Кинетическая теория неравновесных процессов в системах диссипативных частиц (1103384), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Äëÿ âÿçêîóïðóãèõ ÷àñòèö χ èìååò áîëåå ñëîæíóþçàâèñèìîñòü; ïðè îòñóòñòâèè äèññèïàöèè χ = 1.7Ãëàâà 2ïîñâÿùåíà èññëåäîâàíèþ îäíîêîìïîíåíòíîãî ãðàíóëÿðíîãîãàçà. ðàçäåëå 2.1 èçó÷àåòñÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ÷àñòèö ãàçà ïî ñêîðîñòÿì. Ðàññìîòðåíèå íà÷èíàåòñÿ ñ ãðàíóëÿðíîãî ãàçà, íå ïîäâåðæåííîãîâîçäåéñòâèþ âíåøíèõ ñèë. Ñ òå÷åíèåì âðåìåíè äâèæåíèå ÷àñòèö, ñîñòàâëÿþùèõ ãàç, ïîñòåïåííî çàìåäëÿåòñÿ, à ãðàíóëÿðíàÿ òåìïåðàòóðà óìåíüøàåòñÿ: Ṫ = −ξT , ãäå ξ - êîýôôèöèåíò îõëàæäåíèÿ. Ïðèâåäåííàÿ ãðàíóëÿðíàÿ òåìïåðàòóðà çàâèñèò îò âðåìåíè ñëåäóþùèì îáðàçîì:u (τ ) = (τ /τ0 )−5/3 + u1 δ (τ /τ0 )−11/6 , u1 ' 3.28 , τ0−1 ' 0.55δ ,(8)ãäå âðåìÿ τ âûðàæåíî â åäèíèöàõ âðåìåíè ñâîáîäíîãî ïðîáåãà τc (0) âíà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t = 0:τc−1 (t)√p= 4 πg2 (σ)σ n T (t)/m(9)2Ñ óìåíüøåíèåì u(τ ) êîýôôèöèåíò âîññòàíîâëåíèÿ ε âîçðàñòàåò, ñîãëàñíî (3), à â ïðåäåëå τ → ∞, u → 0 è ñîóäàðåíèÿ ÷àñòèö ïðèáëèæàþòñÿïî ñâîèì ñâîéñòâàì ê àáñîëþòíî óïðóãèì.Ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ÷àñòèö äèññèïàòèâíîãî ãàçà ïî ñêîðîñòÿì óäîáíî çàïèñûâàòü â áåçðàçìåðíîì âèäå:f (~v , τ ) =n ˜f (~c, τ ) ,vT3(10)ãäå f˜(~c, τ ) - ïðèâåäåííàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïî áåçðàçìåðíûì ñêîðîñòÿì ~c = ~v /vT , äëÿ êîòîðîéèñïîëüçóþò ðàçëîæåíèå ïî îðòîãîíàëüíûì2ïîëèíîìàì Ñîíèíà Sp c (÷àñòíûé ñëó÷àé ïðèñîåäèíåííûõ ïîëèíîìîâËàãåððà):f˜(~c, τ ) = π −3/2 exp(−c2 ) 1 +∞X!ap (τ )Sp (c2 ),(11)p=1Êîýôôèöèåíòû â ðàçëîæåíèè ap õàðàêòåðèçóþò ñòåïåíü îòêëîíåíèÿ f˜(~c, t)îò ìàêñâåëëîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.

