Инварианты слоений в симплектической и пуассоновой геометрии (1103054), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Напомним, что функции называются функциями Казимира некоторой скобки Пуассона, если они коммутируют относительно этойскобки с любой другой функцией. Совместные поверхности уровня, = {(J, x)⋃︀ 1 (J, x) = ,2 (J, x) = }(4.1.4)являются орбитами коприсоединённого представления, за исключением случая, когда κ ≤ 0, = 0, = 0 (в этом случае поверхность уровня являетсяобъединением нескольких орбит коприсоединённого представления). Во всехостальных случаях поверхности , являются симплектическими листамискобки (4.1.2), в частности, скобка (4.1.2) задаёт на них структуру симплек⌋︂тического многообразия. Если κ > 0 и > 2 κ⋃︀⋃︀, то эти орбиты , являются четырёхмерными подмногообразиями R6 (J, x), диффеоморфнымипроизведению двух двумерных сфер S2 × S2 .
Если κ > 0, то особые орбиты127⌋︂ = 2 κ⋃︀⋃︀ диффеоморфны двумерной сфере S2 . Если κ > 0, то орбит, удо⌋︂влетворяющих условию < 2 κ⋃︀⋃︀, не существует. Отметим также, что еслиκ = 0, то неособые орбиты > 0 диффеоморфны кокасательному расслоениюк двумерной сфере ∗ S2 (в частности, они некомпактны).В этой работе мы будем исследовать следующий интегрируемый случайуравнений Эйлера, заданный на описанном выше пучке алгебр Ли so(4) −e(3) − so(3, 1) (см. например, [7] или [12]). В описанных выше координатах( , ) гамильтониан равен = 12 + 22 + 232 + 21 1 ,(4.1.5) = (12 − 22 − 21 1 + κ21 )2 + (21 2 − 21 2 )2 ,(4.1.6)а интеграл имеет видгде 1 — произвольная постоянная.В этом разделе мы изучим указанные интегрируемые гамильтоновы системы с гамильтонианом (4.1.5) и интегралом (4.1.6) на неособых орбитах, алгебры Ли so(4).Прежде всего сделаем несколько замечаний об элементарных свойствахрассматриваемых систем.Замечание 17.
Без ограничения общности можно считать, что 1 = 1, аκ = −1, 0 или 1, поскольку при замене координат и параметров системы поформулам ′ = ,′ = ,′ = 2 2 ,′ = 2 ,′1 = 1 ,κ ′ = 2 κ,где , — произвольные константы, гамильтониан и интеграл умножаютсяна 2 и 4 соответственно. Тем не менее, мы не будем избавляться от 1и κ, чтобы формулы в дальнейшем имели “однородный вид” (например,гамильтониан и интеграл являются однородными функциями относительноJ, x, 1 ).Замечание 18. Несложно проверить, что при κ = 0 (и при 1 = 1) мы получаем классический случай Ковалевской в том виде, в котором он, например,128описан в книге [6]. Точнее, в книге [6] гамильтониан в 2 раза меньше, чемгамильтониан (4.1.5), а первый интеграл в 4 раза меньше, чем интеграл(4.1.6).
Отметим также, что в книге [6] используются следующие обозначения: = , = , значение интеграла 2 обозначается через , а значение интеграла 1 полагается равным 1.Замечание 19. При замене координат (J, x) / (−J, x) интеграл 1 , гамильтониан (4.1.5) и интеграл (4.1.6) сохраняются, а интеграл 2 меняет знак.Поэтому без ограничения общности можно считать, что ≥ 0.Замечание 20. Отметим также, что система обладает следующими двумяестественными симметриями, которые сохраняют гамильтониан (4.1.5), первый интеграл (4.1.6) и оба интеграла 1 и 2 . Первая симметрия 2 меняетзнаки у координат 2 и 2 и сохраняет остальные координаты:2 ∶ (1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 3 )/ ( , − , , , − , ).12 3 12 3Аналогично вторая симметрия 3 одновременно меняет знаки у координат3 и 3 :3 ∶ (1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 3 ) / (1 , 2 , −3 , 1 , 2 , −3 ).4.2Основные результаты главы 4Сформулируем теперь основные полученные результаты.
