Диссертация (1103504), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Для вычисления матричных коэффициентов Rt , ρt и Ct квадратичных и билинейных форм в правой части (2.9), воспользуемся равенствамиследующими непосредственно из формулы Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа:1††††1††e− 2 (a ,Rt a )−(a ,gt ) a e 2 (a ,Rt a )+(a ,gt ) = a + Rt a† + gt ,†††e(a ,Ct a) a e−(a ,Ct a) = e−Ct a,†Te(a ,Ct a) a† e−(a ,Ct a) = eCt a† ,1(2.10)1e 2 (a,ρt a)+(a,f t ) a† e− 2 (a,ρt a)−(a,f t ) = a† + ρt a + f t .1††Используя коммутативность матриц eCt и скалярных операторов e− 2 (a ,Rt a ) , атакже определение матриц канонических преобразований и равенства (2.10),получаем выражения1†††††1†††at = Φt a + Ψt a† + ht = e− 2 (a ,Rt a )−(a ,gt ) e(a ,Ct a) ae−(a ,Ct a) e 2 (a ,Rt a )+(a ,gt ) == e−Ct (a + Rt a† + gt ),1†††Ta†t = Φt a† + Ψt a + ht = e− 2 (a ,Rt a )−(a ,gt ) (eCt a† + ρt e−Ct a + f t )×1†††T×e 2 (a ,Rt a )+(a ,gt ) = eCt a† + ρt e−Ct (a + Rt a† + gt ) + f t .(2.11)Приравнивая матричные коэффициенты при операторах a† , a, находим формулы эволюции (2.5) симметричных матриц Rt и ρt и матрицы CtΨt = e−Ct Rt ,Φt = e−Ct ,Ψt = ρt e−Ct ,TΦt = eCt + ρt e−Ct Rt .(2.12)Векторы со скалярными комплексными компонентами в уравнениях (3.10) удовлетворяют соотношениямht = e−Ct gt , ht = ρt e−Ct gt + f t⇒gt = Φ−1t ht , f t = ht − ρt ht .(2.13)Из первых двух равенств (2.12) и симметричности Rt следуетTT−1 TΦ−1t Ψt = Rt = Rt = Ψt (Φt ) .47(2.14)Поэтому из третьего и четвертого равенств (2.12) вытекает тождествоT−1−1 TT−1 TΦt = (Φ−1t ) + Ψt Φt Ψt = (Φt ) + Ψt Ψt (Φt ) .Действуя справа матрицей ΦTt на обе части этого тождества, получаем одно изсоотношений (2.8):Φt ΦTt − Ψt ΨTt = I.Комплексное сопряжение приводит к равенству Φt Φ∗t − Ψt Ψ∗t = I.

ПоэтомуΦt Φ∗t ≥ I и операторы Φt и Φ∗t обратимы.TДействуя на (2.14) слева оператором Φt и справа (Φ−1t ) получаем равенствоΨt ΦTt = Φt ΨTtили Ψt Φ∗t = Φt Ψ∗t .Аналогичным образом можно показать, что для матриц Φt , Ψt , построенныхвыше, выполнены все канонические коммутационные соотношения (2.8).Следствие 4.

Матрица канонических преобразований eGt задает симплектическое преобразование.Действительно, поскольку выполнены коммутационные соотношения (2.8),то справедливы равенства!(eGt )T0 I Gte =−I 0Φt ΨtΨt Φt!T0 I−I 0!Φt ΨtΨt Φt!!=0 I.−I 0(2.15)Теория симплектических преобразований и связанной с ними симлектическойгеометрией наиболее подробно изложено в [2, 88].В формулировке Леммы 4 остается неизвестной нормировочная функцияst .

