Казанджан Э.П., Казанджан Г.П. Вычисление пределов (1995) (1095445), страница 4
Текст из файла (страница 4)
тому Ф-й А Р„Уме.ьР 1етп — . —, 1(тте— е х е» Я' 'Ь 6»емц~, д -11пт -11 ам 1. ' а 1 (дт хЯаь-жльа-1) эе 1.(ее 137же+1) р 13. Некоторые хрестоматийные прииеры и приемы а тт/Ы 1 и т,д„ м-ь.ео де+2'т'ж м( '+'1 Ь Отталкивеясь >т этих проотейюих примеров, монне прийти к елекующену утверэд -чне (ноторов легко,покеэвть)е волн ее н тг - бе»кон-чно ,ольшие величины одного поркпкэ, т.е, тл, а»ем и тг 8ал, причем ат8т»О, то их »умма та+ту (а».В) ст". В случае ке а т3 О, т.е, а -8 теореме не рвботзет, и»луче»тол рвзнооть бесконечно эльвик, которая, квк мы внпели (ом.
$ Ь), покет быть чеи угпкно. Аналогичное утверкэение кювет ивето и длл бе»конечно малых величин: вслм еь "ажм,ть Вая, то е(те~(ат(т)жп, но при ать О. т,е. а -8, величине о( +уй , ооглесно теореме нз Ф 7, обязана быть бесконечно палой более высокого порядка, чем квелая иэ ник.
1 1Я. Отношение мирт»членов и и а .ме "Лобовзи" попотэновкв преэельного значения эргументэ Ж » не двют результате лишь в одном олучае - когда и числитель, н энзменатель обращаютоя при етом з О (еолн только знемензтель, то зто ке отравно - топке предел дроби равен бесконечности). Но, квк иэзеетно из алгебры, обращение многочлепэ э О при й: ег оэна» чает его делимость не Ж, - д , тек что олекует оокрэткть числи» ° тель'и знаменатель нв м - м . Нэпримерт » мл-6»т+Ь .4»в ь7(ее -й) 1(тп 1(теъ— ~Ы М т Ь Л -ЗМ»1$ Х-ей.(ЛЬ Ь)(М-Ь) ж -Х д тмь с4'1(м + 1'т Я 11тп 1)пч т — -' — ' а- М44в УЯЯм+1) Ь Ясно, конечно, что в случае крвтноотн корня Ф этот прием пов» торг тоя; ь л Ю ( ь 2 '+2 -2 16 е) рассмотрим овиН чэотный случзй вычисления пределе разиоети бе»конечно болыенх величин окпого порялхз: 1)пе ()~~ +1- а емче - Б ); прием, который здеоь испольэуетоя, хрестомзтнек - умно- пение и деление нэ оуюу тех ке рзднкзлов (еек налива»поз оопрнэенное вырзненне): ~".( 1 ро 11пе ('астм ь( -)та ) 1(пт О эт »фью )~Ы Гт Я' (рвзнооть беоконечно болыенх).
Илие 4 х-1 й~ эе-т 11пт — т 1)та э/д ею О ж ' а 'О ж()тй+м ч1) (отноаенке бе»конечно малых). И анзлогнчнот (разность бесконечно больших); ,4+а ~" 1)тее = 11пт 4й а» О ю ее ~.О ое( (1»а)~+т)т1»а'+О ь ,(отношение бесконечно мелик). .Этот прием кэзо запомнить н полюбит'ь » ук очень он преет и еффркткэен. Еще не»колько примеров подобного »клее екр+а -,:щл 1ттп фж(то+1)-ж) 1(тг~ —; л еэ" » '~~(хМ) '+»е (ревность бесконечно больюкх); — .еюл+1-.»ед' 11м)' ес(ум+(-зе) ь11пс а — =— ':, l 2 м.ф ° т(Я~~~.+м 2 (произведение бесконечно болыеой нв разность бесконечно больших); 17 )4+ж -)4-,х .й' ж-'.4, + ж 11«п 1«н« 1 ж -0 ж ж 0 м(24+и ч"т'«-~) (отнсаение бесконечно малых); 6 /~ ь 9- (6+м)1 (1+~а) 11: — 1Ь -««ь и + ~-~Б"~ а' 4 Р+24Г х)В-(6-хЯ (отноненне бэскснрчно малик), б) рассмотрим ане один тактический прмем (космзтпческого, в общем ис, характера), который удобен прн работе с рапикзлзмн разных степеней иэ сапого аырваения, Например« 1«тп— ж «1«м'-4 (ввезя новуп переменнув «фж» у, мы избвзимоя от иррациона- льностей и покупки привычное отнонение ыногочленов) У~« -(22-6(2г+КК)гЪО Ь, й - -я"- Аналогично )Й -6 у-6 4УЖ~У 4И .4) ..
