Диссертация (1103504), страница 11
Текст из файла (страница 11)
. . , xbn , pb1 , pb2 , . . . pbn )T .Из коммутационных соотношений для операторов xbi и pbj следует неравенство Шредингера–Робертсона (см. [13, 98]):!iV + J ≥ 0,2J=0 I.−I 0(2.70)Помимо неравенства Шредингера-Робертсона, ковариационные матрицы могут быть приведены к диагональной форме согласно следующей теореме — теореме Вильямсона [112].Теорема 8. (теорема Вильямсона) Любая положительно определенная симметричная 2n × 2n действительная матрица M = M T , может быть приведена к диагональному виду симплектическим преобразованием:!M = STΛ 0S,0 ΛSJS T = J,(2.71)!0 I, матрица Λ = Diag(λ1 , .
. . , λn ) является диаго−I 0нальной, причем множество {±λi } совпадает с собственными значениямиматрицы iJM и называется симплектическим спектром матрицы M .где матрица J =Подробное доказательство теоремы может быть найдено в [58], [26, ГлаваV], [88, Глава 8].Из определения ковариационной матрицы (2.69) следует, что она удовлетворяет условиям теоремы Вильямсона. Используя (2.68), перепишем матрицу Vявным образом через матрицы канонических преобразованийV =12(Φt + Ψt )(Φ∗t + ΨTt )i[(Ψt − Φt )(ΨTt + Φ∗t ) +Ψt )(Φ∗ti[(Φt +I](Ψt −73− ΨTt ) −Φt )(ΨTt − Φ∗t )!I],(2.72)тогда симплектическим разложением матрицы V является разложение1V =2X−XY−Y X Y XY + X −1!1= S T S,2!X 1/2 −Y X 1/2,0X −1/2S=(2.73)где матрица S является симплектической, матрицы X, Y определены через матрицы канонических преобразований следующим образомX = (Φt + Ψt )(Φ∗t + ΨTt ),Y = i[X−1−(Φ∗t+ΨTt )−1 (Φ∗t−(2.74)ΨTt )].Разложение (2.73) справедливо, поскольку из ККС (2.8) следуют равенстваX = Φt Φ∗t + Φt ΨTt + Ψt Φ∗t + Ψt ΨTt = Ψt Ψ∗t + I + Ψt ΦTt + Φt Ψ∗t + Φt ΦTt − I= (Φt + Ψt )(Φt + Ψ∗t ) = X T ,а также Y = Y T поскольку(Φ∗t − ΨTt )(Φt + Ψt ) = (Φ∗t + ΨTt )(Φt − Ψt ).Все матрицы, входящие в разложение (2.73), корректно определены, посколькуX > 0.Осталось показать, что матрица S является симплектической:1/2SJS T =X01/2−X YX −1/2!0 I−I 0!1/2!X0=−Y X 1/2 X −1/2!0 I== J.−I 0Важным применением теоремы Вилльямсона в теории квантовой информации является вычисление энтропии фон Неймана для гауссовского состояния ρ,которая по определению [22, 27] равнаdefS(ρ) = −Tr (ρ log2 ρ).(2.75)Формула энтропии фон Неймана гауссовского состояния была получена А.С.Холево, М.
Сома (M. Sohma) и О. Хирота (O. Hirota) [68], [27, Глава 11, с. 276]74через собственные симплектические значения ковариационной матрицы V :S(ρ) =nXh(µi ),(2.76)1111defh(b) = (b + ) log(b + ) − (b − ) log(b − ),2222(2.77)i=1где ρ – гауссовское состояние, {µi }– симплектический спектр матрицы V .Энтропия состояния ρ = e−iHt |0ih0|eiHt по формуле (2.76) равна 0, поскольку все его сиплектические собственные значения согласно (2.73) равны 21 . Этоочевидно, так как состояние ρ = e−iHt |0ih0|eiHt является чистым.Рассмотрим случай, когда матрицы Φt и Ψt состоят из действительных элементов.