Ïðè ýòîì a1 = 0, ÷òî ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ ãðàíóëÿðíîé òåìïåðàòóðû, à ýâîëþöèÿ ïåðâûõ äâóõ íåòðèâèàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ a2 (t) è a3 (t) ïðåäñòàâëåíà íà ðèñóíêå 1. Èç ðèñóíêàâèäíà íåìîíîòîííàÿ çàâèñèìîñòü a2 è a3 îò âðåìåíè. Ôèçè÷åñêè îíà îòâå÷àåò ñëîæíîìó èçìåíåíèþ ôîðìû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ f˜(~c, t).  íà÷àëå ýâîëþöèè ðàñïðåäåëåíèå ÷àñòèö ïî ñêîðîñòÿì ïðåäïîëàãàåòñÿ ìàêñâåëëîâñêèì. Çàòåì âñëåäñòâèå äèññèïàòèâíûõ ïîòåðü îíî îòêëîíÿåòñÿ îò8ìàêñâåëëîâñêîãî, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò âîçðàñòàíèþ êîýôôèöèåíòîâ Ñîíèíà.Ïîñëå äîñòèæåíèÿ ìàêñèìàëüíûõ àìïëèòóä ýâîëþöèÿ a2 è a3 ïðîèñõîäèòïî ñòåïåííîìó çàêîíó ñîãëàñíî àíàëèòè÷åñêèì âûðàæåíèÿì, ïîëó÷åííûìâ ïðåäåëå τ >> 1 â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè ïî δ :a2 = −A2 δ (τ /τ0 )−1/6 , A2 ' 0.44(12)a3 = −A3 δ (τ /τ0 )−1/6 , A3 ' 0.08(13)Ñ òå÷åíèåì âðåìåíè êîýôôèöèåíò âîññòàíîâëåíèÿ ε ñòðåìèòñÿ ê åäèíèöå,ñîóäàðåíèÿ ÷àñòèö ñòàíîâÿòñÿ ïðàêòè÷åñêè óïðóãèìè, è â ñèñòåìå ñíîâàóñòàíàâëèâàåòñÿ ìàêñâåëëîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå.Ïðåäñêàçàíèÿ òåîðèè ïðåêðàñíî ñîãëàñóþòñÿ ñ ðåçóëüòàòàìè "ìàøèííîãî ýêñïåðèìåíòà"(ðèñ.

1), ëþáåçíî ïðåäîñòàâëåííûìè Ñ. Ïóðè è À.Ê.Äóáååì èç Óíèâåðñèòåòà èì. Äæ. Íåðó (Äåëè, Èíäèÿ).Ðèñ. 1: Çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè âòîðîãî (ñëåâà) è òðåòüåãî (ñïðàâà) êîýôôèöèåíòîâa2 (τ ) è a2 (τ ) â ðàçëîæåíèè ïî ïîëèíîìàì Ñîíèíà ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ÷àñòèöäèññèïàòèâíîãî ãàçà ïî ñêîðîñòÿì. Ëèíèè îòâå÷àþò òåîðèè, òî÷êè - äàííûì êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ñèñòåìû N = 4096000 ÷àñòèö (Ñ. Ïóðè è À.Ê. Äóáåé, Äåëè,Èíäèÿ).

Âðåìÿ τ = t/τc (0) âûðàæåíî â åäèíèöàõ ñâîáîäíîãî ïðîáåãà â íà÷àëüíûéìîìåíò âðåìåíè ýâîëþöèè ñèñòåìû. ïðåäûäóùèõ èññëåäîâàíèÿõ áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ïðè c > c∗ , ãäå c∗ íåêîòîðàÿ ïðåäåëüíàÿ ñêîðîñòü, ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íîñèò ýêñïîíåíöèàëüíûé õàðàêòåð:f˜(c, τ ) ∼ exp (−ϕ(τ )c) ,(14)ãäå ϕ (τ ) = (b/2δ)(1+τ /τ0 )1/6 , b ∼ 1.129.  äèññåðòàöèîííîé ðàáîòå áûëàïðîàíàëèçèðîâàíà çàâèñèìîñòü c∗ (τ ) îò âðåìåíè è íàéäåíî, ÷òî ïðåäåëå9áîëüøèõ âðåìåí â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè ïî δ , c∗ (τ ) âîçðàñòàåò ïî ñòåïåííîìó çàêîíó:c∗ (τ ) ' ϕ(τ )/2 = (b/2δ)(1 + τ /τ0 )1/6 .(15)Äàëåå â ðàáîòå èçó÷àëàñü ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàöèîíàðíîãî ãðàíóëÿðíîãî ãàçà, íàõîäÿùåãîñÿ â òåðìîñòàòå ïðîñòåéøåãî òèïà, äèññèïàòèâíûå ïîòåðè â êîòîðîì êîìïåíñèðóþòñÿ íàëè÷èåì âíåøíåãî ñòîõàñòè÷åñêîãî âîçäåéñòâèÿ:hFi (t)Fj (t0 )i = δij δ(t − t0 )m2 ξ02 .(16) ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå Áîëüöìàíà (5) ìîäèôèöèðóåòñÿ äîáàâëåíèåìξ2 ∂2â ïðàâóþ ÷àñòü äîïîëíèòåëüíîãî ñëàãàåìîãî 20 ∂~v , t).

