Акустооптическое взаимодействие в двумерных фотонных кристаллах (1102314), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Задача об акустооптической дифракции света в периодическинеоднороднойсредесведенакукороченнымуравнениямдляамплитудвзаимодействующих волн, которые могут быть решены аналитически.Исходным в теории является волновое уравнение для вектора магнитного поля Hrot ( ε −1 rot H ) =1 ∂2Hc 2 ∂t 2(6)где(12ε −1 ( r, t ) = ε −1 ( r ) + Δε −1 ( r, t ) , Δε −1 ( r, t ) = Δε 0 −1 ( r ) ei( Ωt −Kr ) + e−i( Ωt −Kr ))(7)Δε −1 ( r,t ) – добавка, получающаяся за счет фотоупругого эффекта в компонентахфотонного кристалла и изменения размеров включений.Ищем решение в виде суммы гармонических волн∞∑ H ( r ) e (ωH ( r, t ) =n =−∞i+ nΩ )tn(8)Пространственную зависимость амплитуды магнитного поля в случае дифракцииБрэгга можно представить в виде суммы блоховских волн с огибающей, медленноменяющейся вдоль направления взаимодействия, задаваемого координатой x.H 0 ( r ) = C0 ( x ) ∑ M 0 ( G ) e (i k 0 +G )rGH1 ( r ) = C1 ( x ) ∑ M1 ( G ) ei ( k1 +G )r,(9)Gгде M0,1 – амплитуды блоховских волн в фотонном кристалле, С0,1 – огибающиеблоховских волн, зависящие только от координаты x (в направлении взаимодействия),причем медленно меняющиеся по координате.В общем случае эта зависимость неявляется периодической функцией.С учетом медленности зависимостей C0 ( x ) и C1 ( x ) для них была получена система двухлинейных дифференциальных уравнений первого порядка:dC0dC− V01 1 − U 01C1 = 0dxdxdCdCV11 1 − V10 0 − U10C0 = 0dxdxV0016(10)В выражения для коэффициентов Vαβ и U αβ( α, β = 0,1)входят компонентыволновых векторов падающей и дифрагированной волны, компоненты обратного тензорадиэлектрической проницаемости и его приращения, индуцированного акустическойволной, а также геометрические параметры фотонного кристалла.
В общем случае Vαβ иU αβ имеют довольно громоздкий вид. Следует отметить, что только при выполненииусловий фазового синхронизма (5) коэффициенты, входящие в систему (10), не зависят отпространственных координат.Если направления волновых векторов взаимодействующих волн определены сдостаточной точностью, то при расчете коэффициентов Vαβ и U αβ обычно можноотбросить высшие фурье-гармоники блоховских волн (см. гл.
2). В таком одноволновомприближении, с учетом условий синхронизма и того, что акустическая волнараспространяется вдоль оси ОY, вид коэффициентов Vαβ и U αβ значительно упрощается.Система (10) имеет частные решения следующего видаC0 = A0 cos qx, C1 = A1 sin qx , гдеq=U 01V00V11(11)Соответственно, при x=L, гдеL = π 2q(12)будет иметь место полная перекачка энергии в дифрагированную волну.Между длиной полной перекачки энергии и коэффициентом акустооптическогокачества существует следующая связь:L = λ cos αlbM 2 Pa(13)где l и b – продольные и поперечные размеры области перекрытия светового и звуковогопучка. С использованием этой связи, а также анализа фотоупругого эффекта в фотонномкристалле, в диссертационной работе были получены аналитические выражения длякоэффициентов акустооптического качества для различных типов акустических волн иполяризаций света.
Выведены компактные общие формулы, пригодные для классовсимметрии, которые охватывают часть широко используемых акустооптическихматериалов – 32 (a-SiO2, Te, HgS), 3 m, 3m (LiNbO3, Ag3AsS3), 4mm, 42m, 422 (TeO2),4/mmm (Hg2Cl2, TiO2), 622, 6mm, 6 m2, 6/mmm и кубической системы (Si, Ge,GaP).
