Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095938), страница 92
Текст из файла (страница 92)
(12-6') Значение (12-6'), выраженное в децибелах, говорит нам, что динамический диапазон данного формата чисел прямо пропорционален длине слова. Следовательно, восьмибитовое двоичное дополнительное слово, имеющее семь бит для представления модуля, имеет динамический диапазон 6.02 ° 7 = 42.14 дБ. Большинство 1 В некоторых компьютерах используются 64-битовые слова. 2вл равно примерно 1.8 ' 10'Э вЂ” это довольно большое число. Настолько большое, что, если бы мы начали прибавлять 1 к 64-битовому числу один рэз в секунду в момент рождения нашей Вселенной (= 20 миллиардов лет тому назад), сегодня четыре старших разряда этого счетчика все еше оставались бы нулевыми. Как мы предполагали раньше, для любого двоичного формата чисел ключевым моментом является количество битов в слове.
Чем их больше, тем выше разрешающая способность для дробных чисел и больше максимальное представимое значение для целых чисел'. Предполагая, что двоичное слово представляет амплитуду сигнала, специалисты по цифровой обработке сигналов находят полезным характеризовать количественно разные форматы двоичных чисел с помощью динамического диапазона. Для целого двоичного слова со знаком длиной Ь+1 битов (один знаковый бит и Ь битов модуля), динамический диапазон в децибелах определяется как 445 12.3. Э екты конечнойдлины слова... людей упрощают (12-6'), используя приблизительное правило, согласно которо- му динамический диапазон равен «шесть дБ на бит».
12.3. Эффекты конечной длины слова двоичных чисел с фиксированной запятой Эффекты конечной длины двоичного слова затрагивают все аспекты цифровой обработки сигналов. Использование слов конечной длины не позволяет нам представлять'значения с неограниченной точностью, повышает шум при спектральном оценивании, вызывает отклонение характеристик цифровых фильтров от рассчитанных, вносит шум в результаты АЦП и может (если мы не будем начеку) привести к очень неточным результатам арифметических операций. Чем меньше длина слова, тем существеннее эти проблемы.
К счастью, эффекты конечной разрядности достаточно хорошо изучены. Мы можем предсказать их последствия и предпринять определенные шаги для их минимизации. Первый эффект конечной разрядности, который мы рассмотрим — зто ошибки, возникающие в процессе аналого-цифрового преобразования. 12.3.1. Ошибки квантования в аналого-цифровом преобразователе Реальные АЦП выдают на выход слова конечной длины. Коммерческие АЦП классифицируются по длине выходного слова, которая обычно лежит в пределах от 8 до 16 бит'.
Диапазон входного аналогового напряжения обычно составляет от — 1 до +1 Вольта. Если мы используем такой АЦП, выдающий восьмибитовые слова, младший бит соответствует значение МЗР - (диапазон входного напряжения)/2 евине ' "'" = = 2 вольта/2В = 7.81миляивольт. (12-7) Это значит, что мы можем без погрешности представлять только те значения входного напряжения, которые делятся нацело на 7.81 — для любых других входных напряжений АЦП выдаст некоторое приближенное цифровое значение. Погрешность данного процесса называют ошибкой квантования, потому что значение младшего разряда АЦП является неделимым квантом. Мы иллюстрируем эту ситуаг)ию на рисунке 12.1 (а), где показан процесс оцифровки непрерывного сигнала восьмибитовым АЦП, выходные слова которого представлены в формате модуля со знаком.
В начале процесса дискретизации в момент времени Г = О напряжение непрерывного сигнала имеет значение 31.25 милливольт (мВ), и значение выходного слова АЦП для отсчетах(0) будет абсолютно точным. В момент времени Т, когда мы берем второй отсчет х(1), непрерьвное напряжение находится 1 В настоящее время в повседневную практику вошли АЦП с длиной слова до 24 бит— (прим. перев.). 446 Глава 12. и овые матыданныхи их ель в об вботке сигналов Выкояное кнв ание АЦП Амплитуда сигнала в милливольтах 31.25 к кгсг ООООО1ОО оооооон ОООООО1О ООООООО1 оооооооо 23.4З 15.62 7.81 (а) о -7.81 1ОООООО1 10000010 -15.62 -23.43 -31.25 10000011 1ОООО1ОО 0 Т 2Т ЗТ 4Т 57 6Т Время -4й Диапазон ошибки квантования АЦП т,81 к в милливольтах ООООВОО1 н к Днвовкон оанакн «евнтоввнкв 1ОООООО1 (Ь) 0 Т 2Т ЗТ 4Т 5Т ОТ Время 4Ы Рис. 12.1.