Ðåøàÿ (5) äëÿv 2 f (~ñòàöèîíàðíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ f (~v ) â âèäå ðÿäà Ñîíèíà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè ai , ìîæíî ïîëó÷èòü â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèèïî δ :a2 = −A2 δ , a3 = −A3 δ(17)ãäå ÷èñëåííûå êîýôôèöèåíòû A2 è A3 îêàçûâàþòñÿ òàêèìè æå, êàê â (12)è (13). Ãðàíóëÿðíàÿ òåìïåðàòóðà ñèñòåìû√ 2ξ02 m m 3T = T1,T1 ∼ 0.32(18)g2 (σ) nδòàêæå íå çàâèñèò îò âðåìåíè. ðàçäåëå 2.2 èññëåäóþòñÿ îñîáåííîñòè äèôôóçèîííîãî äâèæåíèÿ âãðàíóëÿðíûõ ãàçàõ.

Ââåäåì ïåðåìàñøòàáèðîâàííîå âðåìÿ τu (t):pdτu = dt u(t)/τc (0) .(19)Âàæíûì ñâîéñòâîì äàííîé âðåìåííîé øêàëû ÿâëÿåòñÿ íåçàâèñèìîñòü õàðàêòåðíîé òåðìè÷åñêîé ñêîðîñòè ÷àñòèö vT îò âðåìåíè â ýòîé øêàëå. Èñïîëüçóÿ ìàðêîâñêîå ïðèáëèæåíèå, êîððåëÿöèîííóþ ôóíêöèþ áåçðàçìåðíîé ñêîðîñòè â øêàëå τu (t) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ýêñïîíåíöèàëüíîì âèäåñ âðåìåíåì ðåëàêñàöèè τ̂v . Òîãäà ñðåäíåêâàäðàòè÷íîå ñìåùåíèå ÷àñòèöûçàâèñèò îò âðåìåíè êàê:2R (t) = 6Z0tτu (t) − τu (t1 )dt1 D(t1 ) 1 − exp −τ̂v (t1 )(20) ïðåäåëå áîëüøèõâðåìåí ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ìîæíî çàïèñàòü â îáû÷ 2íîì âèäå d R /dt = D(t), ãäå D(t) - êîýôôèöèåíò äèôôóçèè, êîòîðûé â10ëàáîðàòîðíîé âðåìåííîé øêàëå óìåíüøàåòñÿ âñëåäñòâèå äèññèïàòèâíûõïîòåðü:T (t)τv (t).mÇäåñü τv (t) - âðåìÿ êîððåëÿöèè ñêîðîñòè:31/10,τv (t) = τc (t) 1 + τ1 δ (u(t))2(21)D(t) =τ1 = 1.465(22)Âî âðåìåííîé øêàëå τu ñ ïîñòîÿííîé òåðìè÷åñêîé ñêîðîñòüþ êîýôôèöèåíò äèôôóçèè íå çàâèñèò îò âðåìåíè, D = const.

