Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов (2002) (1095939), страница 72
Текст из файла (страница 72)
АЦП, имеющий (( двоичных разрядов, обеспечивает Аг = 2т уровней квантования. Если размах сигнала соответствует полному рабочему диапазону АЦП, то отношение сипгал/шум равно С/Ш = 2" ч(33. Если втяразьпь этот результат в децибелах, получится простая формула, показывающая связь между числом двоичных разрядов, используемых для представления отсчетов сигналов, и максимально достижимым в этом случае отношением сигнал/шум: С/Ш,в = 20 !й(2 т (3) = 20 гу !й 2 е 10 !й 3 е 6 7 е 4„77 дБ.
звг Глава т. Эффекты квантования е цифровых системах Неравномерное квантование Равномерное квантование, о котором шла речь до сих пор, гарантирует, что размах шума квантования не будет превосходить величины шага квантования (за исключением тех случаев, когда значение входного сигнала выходит за допустимые пределы). Однако если потребовать минимизации средггеквадратического значения шума квантования, оптимальный набор уровней квантования будет зависеть от статистических свойств сигнала, а именно от плотности вероятности его мгновенных зпачешш. и к е = ~~„ ~(х — Ь, )р(х)пх = х — ~~„ Ь, ) р(х)г(х = х — ~г Б„Р„, ~ "ы як ~ гм г-1 где х — математическое ожидание сигнала х, а Рг — вероятность попадания сиг- нала в й-ю зону квантования.
Срелнпй квалрат ошибки рассчитывается как ь — ь е = "~ ) (х — Ь~)'р(х)г(г =х' -2~~ Ь„) хр(х)огх-ь~' Б„'Г)р(х)ггх. гм„ "ы~ 1 ! я,, Прправнпвание к пулю частных производных этого выражения по а, и Ь, дает следующие соотношения для оптимальных параметров квантования: х р(х) ггх Ь„= "',' а, = р (х) ах (7й) Ланные формулы при известной плотности вероятности р(х) дают систему не- линейных уравнений относительно аг и Ьи Аналитическое решение этой системы лаже для несложных функций р(х) оказывается весьма непростым и его в боль- шинстве случаев приходится искать численными методами. ЗАМЕЧАНИЕ Выполнение условий (7Л) автомагичсски обеспечивает и нулевое среднее зиачсиие шума квантования.
В этом случае интуитивно ясно, что уровни квантования должны располагаться плотнее друг к другу в областях тех значений, которые сигнал принимает с большей вероятностью. Идея неравномерного квантования в общем случае формулируется следующим образом; диапазон возможных зпачсипй сигнала делится на Аг зон квантования ая ...
аи а1 ... иь „ая и.. аю Зонам квантования сопоставлены квшгтооапиые зпачеггия Ьг и (аг и аг~, Если входной сигнал попадает в диапазон аг ь.. ин его квантованное значение принимается равным Ьь Итак, пусть сигнал имеет плотность вероятности р(х) и мы хотим осуществить его Ю-уровневое квантование так, чтобы сделать нулевым среднее значение и минимизировать дисперсию шума квантования. Среднее значение ошибки квантования е будет равно 383 Эффекты квантования в цифровых фильтрах Если формула для плотности вероятности сигнала неизвестна, цо имеется «типичный» набор его отсчетов, можно произвести оптимизацию параметров квантования по этому тестовому набору, Поиск оптимальных значений а„и 6, в этом случае производится численным итерационным методом (см.
далее в этой главе описание функций МАТ1.АВ оцап11х и 11оуоз). Неравномерное квантование применяется, например, в современных цифровых телефонных сетях. Малые значения речевого сигнала более вероятны, чем большие, поэтому используется нелинейное преобразование сигнала, когда диапазон значений, при равномерном квантовании представляемый 12 двоичными разрядами (4096 уровней), кваптуется на 258 (8 двоичных разрядов) иераввомерво расположенных уровней согласно Рекомендации 1Т()-Т 0.711. Зависимость уровня квантования от его номера представляет собой кусочно-линейную аппроксимацию экспоненциального закона.
В цифровых каналах связи передаются 8-разрядные номера уровней квантования, а при цифро-аналоговом преобразовании они конвертируются в 12-разрядные значения соответствующих им уровней сигнала. Эффекты квантования в цифровых фильтрах Шум квантования — не единственная проблема, связанная с конечной разрядностью используемых чисел. Так, неизбежное округление разнообразных коэффициентов, используемых в алгоритмах цифровой обработки сигналов, приводит к тому, что параметры фильтров и других устройств отличаются от желаемых.