Видупругих и упругооптических тензоров для этих классов симметрии приведен, например, в[7]. В формулах использовались не тензор упругой жесткости и упругооптический тензор,а обратные им тензор податливости sij и пьезооптический тензор πij .17Проведен аналитический расчет коэффициентов акустооптического качества дляразличных сочетаний поляризаций акустических и оптических волн.
Показано, чтоэффективная акустооптическая связь возможна только в 5 вариантах из 12. Для этихнетривиальных случаев в таблице 1 указаны значения М2(i) (i=1,…5) в соответствии сприведенными ниже формулами:M 2(1) =M2M2(4)=M 2(5) =4 cos3 α((vg fˆ ( s11 ) fˆ ε 33))( fˆ (π ) )314 cos 2 α ( tg α − 1)=vg fˆ ( s66 ) fˆ ε 22 −1 fˆ ε 33−1(2,3)((()()2⎛( tg α − 1) ⎜ ( tg α − 1) cos α +⎝K⎞⎟k0 ⎠(14)⎛⎞⎛K⎞⎜⎜ fˆ (π 41 ) ⎜ sin α + ⎟ − fˆ (π 66 ) cos α ⎟⎟k0 ⎠⎝⎝⎠2(15)⎛⎛⎛K⎞K ⎞⎞⎜⎜ fˆ (π12 ) tg α ⎜ sin α − ⎟ − fˆ (π11 + π 41 ) sin α + fˆ (π 11 ) ⎜ cos α + ⎟ ⎟⎟2k0 ⎠k0 ⎠ ⎠⎝⎝fˆ ( s11 ) ⎝4 cos 2 αvg fˆ ε 22 −1((−12))⎛⎛K⎜⎜ fˆ (π14 ) tg α ⎜ sin α −2k0⎝fˆ ( s44 ) ⎝4 cos 2 αvg fˆ ε 22 −1))⎞ ˆ⎛K⎟ − f (π 44 + π 14 ) sin α + fˆ (π14 ) ⎜ cos α +k0⎠⎝⎞⎞⎟ ⎟⎟⎠⎠2(16)2(17)здесь f̂ – символическое обозначение оператора, который "перемешивает" значенияматериальных констант двух материалов, например fˆ ( πij ) = f ⋅ πij (1) + (1 − f ) ⋅ πij (2) , где f –коэффициент заполнения, индексы (1) и (2) относятся соответственно к включению иматрице; α – угол, под которым распространяется оптическая волна в фотонномкристалле, vg – групповая скорость света, k0 = ω / c – волновое число света в вакуумеТабл.
1. Максимальные значения коэффициентов акустооптического качества M 2 приразличных поляризациях акустических и оптических волнLSXSZTETEM2(1)→TETM(()2vg fˆ ( s11 ) fˆ ε 33−1))020TMTETMTM(4 fˆ (π 31 )00M 2(4) →(0M204 fˆ (π11 )(()(2vg fˆ ( s11 ) fˆ ε 22 −1))2M 2(5) →(2)M24 fˆ (π14 )(()(3)→→()) fˆ (ε )))) fˆ (ε )4 fˆ (π 66 )(2vg fˆ ( s66 ) fˆ ε 22 −1(4 fˆ (π 66(33−12vg fˆ ( s66 ) fˆ ε 22 −133−12vg fˆ ( s44 ) fˆ ε 22 −1))20Для всех приведенных выше случаев акустооптическое качество являетсямаксимальным при α → 0 . При этом также выполняется неравенство K k 0181.Выражения для максимальных значений акустооптического качества для различныхполяризаций акустических и оптических волн приведены в таблице 1.Как видно из таблицы 1, анизотропная дифракция возможна в фотоннныхкристаллах, составленных из изотропных компонентов, то есть в этом проявляетсяискусственная анизотропия фотонных кристаллов.