Ошибки квантования: (а) оцифрованные значения непрерывного сигналахх(л); (Ь) ошибка квантования как разность между реальными значениями аналогового сигнала и оцифрованными отсчетами Рисунок 12.1 (Ь) показывает шум квантования во временной области, но мы можем также показать этот шум в частотной области. На рисунке 12.2 (а) пунктирной линией показан один период непрерывной синусоиды, совпадающий с интервалом наблюдения, а черными точками показана квантованная версия отсчетов этого сигнала. Заметьте, что квантованные отсчеты сигнала могут принимать только целые значения, что приводит к ступенчатиому эффекту отклонения вверх и вниз от истинной неквантованной кривой.
Длина слова здесь равна 4 битам, один бит для знака и три бита для модуля. При этом границы представимых между 0 и — 7.81 мВ. В этом случае АЦП выдает слово 10000001, представляющее значение — 7.81 мВ, хотя входное напряжение не достигает — 7.81 мВ. Выходное слово АЦП 10000001 содержит некоторую ошибку квантования. Каждый последующий отсчет содержит ошибку квантования, потому что значения выходных слов АЦП должны лежать на горизонтальных пунктирных линиях, показанных на рисунке 12.1 (а).
Разность между действительным напряжением непрерывного сигнала и его цифровым представлением показана на рисунке 12.1 (Ь) как ошибка квантования. Для идеального АЦП ошибка квантования, или шум округления, не может быть больше +1/2 МЗР, или +3.905 мВ. 12.3. екты конечной длины слова... 447 значений равны +7. На рисунке 12.2 (Ь) показан результат ДПФ дискретной версии этой синусоиды, отсчеты которой не округлялись до целых значений и точность которых очень высока. Обратите внимание на то, что в этом случае ДПФ имеет ненулевой отсчет только при т = 1. С другой стороны, на рисунке 12.2 (с) показан спектр округленных до 4 бит отсчетов, показанных на рисунке 12.2 (а), где квантование привело к появлению шумовых компонентов на всех частотах.
Если графики шума на рисунках 12.1 (Ь) и 12.2 (с) выглядят случайными, то это потому, что они такие и есть. Но, несмотря на то, что шум квантования АЦП представляет собой случайный процесс, мы все же можем количественно оценить его влияние. дыллиуудв сииусоиды мадамам 6 ° а) ~ ', аде~ 4 ам ., Ь., а аа' . . П ' зз зв зо 42 46 св и 84 ВУ во вз Ои у 0 3 6 9 121518 21 242730 и -2 (8) аам " » аам аа»ави ДПФ ив««аилывиисв сииусоиды (д6) -2О (ь) ыо .80 а и- -1-а-т-а-ви-1-и-1-и-1-а-1-а-(-и-1-и-у(-а а-а-а-м-1-м-1-а-ы 0 2 4 6 В 1О 12 14 16 18 20 28 24 26 28 30 дПФ «вал«ода«иод сииусоиды ИЫ О -зу (с) -4О а а а а и и и а у а -во и а .Вод — а а м а а ' и ° а а — а-«-и-а-а — а а — » ыа- 0 2 4 6 8 10 12 14 16 1В 20 22 24 26 28 ЗО Рис.
