Диссертация (1103504), страница 7
Текст из файла (страница 7)
В частности, если матрица B = 0, то Φ0,A = ΦA,0 = ΦA , Ψ0,A = ΨA,0 = ΨA ,поэтому RA,0 = R0,A = Rt и получаем результат (1.21).1.8Базис сжатых состоянийВ заключение главы опишем процедуру построения ортонормированных систем сжатых состояний. Пусть набор линейно независимых сжатых состоянийBN = { | gn , An i }N1 задан в том смысле, что определитель Грамма системы векторов BN не вырожден det W = det h gk , Ak | gn , An i 6= 0. Так как эрмитоваматрица W положительно определена, то W ∗ = W , W = W T и существует111эрмитова матрица W − 2 > 0, такая, что W − 2 W W − 2 = I.
Рассмотрим новуюсистему векторовdefψk =X−1W k,n2 | gk , Ak i =jX−1Wn,k2 | gn , An i.(1.45)jТеорема 5. Набор векторов { ψk } образует ортонормированную систему.Доказательство. Утверждение теоремы проверяется вычислением скалярногопроизведенияhψm , ψk i =X− 12− 21W i,m Wj,k h gi , Ai | gj , Aji=X− 12Wm,i− 21Wi,j Wj,k= δmk .i,ji,jТаким образом, формулы (1.43) и (1.45) позволяют свести построение ортонормированного базиса сжатых состояний к стандартной задаче линейной алгебры.1.9Диагонализация многомодовых сжатий с помощью факторизации ТакагиДля диагонализации многомодовых сжатий может быть использована факторизация Такаги симметричных матриц (см., например, [42]):A = UA ΛUAT ,1UA = U (U ∗ V ) 2 ,40(1.46)где Λ ≥ 0—диагональная матрица, а U и V унитарные матрицы такие, чтоA = U ΛV ∗(1.47)—разложение матрицы A по сингулярным числам (т.
н. singular value decompositionили SVD). Если разложение (1.46) построено, то существует эрмитова матрицаL такая, чтоUA = eiL ,L = L∗ ,††UAT a† = eiL a† = ei(a ,La) a† e−i(a ,La) .UAT = eiL ,Поэтому квадратичная форма (a† , Aa† ) равна(a† , Aa† ) = (UAT a† , ΛUAT a† ) = (eiL a† , ΛeiL a† ) =††††††= (ei(a ,La) a† e−i(a ,La) , Λei(a ,La) a† e−i(a ,La) ) = ei(a ,La) (a† , Λa† )e−i(a ,La) ,так как матрицы со скалярными коэффициентами коммутируют с операторамиNL†l2 . Аналогично,e±i(a ,La) , действующими в1††UA∗ a = e−iL a = ei(a ,La) ae−(a ,La) ,(1.48)и из разложения Такаги (1.46) следует††††(a, Aa) = (UA∗ a, ΛUA∗ a) = (ei(a ,La) ae−i(a ,La) , Λei(a ,La) ae−i(a ,La) ) =††= ei(a ,La) (a, Λa)e−i(a ,La) ,††(a† , h) = (UAT a† , UA∗ h) = ei(a ,La) (a† , UA∗ h)e−i(a ,La) ,††(a, h) = (UA∗ a, UAT h) = ei(a ,La) (a, UA∗ h)e−i(a ,La) .Таким образом, если известна факторизация Такаги симметричной матрицы A, то многомодовый оператор сжатия унитарно эквивалентен суперпозициикоммутирующих сжатий:e−i(a† ,La)e11 †††2 (a,Aa)+(h,a)− 2 (a ,Aa )−(h,a )i(a† ,La)e=NY12† 2e 2 (an −(an ))Λn +µn an −a†n µnn=11где L = L∗ = −i ln[U (U ∗ V ) 2 ] -эрмитова матрица, и µ = e−iL h ∈ CN .41,(1.49)Нормальная форма оператора (1.49), как следствие, с учетом линейных поa, a† членов (2.9), равна12† 2e[ 2 (an −(an )(n)где Rt)Λn +µn an −µn a†n ]t(n)= Rt(n)µtµnt= th Λn t > 0,!(n)† 21= est e− 2 (an )(n)Φt(n)= cosh Λn t,=(n)gt(n)est(n)Rt −gt a†n0 11(cosh Λn t − 1)Λn1 0(n)(n)Ψt− sinh Λn t(n))−1)1 2(n): e 2 an Rt(n)+f t an,= sinh Λn t,!(n)= (cosh Λn t)−1 µt ,(n) −1†: ean an ((Φt1 00 1!(n)!µ,µ(n)(n)ft = µt − (th Λn t) µt , Zt Λ21n (n)(n)=√fs + fs µn ds ,exp −2cosh Λn t0причем оба интеграла здесь могут быть вычислены явно.