Тогда, согласно (2.8)(Φt + Ψt )(Φ∗t − ΨTt ) − I = 0,(Ψt − Φt )(ΨTt + Φ∗t ) + I = 0.Таким образом, матрицу V можно переписать в виде1V =2(Φt + Ψt )(Φt + Ψt )T00(Ψt − Φt )(Ψt − Φt )T!.(2.78)Комментарий 4. Ковариационные матрицы (2.68) в случае |ψi = eiHt |0i всоответствии с (2.27) равны:1hxb⊗xb i = [(Φ−t + Ψ−t )(Φ∗−t + ΨT−t ) + (h−t + h−t )(h−t + h−t )T ]21 ∗= [(Φt − Ψ∗t )(Φt − Ψt ) + (h−t + h−t )(h−t + h−t )T ],21h pb ⊗ pb i = [(Ψ−t − Φ−t )(ΨT−t − Φ∗−t ) − (h−t − h−t )(h−t − h−t )T ]21= [(Φ∗t + Ψ∗t )(Φt + Ψt ) + (h−t − h−t )(h−t − h−t )T ]21hxb ⊗ pb i = [(Φ−t + Ψ−t )(ΨT−t − Φ∗−t ) + (h−t + h−t )(h−t − h−t )T ]2i1= [(Ψ∗t − Φ∗t )(Ψt + Φt ) + (h−t + h−t )(h−t − h−t )T ],2i1h pb ⊗ xb i = [(Φ−t − Ψ−t )(Φ∗−t + ΨT−t ) + (h−t − h−t )(h−t + h−t )T ]2i1= [(Φ∗t + Ψ∗t )(Φt − Ψt ) + (h−t − h−t )(h−t + h−t )T ],2i75(2.79)а соответствующая ковариационная матрица V имеет вид!i[(Φ∗t − Ψ∗t )(Φt + Ψt ) − In ](Φ∗t − Ψ∗t )(Φt − Ψt ),i[(Ψ∗t + Φ∗t )(Ψt − Φt ) + In ](Ψ∗t + Φ∗t )(Ψt + Φt )1V =2(2.80)Как и следовало ожидать выражение (2.79) совпадает с (1.16) в случаеравенства нулю элементов матрицы B и вектора-столбца h гамильтониана(2.1).2.10Класс точно решаемых задачВ Главе 1 были получены явные выражения для матриц Φt , Ψt (см.
формулу (1.5)) в случае отсутствия в гамильтониане (2.1) операторов числа частици линейной части по операторам рождения-уничтожения. В общем случае этодовольно сложная вычислительная задача, поскольку приходится искать матричную экспоненту от матрицы G (2.4). Но в некоторых случаях ее удаетсявычислить аналитически.
О нетривиальном примере идет речь в настоящемпараграфе.Рассмотрим гамильтониан (2.1) такой, что матрица G имеет обратную и,таким образом, все матрицы в (2.45) могут быть записаны явным образом втерминах G и элементов спектрального разложения эрмитовой матрицы D =AA − B 2 .Предположим, что матрица D = AA − B 2 не вырождена и при этом выполнено коммутационное соотношение BA = AB. В этом случае выполнены2равенства B A = AB, BAA = AB A = AAB и AB 2 = BAB = B A, которыепозволяют вычислить различные степени матрицы GDn 0n0 DG2n =!,G2n+1 = GИз (2.81) следует, что G2 =−2матрицы G=AA − B(AA − B 2 )−1!Dn 0n0 D2=20!G.(2.81)!00Dn 0n0 DAA − B!не вырождена. Более того,12 −1и G− 2 корректно определены0(AA − B )в терминах спектрального разложения D, а значит справедливы следующие76выраженияΦt ΨtΨt ΦteGt =11!D− 2 sinh D 2 t=G0!0D− 121+−1−iD BG−1 = G−2 G =A iBiB −A!zzD!−1A=−1D AiDB!A iBiB −A!cosh D 2 t00cosh D 2 t,1!−1+1sinh D 2 t−iBD−1AD−1!,−1AD−1 iB D!!−iB AhG−2=A iBh!!0 Ih=.h−I 0=(2.82)Следует отметить, что коммутационное соотношение[AA, B] = 0,(2.83)не требует коммутации операторов A и B, но если AA имеет простой спектр,то BA = AB.
