Автореферат (1102892), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Направим ось rгоризонтально вправо, а угловую координату  будем отсчитывать от направленияоси r против часовой стрелки. Тогда уравнение неразрывности относительно «потенциала смещений» F(r, ) примет следующий вид, граничные условия на поверхностии на дне будут иметь следующий вид:2FF  2 Fr2r 0.(1)r  2r 2при   0 ,(2)F 01 F (3) ( , n ) при    ,r где  — угол наклона дна, n  (sin  , cos  ) – нормаль к поверхности дна. «Потенциал смещений» F(r, ) представляет собой потенциал скорости течения, проинтегрированный по времени от 0 до , где – малое время возникновения деформации дна[Nosov, Kolesov, 2011]. Физический смысл «потенциала смещений» заключается втом, что его производные по каждой из координат представляют собой смещенияжидкости в соответствующем направлении. Решив задачу (1)–(3), мы можем выразить начальное возвышение свободной поверхности  (r ) через «потенциал смещений»:1 F (r ) .(4)r    0Задача (1)-(4) решается методом разделения переменных с использованием прямого и обратного преобразований Фурье.

Ее общее решение для начального возвышениясвободной поверхности  (r ) имеет следующий вид:11 H (q ) e i q  , где H (q ) d (e    (  )) e i q  .(5)r 2   ch( q )2  В формуле (5) используется обозначение   ln r . Полученное решение позволяетнайти начальное возвышение на поверхности воды, вызванное произвольной деформацией плоского наклонного дна.В разделе 2.2 показано, что для деформации дна прямоугольной формы ( , n )   S  (r  R1 )   ( r  R2 ) решение (5) существенно упрощается и принимает вид (r ) 1 dq S 1R21 iq  R11 iq i q ln rdqRe[(q)],где(q)e.(6)r 0ch(q )1  iqДля независимой проверки полученного результата проводилось сравнение «двумерного объема» воды, вытесненного подвижкой дна Vb  ( R2  R1 ) S и «двумерного (r ) объема» начального возвышения на поверхности Vi.e.

   ( r ) dr . Идентичность этих0двух величин служит независимым доказательством правильности полученного решения (6).В работе [Nosov, Kolesov, 2011] была рассмотрена задача о расчете начальноговозвышения на поверхности воды, вызванного прямоугольной деформацией плоского8горизонтального дна. Ее математическая постановка повторяет постановку (1)-(4), ноосуществляется в декартовой системе координат.

Решение для прямоугольной деформации дна  ( x)0  x  a  x a  имеет вид:20  cos(kx) sin( ka ) ( x) dk,(7) 0k ch(kH )где a – половина горизонтальной протяженности деформации дна.На основе трехмерного аналога формулы (7) и принципа суперпозиции авторы работы [Nosov, Kolesov, 2011] предлагают аналитико-численный алгоритм (АЧА) расчета начального возвышения водной поверхности в очаге цунами для случая дна произвольной формы. Согласно этому алгоритму:1) область источника цунами в бассейне переменной глубины разбивается на одинаковые прямоугольные подобласти фиксированного размера 2a  2b ;2) каждая подобласть рассматривается как независимый элементарный источник, характеризующийся определенной глубиной H и амплитудой остаточного смещения поверхности дна  ( x, y )  H x  x  H y  y   z , где  ( x, y )  ( x , y , z )— вектор деформации дна;3) возвышение свободной поверхности, создаваемое элементарным источником вточке с координатами ( x, y ) относительно его центра, рассчитывается численно потрехмерному аналогу формулы (7);4) итоговое начальное возвышение определяется как суперпозиция вкладов всехэлементарных источников.В реальности дно океана не является ровным, и даже на протяжении одной подобласти глубина может меняться значительно (иногда кратно).

Поэтому вопрос о корректности использования в АЧА решения на горизонтальном дне остается открытым.Для ответа на этот вопрос необходимо провести количественное сравнение начального возвышения, рассчитанного для деформации плоского горизонтального дна (7), сначальным возвышением, рассчитанным для эквивалентной деформации плоскогонаклонного дна (6), при глубинах и уклонах дна, характерных для реальных очаговцунами.В разделе 2.3 проводится такое сравнение. Под эквивалентными деформациямиплоского наклонного дна и плоского горизонтального дна мы понимаем прямоугольные деформации, глубина в центре которых одинакова и параметры которых связанысоотношениями 2a  ( R2  R1 ) cos  и  S  0 cos  (рис. 2).

Указанные соотношенияотвечают физически разумному требованию о равенстве вытесненных объемов.Примеры расчета форм начальных возвышений, создаваемых на поверхности воды источниками на плоском наклонном дне (сплошные линии) и эквивалентными источниками на плоском горизонтальном дне (пунктирные линии) представлены нарис. 3. Во всех случаях начальные возвышения имеют гладкую форму. Чем большеглубина в области источника, тем более плавным становится начальное возвышение.Если расчет ведется по модели горизонтального дна, то начальное возвышение является симметричным относительно центра источника. Для модели наклонного днаначальное возвышение всегда асимметрично. В той области, где глубина меньше(слева), происходит более резкий спад кривой, по сравнению с глубоководной областью.