Вывод формул такоготипа в общей ситуации подробно рассматривается в следующей главе в §2.3(Теорема 6).42Глава 2Нормальная факторизация операторов эволюцииквадратичных гамильтонианов и её следствияВ настоящей главе рассматривается многомерное обобщение формулы нормально упорядоченной факторизации унитарного оператора многомодовой системы, которая позволяет связать различные представления сжатых состояний,вычислять частичный след, средние значения наблюдаемых и их дисперсии.Основные результаты, как и в предыдущей главе, получены на основе метода канонических преобразований, представляющего удобный математическийаппарат, обладающий устойчивостью при численных оценках.Метод канонических преобразований позволяет свести построение нормальной факторизации к решению линейной системы ОДУ, фактически,к нахож!−iB At, где A — симметдению функций блочных матриц вида eGt = expA iBричная, а B — эрмитова матрицы, задающие оператор многомодового сжатия.Преимущество этого подхода состоит в том, что при его использовании не требуется решать какие-либо задачи, кроме задач линейной алгебры.Трудности, возникающие при прямом выводе уравнений для матричныхкоэффициентов, определяющих матричные элементы билинейной формы нормальной факторизации, связаны с необходимостью вычисления производных отэкспонент неизвестных некоммутирующих операторов и решения нелинейного интегрального уравнения.
Проблему можно обойти, выразив коэффициентыквадратичных и билинейных форм нормальной факторизации через матрицыканонических преобразований Φt , Ψt . Преимущество этого подхода состоит втом, что он позволяет вывести простое уравнение для st , решение которого вряде важных случаев явно выражается через Φt , Ψt и A, B.В качестве модельного гамильтониана системы будет рассматриваться об43щий вид квадратичного по операторам рождения и уничтожения самосопряженного оператораiiH = (a† , Aa† ) + (a† , Ba) − (a, Aa) + i(a† , h) − i(a, h),22(2.1)где A является симметричной размера (n × n) матрицей, черта означает комплексное сопряжение, B эрмитова (n × n) матрица, a† = (a†1 , .
. . , a†n )T и a =(a1 , . . . , an )T столбцы из операторов рождения и уничтожения соответственносо стандартными бозонными коммутационными соотношениями [ai , a†j ] = δij ,[ai , aj ] = [a†i , a†j ] = 0, где δij символ Кронекера, скалярное произведение (u, v) =nPuk vk для любых двух произвольных размера n столбцов u и v. Случай B = 0k=1и h = 0 рассматривался в Главе 1.2.1Канонические преобразованияРассмотрим определение канонического преобразования аналогичное (1.4),порождаемого гамильтонианом (2.1):aa†!→ata†t!!def=UtaUt−1 =†aΦt ΨtΨt Φt!aa†!!+ht,ht(2.2)где Ut = eiHt и выполнены начальные условия Φ0 = I, Ψ0 = 0,! h0 = 0.−iB AdefВыразим матрицы Φt и Ψt через матрицу G =. Учитывая комA iBмутационные соотношения для гамильтониана (2.1)i[H, a] = Aa† − iBa + h, i[H, a† ] = Aa + iBa† + h,!!!aahi[H, † ] = G † +,aahи используя свойство коммутацией матриц A и B ∈ M(n) с операторами видаeiHt ∈ B(`2 ), уравнения для эволюции операторов a†t , at можно переписать в44видеȧt˙a†t!ata†t=G!!h,h+!at =a†t t=0!a.a†(2.3)˙ a + h˙ , ȧ =При этом, в силу (2.2), справедливы равенства ȧ†t = Φ˙ t a† + Ψttt†Φ̇t a + Ψ̇t a + ḣt .