Вначале мы опишем результаты для случая, когда ≠ 0, а потом — для случая = 0. Начнёмс описания бифуркационной диаграммы отображения момента.Лемма 19. Пусть ≠ 0 и κ ≠ 0. Тогда для любой неособой орбиты , (тоесть для любой такой орбиты, что 2 −4κ2 ≠ 0) бифуркационная диаграмма Σℎ, интегрируемой гамильтоновой системы с гамильтонианом (4.1.5)и интегралом (4.1.6) содержится в объединении следующих трёх семействкривых на плоскости R2 (ℎ, ):1.
Прямая = 0;1292. Параметрическая криваяℎ() =2 21+ 2,2() = (421 −42 21 4 41+ 4 ) − 2κ21 ℎ() + κ 2 41 ,(4.2.1)где ∈ R − {0}.3. Объединение двух парабол⌋︂22 − 4κ2)κ(4.2.2)⌋︂22 − 4κ2 = (ℎ − κ21 − −) .κκ(4.2.3) = (ℎ − κ21 − +κиЗамечание 21. Подчеркнём, что лемма 19 верна как для алгебры Ли so(4),так и для алгебры Ли so(3, 1). Напомним, что для алгебры Ли so(4) пара⌋︂метр удовлетворяет неравенству ≥ 2 κ⋃︀⋃︀, а для алгебры Ли so(3, 1)параметр может принимать любые действительные значения.Доказательство леммы 19 содержится в разделе 4.3.1.Для того чтобы построить бифуркационную диаграмму отображения момента, остаётся выкинуть из кривых, описанных в лемме 19, некоторые ихчасти. Точное описание бифуркационных диаграмм дано в следующей теореме.Теорема 42.
Пусть κ > 0 и > 0. Функции , , , и , заданныеформулами13034⇑3 + 6κ2⇑3 1 − κ 2 14⇑3 () =8⇑3(4.2.4)2⇑341 () =4⇑3+ κ2⇑3 1(4.2.5)2 () = 2 + κ 2 21κ1(4.2.6)2⇑312⇑32κ2 + 2 () = ( 1) + κ2 ,21где = (⌋︂ () = 2 κ⋃︀⋃︀κ21 + 2)21(4.2.7)(4.2.8)⌋︂делят область { > 0, > 2 κ} ⊂ R2 (, ) на 9 областей (см. рис. 4.1и 4.2). На рисунках 4.3 – 4.21 для каждой из этих областей указана соответствующая бифуркационная диаграмма отображения момента дляинтегрируемой гамильтоновой системы с гамильтонианом (4.1.5) и интегралом (4.1.6) на орбите , алгебры Ли so(4). Точнее, в каждом изслучаев указано, из каких частей прямой = 0, кривой (4.2.1) и двух парабол (4.2.2) и (4.2.3) состоит бифуркационная диаграмма отображениямомента.Напомним, что бифуркационная диаграмма для орбиты , с < 0 совпадает с бифуркационной диаграммой для орбиты ,− (см.
замечание 19).Замечание 22. На рисунках 4.3 – 4.21 дуги 8 2 , 2 1 , 5 3 , 8 9 , 8 11 и 9 11принадлежат параметрической кривой (4.2.1). Остальные дуги бифуркационных диаграмм очевидным образом распределяются между кривыми.Замечание 23. В дальнейшем мы будем использовать следующую нумерацию для областей из R2 (, ):1. Область I: это область {κ 3 41 < 2 ,2. Область II: {κ 3 41 < 2 ,3. Область III : {κ 3 41 < 2 , () < < ()}; () < < ()}; () < < ()};1314. Область IV: {κ 3 41 < 2 , () < < ()};5. Область V: { () < };6.
Область VI: {0 < 2 < κ 3 41 , () < < ()};7. Область VII: {0 < 2 < κ 3 41 ,max( (), ()) < < ()};8. Область VIII: {0 < 2 < κ 3 41 , () < < min( (), ())};9. Область IX: {0 < 2 < κ 3 41 , () < < ()}.Мы продолжим нумерацию на области прямой = 0 следующим образом:10. Область X: { = 0,11. Область XI: { = 0,12.
Область XII: { = 0,κ 2 21 < };κ 2 214< < κ 2 21 };0<<κ 2 214 };Подробное описание расположения кривых, из которых состоит бифуркационная диаграмма отображения момента, дано в разделе 4.3.2. Доказательство теоремы 42 дано в разделе 4.3.4. Фактически, для доказательстватеоремы 42 достаточно знать типы критических точек ранга 0, которые описаны в следующей лемме (определение невырожденности особых точек ранга0 и их типов см.