11н«1«н« — 1)н« 3. м» 64 '~п -ф ф х»Ф Ул 6 у» к б«г»6$(у~.й) Вот насколько характерник примеров лля азмостоктвльного раисина« )4+аж -6 ~Й-м -6 : 1 й+~Я" ь '''1 а«с +й хсю+Ю - й)оп+1 ж й с2'. а." '"г' 6 ~з 6 з) Прн змчнолении пределов отепенно-показательных знраазняй ( 1«н«(Ям))«У ) моавг астретитьоя ситуация,, аналогичная «у(м) эторому вамечатвхьпому предай~ (когла 1«пь~~м1 .1, е 11пь«у(м)» * са ), записывавнону в 'двух пквятичиых вариантах: хйх 11 . (1. -~)-Е, клн 12 .
б«е () е. и» хюа м ' с«» 0 н конкретнщ примере„квк ыоает быть ревлкзсзз на "подгонка под второй замечательный прааел. Ж-« ""' В ' 1, ~=) =11- Р- — )- х со Х»2 и '"ь м+2 к+2 с (»,.ь) з так как 1)с« ~, 1 Е' 1«п Х.ФЬ »О с+й Илн « 1 5(н~ 1«т («+а«п «с). » 1«го ~ (1+ з(п х) ) е х-0 " х 0 Самостоятельно: '(к "... сй угх 1«т(«ьж ) -...; 1Ьп (1+в(паях) хч 0 х~« « ж 6 ж-6 16п ~ — ) =„,- 1!с~ (ссз'ж) х»»о» Ж+6 х» 0 з 14. Таблица основных эквивалентных бвскснечно малых велячнн н ое практическое использование Саная.хоровая 4ункцпя - многсчлен. Впрочем, нле лучив его отправные.слвгаеюыв - однсчлены ж, ж,,;с .„Сни облааант 2' 3 презренным,свойством порядка, твк что споры.сраки них по поводу стэрпинстаз нскавчен.
Все ясно - .и. как аскет себя квпазл степень, и.кто кому подчиняется (сн, 6 7-6); при ж . О сумма различных степеней эквивалентна ннэвей нз ннх, в прн «с сс - эпопей,: К соазленяп, зсе,другие .элементарные,4ункснк (показвтельнзя, ййгарн$яичвокая, тригснометрихескав) у«к) йе столь удобны э обрзнении, сказам, срезу андпс, что при ж -О и ал"с«0 и 2 , и 12« (1 +Зм ) - бесконечно малые величкны, но какая кз нэх быстрее стремится к 07 квк их срзвнитьт 1 Очень проото - если найти лля етих наличны зкзизаленгные бесконечно малые а клаоое одночленоз, т.е. тем оамым установить порязок. С зомощьп первого ззмечетвльного прааела нетрудно найти; 1)т Х' 1(пъ щ — 1,„ агсз)п ж а «-О щ' а ч-О щго(й к 1-солж Ит ~ — -~ — 1; 1)тп, 0 ч щ О же/2 с поыощьз второго замечательного предела: 1пп.
— А ) 11пж в -1 1т~(1+я) а.»о Ж, ж О кроме того (ом, ) 13а): 11 — '=1; 11 щ 0 щ/2 ',х О ж/й Сваля воедино ати результаты, мы получим таблицу основных еквнвелентных беоконечно малых: Эта таблица при аычиоленки пределов гак не ванна, кек таблица уыноженкя в ари((метине. Ныоокея а$)ектнвнооть таблице оч» видна - о ее помощьм арктангено, логарибмы и ирочке неудобовернмости (в лвзмх честях) превращептсл з одночлены (в правых чаотях), так что при ж О: лгп(жущл. щл, )щ(ж+Ьж) ° Эло и т.д.
Теперь, обледая таблицей в оочетании о теоремамк об еквивалвит ных беоконечно малых (ом. $ 7), мы имеем весьма з44ектызное ередотво для уотаноалвния порядков бесконечно мамах н, отаве бйть, для вычиолвния прщпвлов. Очеаияно, при М . О е(ц а+1 (1т з') г (поряпок первого слагаемого 1, порядок второго олагзеыого 2, порядок оуммы 1); ф~(,й ~Ь „„,л (порякок первого олагаемого 2, порядок второго олегаемою 3, поряяох оуимы 2)( ятсен~ зо 4- Ф ьзйн,ъ/7+'1фхоз . тЯ"' (порядок первого олагеемою 1, второго - О, третьего 1/2, четвертого 2, порядок оуыыи 1/2). Ноевому легко вычиолявтоя, например, слзжуалие пределм: вам, дь )Лпх ' 11тп .— .0; м О (.-спбу оь 0 жз/2 агсщ)тж Ье Ьж м — -рт — а~»" О ад"оЩ бж жал Р 5оо Отнвтим довольно распространеннуз оаибку - замену а разности бвоконзчно малых нз екзивзлентнме при одннако чх порядках мелоотн (при различных порядках малооти такая замена, хоть и не празуоыотрена теоремой, беззреапа).
