Калиткин Н.Н. Численные методы (1095854), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

В настоящее время ЭВМ стали обычным оборудованием многихинститутов и конструкторских бюро. Это позволило от простейших расчетов и оценок различныхконструкций или процессов перейти к новой стадии работы—детальному математическомумоделированию (вычислительному эксперименту), которое существенно сокращает потребность внатурных экспериментах, а в ряде случаев может их заменить.В основе вычислительного эксперимента лежит решение уравнений математической моделичисленными методами.

Изложению численных методов посвящено немало книг. Однако большинствоэтих книг ориентировано на студентов и научных работников математического профиля. Поэтому внастоящее время ощущается потребность в книге, рассчитанной на широкий круг читателей различныхспециальностей и сочетающей достаточную полноту изложения с разумной степенью строгости приумеренном объеме.Предлагаемая книга отвечает этим требованиям. Она достаточно полно освещает тот круг вопросов,знание которого наиболее часто требуется в практике вычислений, и содержит ряд разделов, которыередко включают в учебные пособия. Умеренный объем достигнут за счет тщательного отбора материалаи включения в книгу только наиболее эффективных и часто используемых на практике методов.Материал изложен четко и сжато, при этом большое внимание уделено рекомендациям попрактическому применению алгоритмов; изложение пояснено рядом примеров.

Для обоснованияалгоритмов использован несложный математический аппарат, знакомый студентам физических иинженерных специальностей.Книга рассчитана на читателя, который занимается не столько разработкой численных методов,сколько их применением к прикладным проблемам.

Однако в процессе работы над книгой читательзнакомится с основными идеями построения вычислительных алгоритмов и с их обоснованием иприобретает знания, достаточные для разработки новых алгоритмов. Эта книга является по существувведением в численные методы. Овладев ею, читатель затем может углубить свои знания, обратившиськ руководствам по теории разностных схем и по методам численного решения отдельных классов задач.Книга написана специалистом по теоретической и математической физике. Она возникла врезультате работы автора над рядом актуальных проблем физики в Институте прикладной математикиАН СССР и преподавания на физическом факультете МГУ.Несомненно, книга окажется полезной широкому кругу читателей — студентам, аспирантам,научным сотрудникам и инженерам математических, физических и технических специальностей.А.

А. СамарскийПРЕДИСЛОВИЕСложные вычислительные задачи, возникающие при исследовании физических и техническихпроблем, можно разбить на ряд элементарных—таких как вычисление интеграла, решениедифференциального уравнения и т. п. Многие элементарные задачи являются несложными и хорошоизучены. Для этих задач уже разработаны методы численного решения, и нередко имеются стандартныепрограммы решения их на ЭВМ. Есть и достаточно сложные элементарные задачи; методы решениятаких задач сейчас интенсивно разрабатываются (например, решение уравнений бесстолкновительнойплазмы).Поэтому полная программа обучения численным методам должна состоять из ряда этапов. Вопервых, это освоение логарифмической линейки, клавишных вычислительных машин ипрограммирования на ЭВМ.

Во-вторых, основы численных методов, содержащие изложениеклассических элементарных задач (включая основные сведения о разностных схемах). В-третьих, курстеории разностных схем. И в-четвертых — ряд специальных курсов, которые сейчас нередко называютметодами вычислительной физики: численное решение задач газодинамики, аэродинамики, переносаизлучения, квантовой физики, квантовой химии и т. д.Эта книга является введением в численные методы.

Она начинается с простейших задачинтерполирования функций и кончается недавно возникшим разделом вычислительной математики —методами решения некорректно поставленных задач. Книга написана на основе годового курса лекций,читавшихся автором сначала инженерам-конструкторам, а после переработки—студентам физическогофакультета МГУ. Для каждой задачи существует множество методов решения. Например, хорошообусловленную систему линейных уравнений можно решать методами Гаусса, Жордана, оптимальногоисключения, окаймления, отражений, ортогонализации и рядом других. Интерполяционный многочлензаписывают в формах Лагранжа, Ньютона, Грегори—Ньютона, Бесселя, Стирлинга, Гаусса и Лапласа—Эверетта.