Из таблицы 1 можно также видеть,какие компоненты пьезоэлектрических тензоров и тензоров податливости материаловиграют роль в увеличении значения акустооптического качества, и исходя из этихсоображений подбирать оптимальные сочетания материалов для устройств акустооптики.Сравнение максимальных коэффициентов акустооптического качества фотонногокристалла для некоторых сочетаний материалов с соответствующими показателями дляоднородного материала приведено в таблице 2.
Дисперсия материальных констант(показателей преломления, тензора податливости и пьезооптического тензора) в расчетахне учитывалась. Для удобства мы пересчитали нормированную частоту в период решеткидля заданной длины волны света, а коэффициент заполнения – в радиус включений.Табл.2. Сравнительные характеристики максимального акустооптического качестваматериалов, составляющих фотонный кристалл, и фотонного кристалла.длина волны периодрадиусМ, 10-18 с3/гсвета, мкмрешетки, нм включений, нмматрицавключенияФК1,11,51,11,588120122166Такимобразом,35484966изSi27,5полистирол3,4построеннойвSiO21,5LiNbO329,2диссертационнойработе69,035,1моделиакустооптического взаимодействия можно сделать важный вывод: в фотонных кристаллахдостижимы коэффициенты акустооптического качества, превышающие значения дляоднородных веществ, входящих в состав фотонного кристалла.
Механизм этого явленияможет быть представлен следующим образом. На акустооптическое качество материалавлияют как пьезооптические параметры, так и параметры податливости, и необходимо,чтобы значения пьезооптических коэффициентов πij были как можно больше, акоэффициентов податливости sij – как можно меньше.
Но в однородном материале этивеличинысвязанымеждусобой,инемогутварьироватьсяпроизвольно.Вдвухкомпонентной среде уже больше свободы выбора – можно взять одну среду свысокими значениями πij , а вторую – с низкими значениями sij . Поэтому в совокупностиможет быть достигнуто лучшее акустооптическое качество. На акустооптическое качествофотонного кристалла влияют не только материалы, из которых он изготовлен, но и19коэффициентзаполнения.Результатырасчетовпоказывают,коэффициенты акустооптического качества достигаютсячтомаксимальныев фотонных кристаллах скоэффициентом заполнения 0,5 при малых углах Брэгга.Итак, в данной главе показано, что создание фотонных кристаллов, составленныхиз подходящих компонент, открывает перспективы для конструирования материалов свысокими параметрами качества, возможно недостижимыми в однородных средах.В заключении приведены основные результаты диссертации.Основные результаты и выводы:1.Разработанаметодикаипрограммаопределенияволновыхвектороввзаимодействующих волн, соответствующих условиям фазового синхронизма приакустооптическом взаимодействии в двумерных фотонных кристаллах.
Программапозволяет рассчитывать частотные зависимости угла Брэгга для изотропной ианизотропной дифракции Брэгга в фотонных кристаллах.2.ИсследованыособенностичастотныхзависимостейуглаБрэггаприакустооптической дифракции света в фотонных кристаллах. Показано, что на этизависимости влияют как фотонные, так и фононные запрещенные зоны. Влияниефотонных запрещенных зон проявляется в ограничении угла Брэгга и угла дифракции,фононных – в ограничение частоты звука. При частотах света, близких к запрещеннойзоне, могут проявляться частотные зависимости с неоднозначными участками.3.В фотонных кристаллах с высоким контрастом показателя преломления ( Δn / n ∼ 1 )в случае изотропной дифракции фазовый синхронизм имеет место при весьма высокихчастотах звука ( ∼ 10 ГГц ) , при длине волны света около 1 мкм. При контрасте показателяпреломления Δn / n ∼ 10−2 частоты ультразвука находятся в удобном для примененийдиапазоне.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
