Соколов О.Л., Голод О.С., Войцеховский А.Б. Радиоавтоматика. Письменные лекции (2003) (1095887), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Эту задачу решают в следующей последовательности:1. По передаточной функции W(p) в результате применения обратногопреобразования Лапласа находят функцию веса ПНЧ:[]w(t ) = L−1 W ( p) .2. По функции веса ПНЧ w(t) определяют аналитическое выражениедля соответствующей дискретной функции веса w(nТ).3.
Искомую передаточную функцию W(z) получают как Z –преобразование дискретной функции веса ПНЧ:[]W ( z ) = Z w(nT ) .Основная передаточная функция замкнутой импульсной системы позволяет вычислить реакцию замкнутой системы хвых(пТ) на задающее воздействиехвх(пТ). Ее определяют, как и в непрерывных системах, в соответствии с уравнением замыкания через дискретную передаточную функцию разомкнутойсистемы:54x( z)W ( z)Ф( z ) = вых=.xвх ( z ) 1+W ( z )(14)Передаточную функцию замкнутой системы всегда можно представить ввиде отношения двух полиномов относительно переменной z:kk −1+ ...+ b1 z + b0bk z + bk −1 z.Ф( z ) =mm −1cm z + c m −1z+ ...+ c1z + c0(15)Запишем это выражение в развернутом виде :(cm z m + ... + c1 z + c0 ) X вых ( z ) = (bk z k + ... + b1 z + b0 ) X вх ( z ). (16)Левая часть этого уравнения (в скобках) представляет собой характеристический полином замкнутой импульсной системы М (z).В результате перехода от изображений к оригиналам в формуле (16) легко получить соответствующее разностное уравнение системы:()c m X вых (nT + mT ) + .....
+ c1 X вых nT +T + c0 X вых (nT ) == bk X вх (nT + kT ) + .....b1 X вх (nT + T ) + b0 X вх (nT ).Аналогично можно получить разностное уравнение разомкнутой системы по передаточной функции W(z).Передаточная функция ошибки определяется через передаточную функцию разомкнутой системы по формулеФε ( z ) =Е( z )X вх ( z )=11+W ( z ).(17)Зная задающее воздействие и эту передаточную функцию, можно оценить динамическую точность импульсной системы — найти дискретную функцию ошибки ε(nТ).Рассмотрим конкретный пример определения передаточных функцийимпульсной системы. Определим передаточные функции системы, структурнаясхема которой изображена на рис.14.1.Рис.14.1.
Структурная схема импульсной системы55Как видно из рисунка, в прямой цепи системы имеется простейший импульсный элемент (фиксатор) и непрерывная часть (интегрирующее звено).Передаточная функция приведенной непрерывной части:− pTХ вых ( р)1− e= Wф ( p)Wн ( p) = k vW ( р) =.∗2pЕ ( р)Дискретную передаточную функцию разомкнутой системы находим всоответствии с методикой, изложенной выше:X вых ( z )W ( z) =E( z )= kvz −1z1 k vT.=2 z −1p Z(18)Разностное уравнение разомкнутой системы определяем, в случае необходимости, непосредственно из формулы (18):Х вых (nT + T ) − X вых (nT ) = k v Tε (nT ) .Зная W (z), легко найти основную передаточную функцию замкнутойсистемы :Ф( z ) =Х вых ( z )X вх ( z )=W ( z)1+W ( z )=k vT(19)z + (k vT −1)и передаточную функцию ошибки:Фε ( z ) =E( z )X вх ( z )=11+W ( z )=z −1z + (k vT −1).(20)Динамические процессы в замкнутой импульсной системе описываютсяследующим разностным уравнением, полученным из формулы (19) путем перехода к оригиналам:Х вых (nT + T ) + (k v T − 1) X вых (nT ) = k v TX вх (nT ) .Контрольные вопросы1.