Для поиска явного вида этой функции рассмотрим два подхода: первый— прямой, построенный на основе дифференциальных уравнений, и второй —алгебраический, основанный на коммутационных соотношениях.482.3Матричное уравнение Риккати и канонические преобразованияПолучим систему уравнений для Rt , ρt , Ct независимым способом, позволяющим проверить формулы (2.12) и вычислить остающийся неопределеннымпоказатель экспоненты st в (2.9). Для этого понадобится вычисление производной операторозначной экспоненты eCt . Для операторов Ct некоммутирующихсо своей производной ([Ct , Ċt ] 6= 0) Р. Фейнман [60] использовал формулу, связывающую Ċt с правой производной ĊtR этого семейства (дальнейшее обсуждениепроблемы можно найти в [18, 93, 110]):defĊtR =e−Ctd Ctedt1= lim∆t→0 ∆tZ01d −τ (Ct +∆tĊt ) τ Cte =dτedτZ1dτ e−τ Ct Ċt eτ Ct .0(2.16)Циклическая перестановка элементов под знаком следа Tr ABC = Tr CAB вформуле (2.16) доказывает равенство Tr ĊtR = Tr ĊtL = Tr Ċt .Теорема 6.

Пусть A = AT – симметричная и B = B ∗ – эрмитова матрицы.Необходимым условием факторизации (2.9) являются следующие дифференциальные и интегральные уравнения для Rt , правой производной ĊtR матрицeCt , ρt , а также интегральное выражение для нормировочной функции st :Tρ̇t = A + iρt B + iBρt − ρt Aρt , ĊtR = iB − Aρt , e−Ct Ṙt e−Ct = A,f˙t = (iB − ρt A)f t + h − ρt h, −h = Af t − e−Ct ġt ,Z t 1Tr ρτ A + (f τ , Af τ ) + (f τ , h) dτ.st = −20(2.17)где Rt , Ct , ĊtR , ρt – матрицы размера (n × n) , ft , gt – столбцы размера n искаляр st выражаются через матрицы канонических преобразований Φt , Ψt ивектор-столбец ht определенные в (2.5):49Rt =Φ−1t Ψt ,Ct = − ln Φt ,ĊtR = −Φ̇t Φ−1t ,ρt = Ψt Φ−1t ,Φ̇t =AΨt − iBΦt ,Ψ̇t = AΦt − iBΨt , Φ0 = I, Ψ0 = 0,! Z!thtΦτ Ψτf t = ht − ρt ht ,=dτhtΨΦ0ττgt = Φ−1t ht ,!(2.18)h,hДоказательство.Будем искать матрицы Ct и симметричные матрицы Rt , ρt дифференцируяоператор эволюции системы (2.1) и приравнивая матричные элементы квадратичных и билинейных форм от операторов рождения и уничтожения:11dUt = − (a† , Aa† ) + i(a† , Ba) + (a, Aa) − (a† , h) + (a, h) Utdt221 †1d†††Ct= est e− 2 (a ,Rt a )−(a ,gt ) : e(a ,(e −I)a) : e 2 (a,ρt a)+(a,f t )dt111= Ut ṡt + (a, ρ̇t a) + (a, f˙t ) + e− 2 (a,ρt a)−(a,f t ) (a† , ĊtR a)e 2 (a,ρt a)+(a,f t )2111††−e− 2 (a,ρt a)−(a,f t ) e−(a ,Ct a) ( (a† , Ṙt a† ) + (a† , g˙t ))e(a ,Ct a) e 2 (a,ρt a)+(a,f t ) .2(2.19)Воспользуемся следующими коммутационными соотношениями11e− 2 (a,ρt a)−(a,f t ) a† e 2 (a,ρt a)+(a,f t ) = a† − ρt a − f t ,††Te−(a ,Ct a) a† e(a ,Ct a) = e−Ct a† ,defTṘtC = e−Ct Ṙt e−Ct ,а также учтем симметричность матриц Rt , ρt , влекущую за собой симметричность ṘtC .

С их помощью получаем следующие выражения для действия уни-50тарных обкладок на квадратичные и билинейные формы:11e− 2 (a,ρt a)−(a,f t ) (a† , ĊtR a)e 2 (a,ρt a)+(a,f t ) = (a† , ĊtR a) − (a, (ĊtR )T f t ) − (a, ρt ĊtR a),†1†11e− 2 (a,ρt a)−(a,f t ) e−(a ,Ct a) (a† , Ṙt a† )e(a ,Ct a) e 2 (a,ρt a)+(a,f t ) = e− 2 (a,ρt a)−(a,f t )1×(a† , ṘtC a† )e 2 (a,ρt a)+(a,f t ) = (a† − ρt a − f t , ṘtC (a† − ρt a − f t ))= (a† , ṘtC a† ) + (a, ρt ṘtC ρt a) − 2(a† , ṘtC ρt a) − 2(a† , ṘtC f t )+2(a, ρt ṘtC f t ) − Tr ṘtC ρt ,1††1Te− 2 (a,ρt a)−(a,f t ) e−(a ,Ct a) (ġt , a† )e(a ,Ct a) e 2 (a,ρt a)+(a,f t ) = (ġt , e−Ct (a† − ρt a − f t )).(2.20)Подставляя в правую часть (2.19) коммутационные соотношения (2.20) исобирая коэффициенты билинейных форм операторов рождения-уничтоженияодного и того же типа (см.