В самом деле, поскольку [AA, B] = 0, то матрицы AA и Bдолжны иметь совместную систему спектральных проекторов {bπk } такую, чтовыполнены равенстваAA =Xbk ,d2k πB=kXXλk πbk ,kπbk = I,πbk = πbk∗ ,πbk πbj = Iδkj ,kгде d2k и λk являются собственными значениями операторов AA и B соответственно, а πbk их общими спектральными проекторами. Если все {d2k }n1 различны,то существует многочленf (d) =XkλkY d − d2Xm=fk dk ,22dk − dmdm 6=dkfk = fk (λ, d) ∈ C,d ∈ R+ ,kпри этом f (d2k ) = λk , и равенство f (AA) = B следует из равенстваf (AA)bπk = f (d2k )bπk = λk πbk .77Поэтому выполнено коммутационное соотношениеAB = AXkfk (AA) =kXfk (AA)k A = B A(2.84)kявляется следствием (2.83) для матриц AA с простым спектром.Если же спектр AA вырожден (например, в случае A = AA = I) и B 6= B,то (2.84) очевидным образом не выполнено.
С другой стороны, соотношение(2.84) справедливо для матриц A таких, что вырожденность спектра матрицыAA больше либо равно вырожденности спектра B, поскольку в этом случаеполиномиальное представление B = f (AA) остется корректно определенным иудовлетворяет равенству BA = AB (см. [70, параграф. 4.4]).Связь между сингулярным разложением эрмитовой матрицы AA = U ∗ |D|2 U(матрица U унитарна, D произвольная диагональная матрица), и матрицей Aследует из модифицированного разложения Такаги (см. [66]): A = U ∗ DU . Длявыполнения (2.83) предположим, что B = U ∗ ΛU с той же унитарной матрицей U и произвольной диагональной матрицей Λ с действительными коэффициентами.
Таким образом A симметричная, а B эрмитова матрицы, AA и Bкоммутируют, оператор AA определяет A с точностью до фазового множителядиагональной матрицы D.В качестве примера нетривиальных матриц, для которых может быть проведена процедура, описанная в текущем параграфе, приведем следующие матрицы A, B:A=!i 0,0 i1B=278!0 −i.i 0Глава 3Приложения к физическим моделямВ настоящей главе рассматриваются задачи квантовой оптики, допускающие точные решения с помощью методов вторичного квантования и связанные соптическими параметрическими процессами. На базе метода канонических преобразований, описанного в предыдущих главах, строится явный вектор состояния в представлении взаимодействия квантовых оптических взаимодействий.Их статистические, энтропийные и информационные характеристики, которыедают возможность проанализировать свойства сцепленности (перепутанности),генерируемых в процессах, состояний.3.1Квантово-оптические взаимодействияПредметом данного параграфа является применение подхода, основанногона канонических преобразованиях, для нахождения вектора состояния и оператора плотности многомодового электромагнитного поля, формируемого в связанных параметрических процессах.
Такого рода процессы реализуется в задачах нелинейной и квантовой оптики (см., например, [16,24,44,59,85]) и являютсяисточниками сцепленных (перепутанных) многофотонных состояний, которыерассматриваются в квантовой информации в связи с квантовыми телепортационными сетями, сверхплотным квантовым кодированием и квантовым распределением ключей [62, 113, 115].Вычисление вектора состояния в фоковском представлении, как правило,связанно с разложением оператора эволюции на более простые составляющие(в частности, приведение к нормально упорядоченному виду). Наиболее общим и традиционным подходом к этой проблеме является метод Вея-Нормана[106, 107].
К настоящему времени этот подход применен в квантовой оптике79для анализа обычных, несвязанных параметрических процессов (см., например, [104]), для двух связанных процессов, включающих процесс параметрического преобразования частоты вниз и процесс генерации суммарной частоты [24, 44, 59] (результат работы [24] воспроизведен в [52]). Получение выражения для вектора состояния многомодового запутанного яркого поля для трехи большего числа связанных параметрических процессов сталкивается со значительными трудностями при использовании метода Вея-Нормана, что былоуказанно во Введении настоящей диссертации.Задачи с большим числом взаимодействующих мод, в частности, возникают при реализации процессов спонтанного параметрического рассеяния в полелазерной накачки сверхкороткой длительности [32] и в поле пространственномодулированной накачки [47].