Откуда следует, чтоȧtȧ†t!Φ̇t Ψ̇t˙ Φ˙Ψtt=!aa†!+ḣth˙!t!Φt Ψt=GΨt Φtaa†!+htht!+!h.hПриравнивая коэффициенты при операторах a, a† в левой и правой частях этойсистемы, получаем выражение для матриц канонических преобразований (2.2)и выражение для вектора сдвига ht :Φt ΨtΨt Φt!=eGt−iBAAiBdefththt,2!Zt=0Φτ ΨτΨτ Φτ!dτ!heGt − I=Gh!h,h(2.4)3где матрица e G−I = tI + t2! G + t3! G2 + . . . остается корректно определенной идля любых вырожденных матриц G.
Таким образом, (2.2) можно переписать ввиде!!!!!Gtaat defaahe−I→Ut−1 = eGt.(2.5)= Ut+†††Ghaataa†Поскольку группа eGt коммутирует с своим генератором G, то справедливыкоммутационные соотношения!!AΨt − iBΦt AΦt − iBΨt=AΦt + iB Ψt AΨt + iB Φt!!!Ψt A − iΦt B Φt A + iΨt BΦt Ψt−iB A=.Φt A − iΨt B Ψt A + iΦt BΨt ΦtA iB−iB AA iB=!Φt ΨtΨt Φt=Из этих соотношений следует система уравнений для матриц канонических преобразований, выраженная через матрицы A, B, определяющие гамильтониан45системы˙ = AΦ + iBΨ = Φ A − iΨ B,ΨtttttΦ̇t = AΨt − iBΦt = Ψt A − iΦt B,(2.6)a также сопряженная система дифференциальных уравненийΦ˙ t = AΨt + iBΦt = Ψt A + iΦt BΨ̇t = AΦt − iBΨt = Φt A + iΨt B,(2.7)с начальными условиями Φ|t=0 = I, Ψ|t=0 = 0.Следует отметить, что некоторые частные алгебраические выражения вида(2.2) были получены в [17].2.2Коммутационные соотношения матриц каноническихпреобразований и формула факторизации унитарногооператораВ предыдущей главе коммутационные соотношения для матриц канонических преобразований (1.13) были выведены исходя из их определения для гамильтонианов без линейной части по операторам рождения и уничтожения.Аналогичную процедуру можно провести и в случае гамильтониана (2.1), врезультате получим следующие канонические коммутационные соотношения(ККС):Φt Φt ∗ − Ψt Ψt ∗ = Φt Φt T − Ψt Ψt T = Φt ∗ Φt − Ψt T Ψt = Φt T Φt − Ψt ∗ Ψt = I,Φt Ψt T − Ψt Φt T = Φt Ψt ∗ − Ψt Φt ∗ = Φt ∗ Ψt − Ψt T Φt = Φt T Ψt − Ψt ∗ Φt = 0.(2.8)Вычислим нормально упорядоченную форму оператора эволюции eiHt .Лемма 4.
Матрицы Ψt и Φt , определенные уравнениями (2.5), связаны с параметрами нормально упорядоченной формы оператора эволюции Rt , Ct и ρtследующими соотношениями:Ψt = e−Ct Rt ,ρt = e−Ct Rt eC t = Ψt Φt1†−1Φt = e−Ct ,= ρt T ,††gt = Φ−1t ht , f t = ht − ρt ht .†Ut = est e− 2 (a ,Rt a )−(a ,gt ) : e(a ,(e46TRt = Φ−1t Ψt = Rt ,Ct−I)a)1: e 2 (a,ρt a)+(a,f t ) ,(2.9)где вектора-столбцы ht , ht определяются с помощью канонических преобразований (2.2).Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