столбец в правой части формул (2.21)), получимсистему уравнений относительно матриц Rt , Ct , ρt и функции st :A = ρ̇t − ρt C˙tR − (C˙tR )T ρt − ρt R˙tC ρt (coef a ⊗ a),iB = ĊtR + ṘtC ρt (coef a† ⊗ a), A = ṘtCh = f˙ − (Ċ R )T f − ρ ṘC f + ρ e−Ct ġtttttttt(coef a† ⊗ a† )(coef a),(2.21)−h = ṘtC f t − e−Ct ġt (coef a† ),11ṡt + Tr ṘtC ρt − (f t , ṘtC ft ) + (e−Ct ġt , f t ) = 0 (coef I),22которую можно переписать в следующей эквивалентной формеρ̇t = A + iρt B + iBρt − ρt Aρt ,ĊtR = iB − Aρt ,ṘtC = A,f˙t = (iB − ρt A)f t + h − ρt h,(2.22)−h = Af t − e−Ct ġt ,11ṡt + Tr Aρt + (f t , Aft ) + (h, f t ) = 0.22Покажем, что соответствующие матрицы в (2.9), выраженные через матрицы канонических преобразований Леммы 4, являются решениями системыуравнений (2.22).Для доказательства убедимся, что матрицы Φt , Ψt корректно определяют51решение матричного уравнения Риккати (первого уравнения системы (2.22)):−1−1−1−1−1−1ρ̇t = Ψ˙ t Φ−1t − Ψt Φt Φ̇t Φt = A + iBΨt Φt − Ψt Φt AΨt Φt + iΨt Φt B= A + iBρt − ρt Aρt + iρt B.При выводе этого уравнения использовались равенства (2.6) и формула произ−1−1водной обратной матрицы Φ̇−1t = −Φt Φ̇t Φt .Используя определение правой производной ĊtR , получимĊtR−Ct=ed Ctedt= Φtd −1Φdt t−1= −Φ̇t Φ−1t = −(AΨt − iBΦt )Φt= iB − Aρt .Далее, используя (2.7) и коммутационные свойства (2.8) матриц каноническихпреобразований Ψt ΦTt = Φt ΨTt и Φt ΦTt − Ψt ΨTt = I, покажем выполнение третьего уравнения системы (2.22)T−1−1TṘtC = e−Ct Ṙt e−Ct = Φt (Φ−1t Ψ̇t − Φt Φ̇t Φt Ψt )ΦtTT−1T= (AΦt − iBΨt − (AΨt − iBΦt )Φ−1t Ψt )Φt = A(Φt Φt − Ψt Φt Ψt Φt ) = A.Осталось показать справедливость уравнений системы (2.22) для столбцовg, f t , определенных по формулам (2.18):d −1(Φt ht ) = A(ht − ρt ht ) − ḣt + Φ̇t Φ−1t htdt−1= Aht − AΨt Φ−1t + iBht − Aht − h + AΨt Φt − iBht = −h,Af t − e−Ct ġt = A(ht − ρt ht ) − Φtf˙t = h˙t − ρ̇t ht − ρt ḣt = iBht + Aht + h − ρ̇t ht + iρt Bht − ρt Aht − ρt h= (iB − ρt A)ht + (A − A − iρt B − iBρt + ρt Aρt + iρt B)ht + h − ρt h= (iB − ρt A)(ht − ρt ht ) + h − ρt h = (iB − ρt A)f t + h − ρt h.При проверке последних равенств использовалась формула для производнойвектора столбца ht , следующая из (2.3):ḣt = −iBht + Aht + h,а в последней цепочке равенств использовано первое уравнение системы (2.22).Теорема доказана.52Следует отметить, что по сравнению с подходом, предложенным в предыдущем параграфе из (2.22) вытекает явное выражение (2.17) для свободногочлена st нормального упорядоченного разложения Ut .Несмотря на внешнее сходство Теоремы 6 и Леммы 2 Главы 1 между нимисуществует одно важное отличие: в Лемме 2 оператор Ct коммутирует со своейпроизводной, а в Теореме 6 это условие не обязательно выполнено, что потребовало использовать в доказательстве формулы Фейнмана для правой производной.