Как будет показано далее, эту проблему можнообойти, используя канонические преобразования.3.1.1Трехмодовое фотонное состояние в нелинейномоптическом кристаллеРассмотрим следующие связанные нелинейно оптические взаимодействия[44]:ωp = ω1 + ω2 , ω2p = 2ωp = ω2 + ω3 , ω1 + ωp = ω3 .(3.1)где ωp , ω2p – частоты накачки, а частоты ω1 , ω2 , ω3 генерируемые в процессечастоты.В (3.1) первый и третий процессы являются невырожденными параметрическими преобразованиями частоты вниз, а второй процесс представляет смешение частот.В [44] было показано, что этот процесс может быть осуществлен в нелинейном апериодическом фотонном кристалле в следующих предположениях: вопервых, взаимодействующие волны являются плоскими и монохроматическими, распространяющимися вдоль оси кристалла z; во-вторых, предполагается,что интенсивность волн накачек Ap (z), A2p (z) постоянными и классическими.Эти предположения приводят к тому, что гамильтониан взаимодействия рассматриваемой системы, может быть записан в следующем виде:Hint = i~[β1 (a†1 a†2 − a1 a2 ) + β2 (a†2 a†3 − a2 a3 ) + γ(a1 a†3 − a†1 a3 )],80(3.2)где a†j , aj , (j = 1, 2, 3) операторы рождения и уничтожения фотонов с частотамиωj ; β1,2 – нелинейные коэффициенты связи соответствующие процессам преобразования частоты вниз, γ – нелинейный коэффициент связи соответствующийпреобразованию частоты вверх.Гамильтониан взаимодействия (3.2) является частным случаем оператора(2.1) без линейной части по операторам рождения-уничтожения со следующиминенулевыми элементами матриц A и B:A12 = A21 = β1 , A23 = A32 = β2 , B13 = −B31 = −iγ.Используя систему аналитических вычислений, находим матрицы канонических преобразованийΦt = M11 (t)0M13 (t)0M22 (t)0 ,M31 (t)0M33 (t)0M12 (t)0Ψt = M21 (t)0M23 (t) , (3.3)0M32 (t)0где Mij являются функциями от времени tM11 (t) =M13 (t) =M22 (t) =M31 (t) =M33 (t) =β2 γ(1 − C(t)) β1 S(t)(β12 − γ 2 )C(t) + β22,M(t)=−,12Γ2Γ2Γβ1 β2 (C(t) − 1) γS(t)β2 γ(C(t) − 1) β1 S(t)+,M(t)=−,21Γ2ΓΓ2Γβ1 γ(1 − C(t)) β2 S(t)(β12 + β22 )C(t) − γ 2,M(t)=−,23Γ2Γ2Γβ1 β2 (C(t) − 1) γS(t)β1 γ(C(t) − 1) β2 S(t)−,M(t)=−,32Γ2ΓΓ2Γ(β22 − γ 2 )C(t) + β12,Γ2(3.4)здесь для упрощения введены следующие обозначенияqΓ = β12 + β22 − γ 2 ,C(t) = cosh (Γt),S(t) = sinh (Γt),а также матричные элементы (3.4) удовлетворяют следующим равенствам, вы-81текающим из канонических коммутационных соотношений (2.8):222M22= 1 + M12+ M32,M11 M33 − M13 M31 = M22 ,M21 M33 − M23 M31 = M12 ,M11 M23 − M13 M21 = M32 .(3.5)Таким образом, можно осуществить переход к новым функциям2M22cosh δ1 (t) =2 ,1 + M3222M12sinh δ1 (t) =2 ,1 + M3222sinh 2 δ2 (t) = M32.(3.6)Вычислим |ψ(t)i, предполагая, что в начальный момент система находиласьв вакуумном состоянии |ψ(0)i = |0i1 ⊗ |0i2 ⊗ |0i3 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
