Казанджан Э.П., Казанджан Г.П. Вычисление пределов (1995) (1095445), страница 2
Текст из файла (страница 2)
переменная велнчнна, нмеющвя првкел, ограничена( другйни оловзмнг нз.схцккмоств послевэвкдельноВти слапует ва' огрвййчей ° ность Обратное узверккенмв неверно, т".е, ограничейнвя величина монет к' не иметь предела;.мз' ограничвнностй"не слчаует схоан-', мость. (Вспомним, что означают указанные свойства геонетрмчески: л сходнмость - попадание в сколь' уголно уэную 6 -полоску, ограниченность - хотя бы в накоторую полосуЭ Для уясненкя этого полезны негвтнэные пркмзры: послаяоватэльностн м - ('-4Ф н ж врщн РЬ и ограничены (в обоих случаях ~ сс ~,~ з ), однако пределе не л Имеют. (Немного отвлекаясь, рассмотрим н понлтне, протнвополокное сходкноста, '- рвсходныость.
Формально ввести соответствующее определение нэслокно — ото отеутствне сходкмости, Но такое апрапеление носит откровенно.негативный характер. В принципе, необязательно, но весьма полезно поотраить н позитивное определение. Это несколько слокнее,во довольно прозрачно по нкве. Вот как буден действовать. Возымев опрваеленке сходящейся послековательнос"последаватеаьнсоть 1 а„) называется сходящейся. если существует такое число РЭ , что для любого В 0 найдется такое ЯРР(п), что для всех ц « ))( : ~,х -Я ( ~б" и сделаем в нем все "наоборот"; получится: "последовательность ( д ) называется расходящейся, если для любого числа Я падается такое Э « О, что для любо-" го ,Ибудет хоть адин такой номер )Р « Ц , что ~щ»-.А! «ц"..
Отметнм вще, что если записать исконное опраквленке с квантбрамн 3 . н Рб., то операция "наоборот" ревлнвпввлзсь 'бы совсем просто -."рокировка" нввнторов, к все готово.) $.4. 'Неог аннченнооть, Бесконечно больная велнчннв ' Расснотркн теперь неаграннченные велкчннм и попутно несколько обоРбщнм понятна првкелв. Вспомнкм бесконечно малую ввлнчнну й представим синщвтрнчцую ситуацию - нв поп(данке в сколь угодно Р- ' РР,, ЬРР," Ф МРя ЬРф ю Р~чд ' Р й М' 'низ(РВРавтоРя 'бесконечно„больной,а,данном процессе, волн, како ео бы нк быРлс йостоянное число М « 0 , наступит. а етом прсцеоое такой момент, после которого уке всегда выполняется неравенство: (и'( эьЩ .
Вроне того, будем в таком случае говорнть, .ЭтсР ВвлКЧНнв и ",инэвт, бесконечнып правел. (Всеночно, это слокосочетанне поначвлу. речет-слух„ но'довольно быстр(угстайоэнтся ПВ)П(НЧННН.) ИрООтвйккв:;ПряМЕрМ:.,ьР:» ц 'Ч ц ( МЬ .' Вэанмосвяэь бесконечно болькск к бесконечно малой величин стра(РвРМ Р теорема'. если гу - бесконечно малая (не обращающаяся в 0), то 1/ и - бесконечно больная, н наоборот, 7 !!аленькое эзыечэииа терминологического хэрямч орэ.
В определении бесконечно балы>ой величины Фигурирует ее»лщэуль> э сзыэ онэ, стола быть, ыо»от, э принципе, и сохранять «'>"эк (+ или -), и но сохРэнлтгч например! и (энэк >); И (:э!'Як -)' (-1)" И '- знак не сохраняется. Иногда наобходкио рпг>личать эти ситуации и ь случае сохранения онако пясэть ооегэо.готэеинсг 11>п и +о'! 11»п (-и) -с'. (Кстати сказать, иногда это начет и >х иыэть значение и при рассмотрении босконочис палых ° н тогда, соотэотстэенно, удобно акоп>ьг 1!тп 1/и ь О : 11тть (-!/и ) и ->" и Напомним некоторна сэойстяа ба«комеч>к> болен»»х величин Гтеорэыы)г 1. !1роизявдэние басконочно больаих величин — >ба«конечно большая. 2, Оуммз бесконечно больной и огрзниченной г>олнчин - бааконечно больиэя. (Геометрический смысл этих теорем гголзэна продумать самостоятельно.) Рассмотрим взаимосвязь неограниченной и бегкс»оечно балычок величин.
Очевидно, бесконечно больиал воличинэ - »»«>ограни>энкзл, обрат>юе,утаериденкэ несправедливо, т.е. нестранные»»п>ая величина не обязана быть бескоиочно «альмой. !1ослелнео полог>»эо осоэнзть геометрически (дабм на.,нпасть в чзото истречпющеасгх ээблу>авниз)! бесконечно больазя величина - рано или позлно цалы»еом "вылезающая" иэ любой .>)б-полос»>, ноогрвничениея - не веклхк»чэемви полностье ни в аэну /)б-полосу. Чтобы ощутить, что зто на совсем окно и то ке, нукно придумнть пример последователь»еопти, которая бы облвдзлв слвдующим Ънбрипним" свойством! околь угодно чээго "эылеэвлв» бы нэ любой >й(-полосы и сколь угодно ласта окаэыээлзсь бм в ней.