Какие передаточные функции обычно используют при исследованииимпульсных систем радиоавтоматики и почему ?2. Как определяют передаточную функцию замкнутой импульсной системы ?563. Как определяется дискретная передаточная функция ошибки и для чего она используется ?15. Оценка устойчивости импульсной автоматической системыНеобходимым условием работоспособности импульсной системы является ее устойчивость. Известные из предыдущих бесед основные определенияустойчивости непрерывных систем применимы и к импульсным системам, но сучетом ряда особенностей этих систем.Обратимся к основной формулировке условия устойчивости : импульсная система устойчива, если ее собственное движение с течением времени затухает.Как уже отмечалось, на практике часто ограничиваются определениемдискретной функции Х ВЫХ (пТ) на выходе системы. Это решение можно получить, например, из формулы (17) в виде суммы свободной и вынужденной составляющих:Х вых (nT ) = X с (nT ) + Х в (nT ) .Таким образом, условие устойчивости системы следует записать так:lim x (nT ) = 0 .n→∞cОценку устойчивости импульсной системы, как и непрерывной, обычнопроизводят на основании исследования характеристического уравнения замкнутой системы, получаемого из формулы (16):M ( z ) = c m z m + c m −1z m −1 + ...
+ c1 z + c0 .(21)Это алгебраическое уравнение имеет m корней zi на плоскости z. Однаptко, поскольку переменная z появилась в связи с подстановкой z = e i ,то каждый корень zi связан с корнями рi на плоскости р зависимостьюptzI= e i .Легко заметить, что нулевому корню, например р1 = 0, соответствуеткорень zi= 1, а корням рi с отрицательными вещественными частями соответ-ствуют корни :zi < 1 .Теперь можно дать формулировку математического условия устойчивости: импульсная автоматическая система устойчива, если все корни ее характеристического уравнения (21) лежат внутри круга единичного радиуса, построенного в начале координат комплексной плоскости z (рис.15.1, точки z1, z2,z3, z4, z5).57Если хотя бы один из корней лежит на окружности с радиусом R = 1, тосистема находится на границе устойчивости (рис.
15.1, точка z6).При наличии корнейzi > 1 система неустойчива (рис. 15.1, точка z7).Рис.15.1. Комплексная плоскость ZОпределение корней характеристического уравнения (21) при m ≥ 3 сопряжено с известными трудностями. Поэтому на практике находят применениекосвенные оценки — критерии качества, позволяющие оценивать устойчивостьимпульсных систем без определения корней.К импульсным системам применим любой из известных критериев устойчивости непрерывных систем. Однако для этого предварительно необходимо произвести билинейное преобразование полинома М (z) в полином М (ω)по формулеz=1+ ω1− ω.(22)Такое преобразование позволяет отобразить единичный круг плоскостиZ (рис. 15.1) в левую часть комплексной плоскости р, аналогичную области устойчивости непрерывных систем на плоскости р.К характеристическому уравнению М (ω) = 0, которое также имеет порядок m, применимы алгебраические критерии устойчивости И.
А. Вышнеградского и Гурвица. Оценим устойчивость двух конкретных систем.Пример 1. Импульсная система первого порядка имеет характеристическое уравнениеM ( z) = c z + c = 0 .1После подстановки (22) получим058M (ω) = c1или1+ ω1− ω+ c0 = 0()(c1 − с0 )ω + с1 + с0 = 0 .Система первого порядка устойчива, если коэффициенты ее характеристического уравнения положительны:(c1 − с0 ) > 0,(с1 + с0 ) > 0.Исследуем устойчивость импульсной системы с передаточной функцией(19) (рис.14.1).Характеристические уравнения этой системыM ( z ) = z + (k vT − 1),M (ω) = ω(2 − k vT ) + k vT = 0.Отсюда получаем два условия устойчивости:k vT > 0,k v T < 2.Второе условие раскрывает важное свойство изучаемого класса систем:устойчивость импульсной системы зависит не только от общего коэффициентапередачи в разомкнутом состоянии kv, как это имеет место и в непрерывныхсистемах, но и от периода дискретности Т: чем больше Т, тем труднее обеспечить устойчивость системы, при неизменном kv.Пример 2.