Подобные методы обычно являются вариациями одного-двух основных методов, и если дажев каких-то частных случаях имеют преимущества, то незначительные. Кроме того, многие методысоздавались до появления ЭВМ, и ряд из них в качестве существенного элемента включает интуициювычислителя.

Появление ЭВМ потребовало переоценки старых методов, что до конца еще не сделано, идо сих пор по традиции большое количество неэффективных методов кочует из учебника в учебник.Отчасти это объясняется тем, что эффективность многих методов сильно зависит от мелких деталейалгоритма, почти не поддающихся теоретическому анализу; поэтому окончательный отбор лучшихметодов можно сделать только на основании большого опыта практических расчетов.В этой книге сделана попытка такого отбора, опирающаяся на многолетний опыт решения большогочисла разнообразных задач математической физики.

Для большинства рассмотренных в книге задачизложены только наиболее эффективные методы с широкой областью применимости. Несколькометодов для одной и той же задачи даны в том случае, если они имеют существенно разные областиприменимости, или если для данной задачи еще не разработано достаточно удовлетворительныхметодов.Часто приходится слышать, что наступила эпоха ЭВМ, а «ручные» расчеты являются архаизмом.

Насамом деле это далеко не так. Прежде чем поручать ЭВМ большую задачу, надо сделать многооценочных расчетов и на их основе понять, какие методы окажутся эффективными для данной задачи.Конечно, даже в мелких расчетах ЭВМ с хорошим математическим обеспечением и наборомпериферийных устройств (телетайп, дисплей, графико-построитель) оказывает большую пользу. Однакологарифмическая линейка и клавишные машины еще долго будут необходимы. Поэтому большинствометодов, изложенных здесь, в равной мере пригодны для ЭВМ и «ручных» расчетов.Основное внимание в книге уделено выработке практических навыков у читателя. Поэтому в первуюочередь изложены алгоритмы, даны рекомендации по их применению и отмечены «маленькиехитрости»—те незначительные на первый взгляд практические приемы, которые сильно повышаютэффективность алгоритма. Теоретическое обоснование методов приведено лишь в той мере, в какой ононеобходимо для лучшего усвоения и практического применения.В книгу включен ряд сведений, не относящихся к необходимому минимуму, но полезных читателюдля лучшего понимания тонких деталей вычислительных процессов.

Чтобы не увеличивать объем книгии избежать сложных выкладок, эти сведения приведены, как правило, без доказательств, но со ссылкамина дополнительную литературу. Некоторые сведения даны в форме задач в конце каждой главы.Предполагается, что читатели знакомы с основами высшей математики, включая краткие сведения обуравнениях в частных производных. Необходимые дополнительные сведения, которые не содержатся вобязательных курсах университетов и втузов, сообщаются здесь в соответствующих разделах.Книга разделена на главы; параграфы и пункты. В начале каждой главы кратко изложено еесодержание.

Нумерация таблиц и рисунков—единая по всей книге, а нумерация формул—самостоятельная в каждой главе. Если ссылка не выходит за пределы данной главы, то указываетсятолько номер формулы; если выходит—то номер главы и номер формулы. В конце книги дан списоклитературы. Приведенные в нем учебники и монографии рекомендуются для углубленного изученияотдельных разделов. Журнальные статьи даны для указания на оригинальные работы, их список непретендует на полноту; более полная библиография имеется в рекомендованных учебниках.Общий подход к теории и практике вычислений, определивший стиль этой книги, сложился у меняпод влиянием А.

А. Самарского и В. Я. Гольдина за много лет совместной работы. Ряд актуальных тембыл включен по инициативе, А. Г. Свешникова и В. Б. Гласко. Много ценных замечаний сделали А. В.Гулин, Б. Л. Рождественский, И. М. Соболь, И. В. Фрязинов, Е. В. Шикин и сотрудники кафедрыприкладной математической физики МИФИ. В оформлении рукописи мне помогли Л. В. Кузьмина и В.А. Кра-сноярова. Я пользуюсь случаем искренне поблагодарить всех названных лиц, и в особенностиАлександра Андреевича Самарского.Н. Н.

Калиткин.

Характеристики

Список файлов книги