 íàñòîÿùåé ðàáîòåïðîâîäèëîñü âû÷èñëåíèå êîýôôèöèåíòà äèôôóçèè êàê ìåòîäîì ãðàäèåíòíîãî ðàçëîæåíèÿ ×åïìåíà-Ýíñêîãà [1], òàê è ìåòîäîì Ãðèí-Êóáî, îñíîâàííûì íà èñïîëüçîâàíèè êîððåëÿöèîííûõ ôóíêöèé (21). Áûëî ïðîäåìîíñòðèðîâàíî, ÷òî îáà ïîäõîäà äàþò èäåíòè÷íûå ðåçóëüòàòû.Ðèñ. 2: Çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà äèôôóçèè D îò íîðìàëüíîãî êîýôôèöèåíòà âîññòàíîâëåíèÿ ε (ïðè β = 0.9, ëåâûé ãðàôèê) è òàíãåíöèàëüíîãî êîýôôèöèåíòà âîññòàíîâëåíèÿ β (ïðè ε = 0.9, ïðàâûé ãðàôèê). D0 - êîýôôèöèåíò äèôôóçèè àáñîëþòíîóïðóãèõ ãëàäêèõ ñôåð. Ëèíèè îòâå÷àþò òåîðèè, òî÷êè - ðåçóëüòàòàì êîìïüþòåðíîãîìîäåëèðîâàíèÿ. äèññåðòàöèè òàêæå ïðîâîäèëîñü èçó÷åíèå âëèÿíèÿ ñâîéñòâ ïîâåðõíîñòè ÷àñòèö äèññèïàòèâíîãî ãàçà íà èõ äèôôóçèîííîå äâèæåíèå.

Ñâîéñòâàïîâåðõíîñòè õàðàêòåðèçóþòñÿ âåëè÷èíîé òàíãåíöèàëüíîãî êîýôôèöèåíòàâîññòàíîâëåíèÿ β (4).  ñëó÷àå àáñîëþòíî ãëàäêèõ òåë β = −1, ïðè íàëè÷èè øåðîõîâàòîñòåé íà ïîâåðõíîñòè β ìîæåò âîçðàñòàòü äî åäèíèöû.β = 1 îòâå÷àåò ïðåäåëó àáñîëþòíî øåðîõîâàòûõ ñôåð. Äëÿ ïðîñòîòûêîýôôèöèåíòû âîññòàíîâëåíèÿ ïðåäïîëàãàëèñü ïîñòîÿííûìè, íå çàâèñÿùèìè îò ñêîðîñòè ñîóäàðÿþùèõñÿ ÷àñòèö âåëè÷èíàìè.11Áûëà ïîëó÷åíà ñëåäóþùàÿ çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà äèôôóçèè îòêîýôôèöèåíòîâ âîññòàíîâëåíèÿ ε è β :T (t)D(t) =m−112 −11 + ε q(1 + β)τ (t)+− ξ,3 c22(1 + q)2(23)ãäå q = Imσ 2 /4, à I - ìîìåíò èíåðöèè.Ñ óâåëè÷åíèåì ñòåïåíè øåðîõîâàòîñòè ïîâåðõíîñòè ãðàíóëÿðíûõ ÷àñòèö êîýôôèöèåíò äèôôóçèè D óáûâàåò (ðèñ. 2). Íàáëþäàåòñÿ õîðîøååñîãëàñèå ñ ðåçóëüòàòàìè êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ìåòîäîì ìîëåêóëÿðíîé äèíàìèêè, ïîëó÷åííûìè â äèññåðòàöèè. Ãëàâå 3 ðàññìàòðèâàåòñÿ áðîóíîâñêîå äâèæåíèå ÷àñòèöû ìàññîé mbè äèàìåòðîì σb â îêðóæåíèè äèññèïàòèâíîãî ãàçà áîëåå ìåëêèõ è ëåãêèõâÿçêîóïðóãèõ ÷àñòèö ìàññîé m è äèàìåòðîì σ .

Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ÷èñëîáðîóíîâñêèõ ÷àñòèö â åäèíèöå îáúåìà nb íàìíîãî ìåíüøå ñîîòâåòñòâóþùåãî ÷èñëà n ÷àñòèö ãàçà.Ðàçäåë 3.1 ïîñâÿùåí êðàòêîìó ââåäåíèþ â òåîðèþ áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ. ðàçäåëå 3.2 èç óðàâíåíèÿ Áîëüöìàíà âûâîäèòñÿ óðàâíåíèå ÔîêêåðàÏëàíêà, îïèñûâàþùåå ýâîëþöèþ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ áðîóíîâñêèõ÷àñòèö ïî ñêîðîñòÿì fb (~vb , t), ñïðàâåäëèâîå ïðè mb >> m:∂fb (~vb )∂=∂t∂~vb∂γ(t)~vb + γ̃(t)fb .∂~vb(24)Êîýôôèöèåíòû γ(t) è γ̃(t) îïðåäåëÿþòñÿ ñâîéñòâàìè îêðóæàþùåãî ãàçàè ÿâëÿþòñÿ ñëîæíûìè ôóíêöèÿìè äèññèïàòèâíûõ ïàðàìåòðîâ:hi112γ(t) = γ0 u 1 − γ1 δu 10 + γ2 δ u 5 − ... ,hi312 15210γ̃(t) = γ˜0 u 1 − γ˜1 δu + γ˜2 δ u − ...

,12(25)(26)ãäå γ0 è γ̃0 êîýôôèöèåíòû â óðàâíåíèè Ôîêêåðà-Ïëàíêà äëÿ ôóíêöèèðàñïðåäåëåíèÿ ãàçà óïðóãèõ áðîóíîâñêèõ ÷àñòèö, γ1 , γ2 , γ˜1 , γ˜2 - ÷èñëåííûåêîíñòàíòû ïîðÿäêà åäèíèöû. Êàê ñëåäóåò èç ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ,äëÿ äèññèïàòèâíîãî ãàçà â ðåæèìå îäíîðîäíîãî îõëàæäåíèÿ íàáëþäàåòñÿíàðóøåíèå ôëóêòóàöèîííî-äèññèïàöèîííîãî ñîîòíîøåíèÿ γ̃ = (T /mb )γ ;â ïðåäåëå δ = 0 îíî îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì.12Ðèñ. 3: Çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè îòíîøåíèÿ òåìïåðàòóð áðîóíîâñêèõ ÷àñòèö è ÷àñòèö îêðóæàþùåãî ãàçà Tb (t)/T (t). Ñïëîøíàÿ ëèíèÿ ñîîòâåòñòâóåò îòíîøåíèþ ìàññáðîóíîâñêèõ ÷àñòèö è ÷àñòèö ãàçà (mb /m) = 50, ïóíêòèðíàÿ - (mb /m) = 30. Ëèíèèîòâå÷àþò òåîðèè, ñèìâîëû - ðåçóëüòàòàì ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ìåòîäîì ìîëåêóëÿðíîé äèíàìèêè. ðàçäåëå 3.3 ðàññìàòðèâàåòñÿ ýâîëþöèÿ òåìïåðàòóðû ãàçà áðîóíîâñêèõ ÷àñòèö Tb (t).

Çàâèñèìîñòü ãðàíóëÿðíîé òåìïåðàòóðû îò âðåìåíè âûâîäèòñÿ èç óðàâíåíèÿ Ôîêêåðà-Ïëàíêà:Tb (t)=T (0) − 35 − 116tt+ Tb1 δ+ ... ,τ0τ0Tb1 ≈ 2.413(27)Òàêæå èñïîëüçóåòñÿ áîëåå îáùèé ïîäõîä, îñíîâàííûé íà èñïîëüçîâàíèèîïåðàòîðà áèíàðíûõ ñîóäàðåíèé. Íà ðèñ. 3 ïðîèëëþñòðèðîâàíà ýâîëþöèÿîòíîøåíèÿ òåìïåðàòóð áðîóíîâñêèõ ÷àñòèö è îêðóæàþùåãî ãàçà Tb /T .

Характеристики

Список файлов диссертации