Иростейаий прямер (грзфмк - «акоста»чтельно)г ! 1 + (-1)™Д — О>2>О>4,0>6... (члены с нечетным»э номврзми рэв ' й нн, О, з с четными - п . т.е'. четные номера послщ>щонзтельиости обеспвчявпют ей неограниченность, е нечетные не погвоолмэт стать бесконечно большой). $ 6. Классификация переменных величин Итзк, незаметно для сабя иы познвкомилиоь с с»омозныин тип»ык, переменных величин> тзк сквззгь, основам>и мо>колями иэтэизтического эивлнэв. Лля >аглякнооти их.
наина мзобрпгьэчть на слэзуещей,«хоме: БЕРЕМЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ НЕОГРЛНИЧЕННЫЕ ОГРЛНИЧЕ~НЫЕ ИМЕ(ЩИЕ ПРЕИЕЛ Иескоиечно малая >. константа) 1/и НЕ ИМУЛЩИЕ !!РРДУЛЛ ВЕ(НОНЕЧНО ' НЕ ВЕСКОНЕ(НО ВОЛ ЫЕ(Е ВОЛЬЫИЕ 11+(-Л)") гх Про!ел бесконечна малой розен О, прелая бесконечно болыэой- бескоиечности, в лвух остальных случаях прекел не существует. Одно замечание. Очевикно; тип величины не меняется от умнокения аэ иа любую отличную от О константу (в честности,-на -1, так кэк в опрепелвниях 'типов величин фигурирует модуль), а тзкке от при- бавления или вычитания констзнты - только бесконечно палая вели- чина после прибавления константы уча перестает быть бесконечно . малой, ее преэел становится резным не О, з этой прибаалвнной кон- станте, нзпримерт 11пт (1+1/П)ь( ! 1»гп (-В+1/»ч) Е и т.д.
й'теперь свмое главное - что че требуется на практике: столкнувюись'с' любой переманной величиной, нучно узкзеть ее тип, н, воли прелюд существует, - суметь его нзйти, используя извест- ные свойства к теоремы, з такие.ряд конкретных тзктмчесиих при- емов, некоторые иэ которых мы ничз рэссмоурим. для закрепления рассмотренного рекомендуем озмостоятельно про- думать, что' получается'(или макет напучиться) при простейвих ври- фыетических опеРациях' с четырьмя .укаэанными типами величин -' олс- вэнии-эычнтзнии, умнохении, делении.. Возниизет' 12 запропав — нз.
некоторйэ из иих;.однозначно отвечают известные теоремы (акзкем, произведение огрвниченной нз бесконечно малую.иян оуимв бесконеч- но больной и ограниченной), кругиэ!манна Задумать (сквкпы; суима огрвнкчанн>ог величин), однэио нэкоторыегВнгубций'з принципе'ке формализуются, оквкем;.«умыв бесконечно болваня'величии макет оказаться любой величиной;'что поятзер»(эйют следующие примеры;' п+(Л -гх) ! .
-. константа! и+ и Еи. г- бескэнечно болваня! и (й/и -и) х/и — бесконечно мала»»( ...уха.((-А)и-и)ы(:-Е)и - огрзниченнзя, но,'нв, бескйнечно малая! и.ь(-0 и ((т(-4)") г! - неограниченная, но не бесконечно больювя, ". О. Сравненио басконечио малых Во .'инин Сумма и произведение бесконечно малых величин яиляютоя токе бесконечно малыии, нь то имеются новостные теоремы. щто че касоетсл чвстнога бесконечно мальм, то поцобной теоремы не ыоквт бить в принципе.
Рассыотриы на простойиих примерах зсв воэмокРцРв случаи, которые могут возникнуть. Кстати, здесь поязляютсл неко торме весьма званые опревсления: 1) )тттт — О; напр',э~ер, <С = ь/РР, /Ь = (/П; з ОО 3 Ф таком случае с( нззызоется бесконечно молой болев высокого поркала, чем ,ь (о уэ - более низкого поряпхо, чвм с( ); соотззт стзухяРее обозначение: РС О(РЯ (так и читаетол: о малое); 2) )амт†=ОО; например, ОС = (/Рт , /Ъ 1 /Рь ; э ОС ц таком случае с( назызеется бесконечно ывлой более низкого порка ка, чеы /ь (а /ь - более высокого порячкп, чоы сь ); т.е, уь = О (с(); 3) 1(ТРь — сонэ(, О) нпприыор, и( (/РР, /ь* (/(и+4) В тзхОВ случВВ ОЕ и /О нззынзютоя бесконечно малыми опнсго пс Рлоха; СООтзвтотЯУЮЩВЕ С6ОЗНВЧЕНИЕ: ОС ю О(/Ь) ° /й 6(СС) (так н читзетоя: О больщое); чрезвычайно Вахзи частиый Спучай, РЬ когла упомянутая константе равна 1, в ятом случае( 1)тРЬ- () Рь Оц и /3 называется яквквзлентныии бзсконочно малыми, соотвататвующее обознечениац сС /0, т,с.
(/Рт 4/(и+1'). а( 4) 1)ттх рр нв ОУщестаует (ни конечний, ни бесконечный), нзприыер, сс -(-(') /и, Рй * ( /РР; в таком случае о( и /ь называются неорвэиРРмыми по поряпиу. укаэвнное сравнение чзотного бесконечно мзлмх ОС /уй носит, очвэщано, качественный характер. Однако в принципа возмокне (а на практика эачастув крейна щвлательно) и количественное сравнение, Скацем, приняв порядок,бесконечно малой (/Рь эв 1, будем называть 2 /Рх беоконвчно малой второго поркала, 4 /пв - бесконечно малой пятого порядка и т.,к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