При небольших глубинах источника разница между моделями наклонного и горизонтального дна хорошо заметна. При увеличении глубины источника разница становится менее существенной.9Рис. 3. Сопоставление форм начальных возвышений, создаваемых на поверхностиводы источником на наклонном дне (сплошная линия) и эквивалентным источникомна горизонтальном дне (пунктирная линия).

Расчет выполнен по формулам (6) и (7)при a  1000 м , tg  0.3 для двух источников, расположенных на глубинахH  500 м и H  2000 м . Положение источников показано прямоугольниками.В качестве количественного параметра, характеризующего различие начальныхвозвышений для плоского наклонного дна (6) и плоского горизонтального дна (7),выберем относительную разницу потенциальных энергий:   (WS  WH ) WS , где WHи WS — потенциальные энергии начальных возвышений, рассчитанные по моделямгоризонтального и наклонного дна, соответственно. Для расчета потенциальной энергии будем пользоваться формулой W  0.5g  dr  2 ( r ) , где  — плотность воды, g0— ускорение силы тяжести. Переход от координаты x к координате r осуществляется по формуле x  r  0.5 ( R1  R2 ) cos  .Величина  исследовалась в зависимости от глубины океана в центре источникаH , полуширины источника a и уклона дна tg  .

Минимальная глубина источникаподбиралась таким образом, чтобы деформация целиком располагалась под водой:H min  a tg , максимальная глубина источника составляла 10 000 м. Для полушириныисточника были выбраны три фиксированных значения: 500, 1000 и 2000 м, среднееиз которых приблизительно соответствует типичному шагу сетки при численном моделировании цунами (1 угл.мин).

Очевидно, что максимальное расхождение междумоделями горизонтального и наклонного дна должно наблюдаться при большихуклонах дна. Поэтому выбор максимального значения tg нуждается в обосновании.Анализ типичных распределений уклонов дна в областях источников крупнейшихцунами начала XXI века показал, что уклоны дна, как правило, ограничены величиной 0.2, и только в крайне редких случаях достигают величины 0.3. В связи с этимпри оценке величины  уклон дна задавался тремя фиксированными значениями:0.03, 0.1 и 0.3.Анализ зависимости величины  от параметров источника в указанном диапазонезначений показал, что энергия начального возвышения, рассчитанная по моделинаклонного дна, всегда несколько превышает энергию, рассчитанную по модели горизонтального дна ( W S  W H ).

В большинстве случаев это различие пренебрежимо10мало и составляет менее 2%. Максимальное значение max  2% достигается прибольших уклонах дна tg  0.3 и минимальной глубине источника. В связи с этим мыможем заключить, что аналитическое решение для случая плоского горизонтальногодна может быть использовано в АЧА и не приводит к существенным ошибкам прирасчете начальных возвышений в реальных очагах цунами.В разделе 2.4 показано, что несмотря на симметричность начального возвышения,рассчитанного по модели плоского горизонтального дна, совместное использование врамках АЧА нескольких деформаций, лежащих на разной глубине, позволяет учестьасимметрию начального возвышения на неровном дне.

Также в разделе 2.4 приводится пример применения АЧА для расчета начального возвышения в очаге цунами Тохоку у берегов Японии (11 марта 2011г.)Третья глава посвящена анализу записей донных сейсмометров и донных датчиков давления, выполненных десятью глубоководными станциями DONET, функционировавшими во время катастрофического землетрясения Тохоку 2011. Все десятьстанций успешно записали главное сейсмическое событие (05:46:24 UTC, Mw=9.0,USGS), сильный афтершок (06:15:40, Mw=7.9, USGS) и последовавшие волны цунами[Matsumoto, Kaneda, 2013]. Взаимное расположение эпицентров обоих сейсмическихсобытий и станций DONET показано на рис.

4. Белыми изолиниями изображена вертикальная косейсмическая деформация дна, рассчитанная по структуре подвижки (Finite Fault Model, USGS) [Levin, Nosov, 2016].В разделе 3.1 проводится совместный анализ акселерограмм и записей придонногодавления. На рис. 5 показаны записи вертикальной компоненты ускорения дна и вариации придонного давления, зарегистрированные станцией DONET «A2». Сигналыпредставлены вместе со спектрограммами, полученными при помощи вейвлетпреобразования Морле и нормированными на максимальное значение.Как известно, спектр сейсмических движений дна охватывает диапазон от 0.001до 100 Гц. Гравитационные волны возникают при колебаниях дна с низкими частотами f  f g  0.366 g / H , где g — ускорение силы тяжести, H — глубина океана[Levin, Nosov, 2016]. Гидроакустические волны возникают при высокочастотных колебаниях дна: f  f ac  c / 4 H , где c — скорость звука в воде.

Промежуточный частотный диапазон f g  f  f ac соответствует вынужденным колебаниям, при которых водный слой следует за движениями дна, причем вариации придонного давленияp связаны с ускорением движения дна a по второму закону Ньютона: p  Ha , где — плотность воды [Levin, Nosov, 2016]. На спектрограммах рис. 5 отмечено положение характерных частот f g  0.0256 Гц и f ac  0.187 Гц , значения которых получены по приведенным выше формулам при H A 2  2011 м , g  9.8 м / с 2 иc  1500 м / с . По записи вертикальной компоненты ускорения дна (рис.

Характеристики

Список файлов диссертации