12.2. Влияние шума квантования: (а) входная синусоида, подаваемая на 64-точечное ДПФ; (Ь) теоретический модуль ДПФ для высокоточных отсчетов; (с) модуль ДПФ синусоиды, округленной до 4 битов Для оценки качества некоторого процесса или прибора в области телекоммуникаций часто используется понятие отношения сигнал/шум, которое равно отношению мощности сигнала к мощности шума. Мы можем поступить так же и получить выражение 5АУЯл гу для отношения сигнал/шум идеального АЦП, учи- 448 Глава 12. н оные о маты данных н нх ль в об аботке сигналов тывающее эффекты конечной разрядности. Поскольку шум квантования представляет собой случайный процесс, мы не можем непосредственно представить его мощность, но мы можем использовать ее статистический эквивалент, дисперсию, чтобы определить 5АГЯА/Р в децибелах следующим образом ~~~А/Р = 10 ° 1о810(дисперсия входного сигнала/дисперсия шума квантования АЦЦ) = о(0( яр~о(/ А/Р поие ) (12-8) Далее, мы определим дисперсию шума квантования АЦП по отношению к максимальному входному напряжению АЦП У„.
Если полный размах (от — У до + У Вольт) непрерывного входного сигнала Ь-битового АЦП равен 2У, то шаг р' квантования д равен этому диапазону, деленному на количество возможных значений выходного слова АЦП, или () = 2У /2Ь. (На рисунке 12.1, например, шаг квантования г7 равен цене МЗР в 7.81 мВ ) На рисунке 12.3 показан график функции, которая характеризует вероятность получения того или иного заданного значения ошибки квантования и называется функцией плотности вероятности ошибки квантования р(е). роя тности АЦП р(е) -д/2 0 г)/2 е (Значение ошибки) Рис. 12.3.
Функция плотности вероятности ошибки (шума) округления аналого- цифрового преобразования Простая прямоугольная функция может рассказать нам о многом. Она показывает, что вероятности появления любых значений ошибки в диапазоне от — г)/2 до +г7/2 одинаковы. По определению, т.к. площадь под графиком функции плотности вероятности равна единице (т. е. вероятность того, что ошибка окажется где-то в пределах от — д/2 до -~д/2, равна 1), максимальное значение р(в) должно быть равно площади, деленной на ширину прямоугольника, или р(е) = 1/г7.
Согласно рисунку Р.4 и (0.12) в приложении П, дисперсия равномерной функции р(в) равна в/г в/г а2А/Рпо„о = )в~р(в)ав - (1/г7) ° ) вгйе = дг/12. (12 9) -д/2 -в/2 Теперь мы можем выразить дисперсию ошибки квантования через параметры АЦП,заменив 4 в(12-9) над-2У /2Ьи получив р а~А/Р ноно = (2УР) /112 ° (2Ь) 1= ( ур)~/(1 ° 22Ь) (12 10) Итак, мы на полпути к цели — формула (12-10) дает нам знаменатель (12-8), нам остается получить числитель.
Чтобы получить общий результат, выразим уровень входного сигнала через его среднеквадратичное значение (СКЗ), максимальное входное напряжение АЦП и коэффициент использования г'.Г, определяемый как 12.3. кты конечнойдлины слова... 449 АГ = СКЗ входного сигнала/'бтр = а я(/ у' .' (12-11) Мы возводим (12-11) в квадрат и выполняем его преобразования, чтобы представить дисперсию сигнала а 2„. е) в виде (12-12) Подставляя (12-10) и (12-12) в (12-8), получаем 5Ь7Ц/р =10 ° 10810((ЕГ)2172/1)/2/(3 ° 226)1) = 10 ° 10810НХГ)2'(3 226)1 = = 6.02'Ь+ 4. 77 + 20 ° 1оя(0(1Х) .
(12-13) Формула (12-13) выражает 5!!~Я А 70 идеального Ь-битового АЦП через коэффициент использования и количество битов Ь. На рисунке 12А приведены графики (12-13) для разных длин слова АЦП как функции коэффициента использования. Обратите внимание на то, что коэффициент использования на рисунке 12.4 никогда не превышает — 3 дБ, потому что пиковое значение входного напряжения АЦП не может превышать 17р Вольт. Таким образом, СКЗ синусоидального входного сигнала не может быть болыпе, чем Зур /т(2 Вольт (на 3 дБ ниже Р ). (идеальный) 6О ы-б 70 Быстрее ухудшение отношения сигнвл!шун за ограничения 12-би 10-би 40 6-бит зо 6-би го 1О -16 -12 -9 .6 -3 Коэффициент использования (дБ) -21 -16 Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