в главе 1, а также, например, в [6]).Лемма 20. Пусть κ > 0 и > 0. Тогда образы критических точек ранга 0лежат в объединении следующих трёх семейств точек.1. Точка пересечения парабол (4.2.2) и (4.2.3) (точка 5 на рис. 4.15). Онаимеет координаты2 − 4κ2ℎ = κ21 + , =.κκ2Если > (), где функция () задаётся формулой (4.2.6), то впрообразе этой точки на орбите , лежат ровно две критическиеточки ранга 0. Если = (), то в прообразе одна критическая точкаранга 0, а если < (), то в прообразе нет критических точек ранга0.
Если > (), то все критические точки из этой серии являютсяневырожденными особыми точками типа центр-седло.1322. Точки пересечения парабол (4.2.2), (4.2.3) с кривой (4.2.1). Соответствующие значения параметра на кривой (4.2.1) задаются равенством⌋︂2 − 4κ2 2±2 =12На каждой неособой орбите , каждой точке пересечения кривой(4.2.1) с одной из парабол соответствует ровно одна критическаяточка ранга 0.
Обе критические точки, для которых < 0 (т.е. точки1 и 4 на рис. 4.3–4.25), имеют тип центр-центр.Типы оставшихся точек пересечения описаны в таблице 4.1. Здесь +и + — это оставшиеся точки пересечения кривой (4.2.1) с левой параболой (4.2.2) и правой параболой (4.2.3) соответственно, а функции (), () и () задаются формулами (4.2.5), (4.2.6) и (4.2.7) соответственно. (На рис. 4.3–4.21 точка + обозначается как 3 , 6 или11 в зависимости от типа точки. Точка + обозначается как 3 , 7 ,12 , 9 или 10 .) > () () > > () ≠ () () > > () ≠ ()++++++0 < 2 < κ 3 41центр-центрседло-седлоцентр-центрцентр-седлоцентр-центрцентр-центр2 > κ 3 41центр-центрседло-седлоцентр-седлоседло-седлоцентр-седлоцентр-седлоТаблица 4.1: Типы точек пересечения кривой (4.2.1) и парабол (4.2.2) и (4.2.3).3.
Точки пересечения кривой (4.2.1) и прямой = 0 (точки 10 , 11 и 1на рис. 4.3–4.21). В прообразе каждой точки пересечения, лежащейправее точки⌋︂2 − 4κ2ℎ = κ21 + −κκ(т.е. правее точки пересечения параболы (4.2.3) и прямой = 0) лежат ровно две критические точки ранга 0, при этом типы этих двухточек совпадают.
Прообразы остальных точек пересечения пусты.Иными словами,133∙ если 0 < 2 < κ 3 41 и < (), где функция () задаётся формулой(4.2.7), то в прообразе нет критических точек ранга 0 из этойсерии;∙ если > () и > (), где () задаётся формулой (4.2.4), тона орбите лежат 2 точки из этой серии;∙ если () > > () (это возможно только при 2 > κ 3 41 ), то впрообразе лежат 6 точек из этой серии.∙ если 2 > κ 3 41 и < (), то в прообразе лежат 4 точки из этойсерии.⌈︂Точкам пересечения с параметром > cusp = 3 2 21 , т.е.
имеющимпараметр больший, чем у точки возврата кривой (4.2.1) (это точки10 и 1 на рис. 4.3–4.18), соответствуют точки типа центр-центр.⌈︂Если ≠ (), то точкам пересечения с параметром < cusp = 3 2 21(это точка 11 на рис. 4.6–4.8) соответствуют точки типа центрседло.Доказательство леммы 20 дано в разделе 4.3.3.Как оказалось, в рассматриваемом случае знание типов критических точек позволяет не только построить бифуркационные диаграммы отображения момента, но и определить все перестройки торов Лиувилля, а такжекруговые молекулы особых точек отображения момента. Так же, как и доказательство теоремы 42, доказательство теорем 43 и 44 содержится в разделе4.3.4.Так же, как и в классическом случае Ковалевской, перестройки торов,отвечающие гладким регулярным дугам бифуркационной диаграммы, могутбыть одного из четырёх типов. В терминологии из [6] они соответствуютатомам , ∗ , и 2 (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