Эте ситуация рассмотренными теоремами не охвачена (точнее, может быть охвачена, но, тек оказать, не злгоритмнчно), хотя ничего отравного з ней нет. Расомотриы, что получеетоя при вложении (внчитвнии) беоконечно малых " очного порядка. Легко доказать (зта почти очезизноь что если з/«ахд,/й Зад, то а(т/й«(ат())хлгда (к+6 т'О 'Г,е, ПРИ Ды (); тбозжыг. 2а; 2Е)жхзьа+1-Сазж чбзаз/2 И т.д. В случае а ж4 0 (вычитание зквнвзлентных бесконечно' малых) имеет изото теорема: разнооть двух беоконачно малых язляетоя бесконечно малой болев высокого порявка, чем кжпая из них (зерна, котати, и обратная теорема - ом. $7). И хотя ета теорема не воагда дает практнчеокув пользу, она, по крайней мерв, должна предоогервчь от опибочных записей типа й()ь м -а ~ О или $2))зз -м () (7(), тек как при ж О ' йбуь щ ог и, отака быть» Вйтьзв Ф О(~).
Лля приобретения нвобхоянмого навыка и зилании типа беокоижечзщ малых величин, а также их парадиза, рекоыенкуен прорезать (уотно) бнотро)) олзпунщие примеры~ ,й 0 (бескон ечно малые) Й» бф ваю лгп~ф жйт л.м п~е(т~ж» РбФСЬ Яю 1-ппй оа+ ва айбт ыЯ)" l Эь а)- б +22» ф Зим» 1 пбм ~ Ф-йа(мвьй)~м бм~~ъгм»ьб(вм л папй)(л+Ь~Ь4ЦБлуеб)птм-ЫщЯ~а)ль Я-йийео Ф Отель же напевно поработать н с беаконечно больаимн вели чинами.,Предварительно стоит .иопомнкть теоремы (ам.
4 8): 1) ауыма бесконечно больших равных парников эквивалентна олагаемому высшего паряака; 2) сумма бесконечно большой величины и огрвнкчемной эквивалентна етой бесконечно большой; а такие эебыть (временно() таблицу вдвнвалентных беаконвчно малых., й ж- юв, (беаконечно больиие) . Ям+йЖ~' ~Я~ »-,и с((р(м" й'ю- ~Й + а1»ьааа ~ «.боо .~д.ы, у)и'+дл~а1~р'ь )~д~+~Я, й ийпла % .Г+Яж-Зв л ь тЬ»-1~и 1-апб й"+~'- Ж а1щм с~ л ж СОбл~ а~агой)ма)' ж1~ ж~» »(й лт еАп Ж м (ф-лоб~3» е"™-1 агалраъм ( 1п (1+ а)пм') +а(п.
» 3.»' ,~*.„~рм» Ба)пйщ»(дм хфхпйм Ь(фв ч ааааа а»' ~Багаеьп м- тЫр $(пм (~ма. ч4:Ф,ЙУс(фыр ж(х-соа и) ~3 б» т'б+м -ь Х+ В$тЖ (у1.ь й~ ма-1 1п(1»у'в ) ' бам »Ялга(((бм м(1»м)-1йгвэ( вр~ а(тВ ж $ф ж» иб а аоб аа й е 4, г еа п~-1 а 1в(1 мй)~м)~ й+Ю -б 1+кжьы~ж-й ~~В+~~ ~)~й» Фал и* рай(нж ье -1 Лб» Фго1«'у4" 4а»'яа +: К,б ь 1»ьм а»ы~.м.( т йм ф»ьаат~м»(» ь ~ Х е а л ъ З» бхп ~.»' жа„1м~ ж ФЮ а)$(1май. »Я'»' »»пивЪ» "' .Ф Ф Дри вычиолении праавле отношения двух величин напояьэуется иэвеайнвя теорема (см. $2): предел частного равен частному правелоа. Формальнал оговорке о неравенстве О пропела знаменателя, очевнино, никому не мешает: еалн прн этан преяел числителя отличен ат О, то предел чаотного равен бесконечноатн - только и ааего.
Теореме переатает работать в,авух случаях - когда обе пререлв, числителя и внаненателя, обращавтоя либо и О, либо в беаконечнооть, Яанах что в принципе ни та, нн другое не помеха аущеотвованиэ преивлв отношения - папочного нли беаконечного (аапомните первмй замечательный предел или откованна нногочленов нэ бааканвчнооти).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
