.
Среди задачматематической физики отметим обратные задачи механики, задачитомографии, обратные задачи астрофизики, обратные задачи геофизики, задачи спектроскопии, обратные задачи линейной оптики, обратные задачи линейной акустики, обратные задачи радиофизики, задачиисследования материалов и дефектов в них, задачи обработки изображений. Описанные в работе методы решения применимы к линейнымобратным некорректно поставленным задачам, встречающимся в перечисленных областях.Личный вклад автораОсновные результаты, полученные в данной диссертационной работе,были впервые получены автором.
Постановка математической задачи ианализ научных результатов проводились под руководством А. Г. Яголы и при совместном обсуждении с Д. В. Лукьяненко. Постановка задачи восстановления функции распределения размеров частиц аэрозоля в атмосфере проводилась совместно с Янфей Ваном из Институтагеологии и геофизики Китайской академии наук. Основное содержание диссертационной работы и её результатов полностью отражено вдевяти научных публикациях автора. В материалах совместных публикаций личный вклад автора является определяющим.Апробация работыОсновные результаты диссертационной работы были представлены: намеждународной конференции «The Second International Workshop onComputational Inverse Problems and Applications» (Китай, Пекин, 12–15 июля 2010 года, Институт геологии и геофизики Китайской Академии Наук); на научном семинаре «Обратные задачи математическойфизики» под руководством А.
Б. Бакушинского, А. В. Тихонравова иА. Г. Яголы, проводящемся в НИВЦ МГУ (28 марта 2012 года и 11 декабря 2013 года); на международной конференции «4th Internationalconference on «Function spaces. Differential operators. General topology.Problems of mathematical education» » (Москва, 25–29 марта 2013 года,6РУДН); на международной конференции «4th International Symposiumon «Inverse problems, Design and Optimization Symposium» » (Франция, Альби, 26–28 июня 2013 года); на международной конференции«The Third International Workshop on Computational Inverse Problemsand Applications» (Китай, Нанчанг, 8–12 июля 2013 года, Восточнокитайский технологический институт); на международной конференции «Методы создания, исследования и идентификации математических моделей» (Новосибирск, Академгородок, 10–13 октября 2013 года); на международной конференции «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» (Новосибирск, Академгородок, 8–13 октября 2013 года); на научном семинаре кафедры математики физического факультета МГУ имени М.
В. Ломоносова под руководством профессора В. Ф. Бутузова (4 декабря 2013 года).ПубликацииПо теме диссертации опубликовано 9 работ, из которых 3 статьи в рецензируемых печатных научных журналах [1–3] и 6 тезисов конференций [4–9]. В журналах из списка ВАК опубликовано 3 статьи [1–3].Структура работыДиссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы (74 наименования). Общий объем работы составляет 122 страниц.Краткое содержание работыВ ПЕРВОЙ ГЛАВЕ рассматривается теория регуляризации на множестве ограниченных кусочно-выпуклых функций и построен метод точек перегиба для задач, численное решение которых сводится к необходимости решать недоопределённые системы линейных алгебраических уравнений (в диссертационной работе в качестве примера применения разработанного метода приведено решение задачи восстановления функции распределения размеров частиц аэрозоля в атмосфере)и переопределённые системы линейных алгебраических уравнений (вдиссертационной работе в качестве примера приведено решение интегрального уравнения с ядром функции Грина).Если предположить, что частицы аэрозоля в атмосфере можноописать шаровыми частицами, показатели преломления вещества которых известны, то соотношение между оптической толщиной рассеянияаэрозолем излучения с определённой длиной волны и функцией рас-7пределения размеров частиц можно описать в интегральном виде:1Z1aero() =Z0 0( )r2Qext(r; ; ) n(r; z ) dzdr:(2)Здесь n r; z dz – функция плотности частиц аэрозоля с радиусами частиц, лежащими в интервале между r и r dr, на высоте z , Qext r; ; –эффективный фактор поглощения излучения с определенной длинойволны частицами аэрозоля по теории Ми, – комплексный показательпреломления, – длина волны излучения, aero – измеряемая с помощью фотометра величина оптической толщины рассеяния аэрозоля.R1Пусть n r0 n r; z dz , уравнение (2) можно переписать в виде:( )=+( )()1aero() = r2Qext(r; ; ) n(r) dr:Z(3)0()В этом случае n r играет роль функции плотности частиц аэрозолярадиуса r в вертикальном сечении атмосферы.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