Характеристическое уравнение импульсной системы второгопорядкаM ( z ) = с 2 z 2 + с1z + c0 = 0 .После перехода к переменной ω получаемM (ω) = (с 2 − с1 + c0 )ω 2 + (2c 2 − 2c0 )ω + (c 2 + c1 + c0 ) = 0 .Система устойчива, если коэффициенты ее характеристического уравнения положительны:(с2 − с1 + c0 ) > 0,c 2 − c0 > 0,c 2 + c1 + c0 > 0.59Эти три неравенства позволяют оценить устойчивость импульсной системы.Исследование устойчивости систем третьего и более высоких порядковпроизводят с помощью критерия Гурвица.Контрольные вопросы1.
Как формулируется условие устойчивости импульсной системы ?2. Какое математическое выражение служит исходным для оценки устойчивости импульсной системы ?3. В чем заключается практический метод определения устойчивостиимпульсной системы ?16. Качество процессов в линейных импульсных системахОсновные показатели качества процессов в импульсных системах такиеже, как и в непрерывных автоматических системах: время регулирования tp, величина перерегулирования σ и число перерегулирований п (показатели качества переходного процесса); точность работы систем в установившихся режимах.В чем же особенности исследования качества импульсных автоматических систем?Оценку показателей качества переходного процесса производят по импульсной переходной функции системы h (пТ) — реакции на единичную ступенчатую дискретную функцию Хвх (nТ) = 1 (пТ).Изображение реакции системы в смысле Z-преобразования находят поформуле (14)Х вых ( z ) = X вх ( z ) × Ф( z ) .Так как изображение единичной дискретной функции[]Х вх ( z ) = Z 1(nT ) =zz −1,то изображение дискретной переходной функции импульсной системы[]H ( z ) = Z h(nT ) =zz −1Ф( z ) .60Как видно из этой формулы, изображение можно представить в общемслучае в виде отношения двух полиномов.Следовательно, для нахождения Н (z) достаточно знать передаточнуюфункцию замкнутой системы Ф (z).Далее, необходимо по изображению найти оригинал h (пТ), т.
е. осуществить операцию обратного Z-преобразования. Эту задачу часто решают методом разложения функции в степенной ряд по отрицательным степеням z (делением полинома числителя на полином знаменателя). Коэффициенты полученного степенного ряда равны дискретным значениям импульсной переходнойфункции в моменты времени t = пТ. Другой метод требует разложения Н (z)на простые дроби.Рассмотрим на примере методику оценки показателей качества переходных процессов импульсной системы, изображенной на рис.14.1, при различныхзначениях ее параметров kv и Т. Изображение переходной функции системы сучетом формулы (19)H ( z) =1.zz −1Ф( z ) =2k vTz.z + z (k v t − 2) +1− k vTПри kvT= 1,5 изображение переходной функции системыH ( z) =1,5 z2.z − 0,5 z − 0,5В результате деления числителя на знаменатель находим:H ( z ) = 1,5 z −1 + 0,75 z − 2 + 1,125 z − 3 + 0,937 z − 4 + 1,03 z − 5 + ...Коэффициенты степенного ряда определяют следующие значения дискретной переходной функции-оригинала:h(0) = 0, h(T ) = 1,5, h(2T ) = 0,75, h(3T ) = 1,125, h(4T ) = 0,937,h(5T ) = 1,03 и т.д.График переходной функции для этого случая изображен на рис.16.1, а.Анализ графика позволяет определить показатели качества переходного процесса: tp = 5Т сек; σ= 50%; п = 4.61Очевидно, что для уменьшения величины перерегулирования необходимо уменьшать произведение k vТ.Рис.16.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