причем возможны ситуации, когда эти отличия весьма существенны. Кроме того, из-за округления промежуточных результатов может происходить накопление вычислительных погрешностей, также искажающих конечный результат. Эти эффекты будут рассмотрены в данном разделе. Квантование коэффициентов цифровых фильтров До сих пор, рассматривая характеристики дискретных фильтров, мы получали коэффициенты фильтров некоторыми расчетнымн методами и считали, что они представлены точно, Однако при практической реализации фильтров почти неизбежно возникает необходимость округления их коэффициентов.
При использовании цифровых сигнальных процессоров это связано с поддерживаемыми имп форматами представления чисел, при создании программ обработки сигналов для персональных компьютеров — со стремлением повысить быстродействие. Из-за округления коэффициентов характеристики фильтра претерпевают искажения, величина которых зависит не только от погрешности представления коэффициентов, но и от исходных параметров фильтра и формы его построения (см. раздел «с)эормы реализации дискретных фильтров» главы 4).
384 Глава 7, Эффекты квантования в цифровых сиотеыах В нерекурсивпых фильтрах коэффициенты равны отсчетам импульсной характеристики и линейно связаны с комплексным коэффициентом передачи. Поэтому малые искажения коэффициентов приводят к малым искажениям частотных характеристик и проблемы, связанные с округлением коэффициентов, проявляются редко. Однако, если фильтр должен иметь очень крутой спад АЧХ между полосами пропускация и зэдерживания, округление коэффициентов все же может привести к заметным искажениям частотных характеристик. Убедимся в этом на простом примере. Синтезируем методом Ремеза СРНЧ 256-го порялка с полосой пропускания, простнраюшейся до 0,2, и полосой задерживапия, начинающейся от 0,21 (указаны частоты, нормированные к частоте Найквиста).
Затем округлим коэффициенты фильтра с точностью до 1/256, оставив в нпх 8 деон шых разрядов после запятой, н построим графики АЧХ до и после округления (рис. 7.3): » Ь - геа)ег(256. (О 0.2 0.21 1], [1 1 О 01): » ЬО = гоцпо(Ь*256)/256, Ж округление » (Ь, т) - тгеоа(Ь): .> ЬО = Ггеоа(ЬО): » 50Ь0101(1. 2. 1) » р)от((/р1. аЬ5(Ь)) » 5ОЬр)от(1. 2.
2) » р)ос(Г)р1. аЬ5(ЬО)) 1.4 1.4 1.2 0.8 о.в О.б О.б 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0 О 2 О 4 0 в О в 1 О 0 2 О 4 О 6 0 в 1 Рис. 7.3. АЧХ нерекурсивного ФНЧ до (слева) и после (справа) округления коэффициентов Как видите, ничего особенно страшного не произошло — лишь увеличился размах пульсаций АЧХ. Естественно, в любом случае следует обязательно проконтролировать параметры фильтра после округления коэффициентов, чтобы проверить, удовлетворяет ли квантованный фильтр предъявляемым к нему требованиям. Значительно серьезнее сказывается округление коэффициентов на характеристиках рекурсивных фильтров, поскольку коэффициенты знаменателя функции перелачи связаны с импульсной и частотными характеристиками нелинейно.
Как правило, наибольшие искажения происхолят в тех случаях, когда АЧХ фильтра 385 Эффекты квантования в цифровых фильтрах имеет крутыс скаты в переходных зонах лтежду полосами пропускания и задерживания. Приведем пример, иллюстрирующий сказанное.
Рассчитаем эллиптический ФНЧ б-го порядка, имеющий частоту среза, составляющую 0,2 от частоты Найквиста, пульсации в полосе пропускания, равные 1 дБ, и уровень пульсацнй в полосе задерживания, равный -40 дБ. Напомним, что из всех фильтров, синтезнруелтых по аналоговым прототипам, именно эллиптические фильтры дают максимальную крутизну спада АЧХ при переходе от полосы пропускания к полосе задерживания.
Далее округляем коэффициенты фильтра точно так же, как это делалось в предыдущем примере, и строим графики АЧХ фильтра до и после округления (рис. 7.4): » ГЬ, а) - е11!р(6. 1. 40. 0.2); Ж исходный фильтр » Ьц - гоипй(Ь*256)/256: Ж округление чиспитепЯ » ац - гоцпб(а*256)/256; Ж округление энаиенатепЯ ГЬ. т) - тгецт(Ь. а); Ж ЧХ исходного фильтра » Ьц = тгецг(Ьц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