По-видимому, именно математические трудности с вычислением производных семейств некоммутирующих операторов не позволили включить оператортипа числа частиц в определение сжатого состояния авторам [53,83,84,89,96,105]в 80е-90е годы.Комментарий 3. В условиях Теоремы 6 дифференциальные уравнения можнозаменить на уравненияṘt = A + iBRt + iRt B − Rt ARt ,ĊtL = iB − Rt A,Tρ̇t = eCt A eCt ,Rt |t=0 = CtL |t=0 = ρt |t=0 = 0,TTh = ġt − iBgt − Rt e−Ct f˙t , h = Agt + e−Ct f˙t ,Z t 1st = −Tr Rτ A − (gτ , Agτ ) + (gt , h) dτ.,20(2.23)где левая производная оператора Ct определяется аналогичным образом, чтои правая производнаяĊtL=Z 1Z 1d τ (Ct +∆tĊt ) −τ Ct1d Ct −Ctee= limdτ ee=dτ eτ Ct Ċt e−τ Ct ,∆t→0 ∆t 0dtdτ0при этом ее утверждение останется верным.

Равенство выражений для stв (2.22) и (2.23) было также проверено численно для случайных A, B и h (см.соответствующую программу на языке Mathematica в приложении).532.4Обратные канонические преобразованияОбратные канонические преобразования, генерируемые унитарным оператором U−t = e−iHt можно записать в видеaa†!a−ta†−t→!!aUt =a†def=U−tΦ−t Ψ−tΨ−t Φ−t!aa†!!+h−t,h−t(2.24)начальные условия Φ0 = I, Ψ0 = 0, h0 = 0.По аналогии с пунктом 2.1 и заменой H → −H, получаемΦ−t Ψ−tΨ−t Φ−t!=eiB−A−A−iBth−th−t= e−Gt ,!Z=0tΦ−τ Ψ−τΨ−τ Φ−τ!dτ!h.hТаким образом, можно записать дифференциальные уравнения для матрицобратных канонических преобразованийΦ̇−t = −AΨ−t + iBΦ−t = −Ψ−t A + iΦ−t B,˙ = −AΦ − iBΨ = −Φ A + iΨ B.Ψ−t−t−t−t−t(2.25)С другой стороны, из (2.6) вытекает следующая система дифференциальныхматричных уравненийΦ̇∗t = −AΨ∗t + iBΦ∗t ,−Ψ̇∗t = −AΦ∗ t − iBΨ∗t ,(2.26)которая совпадает с системой (2.25), если заменить Φ−t на Φ∗t и Ψ−t на −ΨTt .Поскольку начальные условия систем (2.25) и (2.26) совпадают и их решениеединственно, то справедливы следующие равенства, связывающие прямые иобратные канонические преобразованияΦ−t = Φ∗t ,Ψ−t = −ΨTt .(2.27)Таким образом, оператор e−Gt в терминах канонических преобразований имеетвид!∗TΦt −Ψte−Gt =.(2.28)−Ψ∗t ΦTt54Поскольку семейство операторов eGt коммутирует с e−Gt , то справедливыследующие коммутационные соотношения между прямыми и обратными матрицами канонических преобразований:e−Gt eGt =Φ−t Ψ−tΨ−t Φ−t!Φt ΨtΨt Φt!==Φ∗t−Ψ∗t−ΨTtΦTt!!Φ∗tΦt ΨtΨt Φt−Ψ∗tΦt ΨtΨt Φt!−ΨTtΦTt!=!=I 0.0 I(2.29)Найдем выражения для векторов h−t , h−t через вектора ht , ht (см.

Характеристики

Список файлов диссертации