Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 8
Текст из файла (страница 8)
(2.53) Первое из этих выражений можно рассматривать как а м п л и т у дн о - ч а с т о т н у ю (АЧХ), а второе — как ф а з о - ч а с т о т н у ю х а р а к т е р и с т и к и (ФЧХ) сплошного спектра непериодического сигнала з (г). Как и в случае ряда Фурье, В (ы) является четной, а 0 (ь») — нечетной функцией частоты ь». На основании формулы (2.50) нетрудно привести интегральное преобразование (2.49) к тригонометрической форме.
Имеем [аргумент функции 0 («») в последующих выражениях опущен): ОР Ф з (() = — В (ь») ец "я+а1 Нь» = — В (а) соз («»г + 0) йо + ! Р 1 и 2л,) 2л,) Ю Ю +1 — ~ Я(а») з[п(ь»1+0) «(«». 1 г 2л Из четности модуля и нечетности фазы следует, что подынтегральная функция в первом интеграле является четной, а во втором — нечетной относительно «». Следовательно, второй интеграл равен нулю и окончательно ) з (() = — ~ Я (е) соз (ыГ+ 0) Нь» = — ~ Я (а») соз (о»Г+ О) «( .
(2.54) Переход от комплексной формы (2.49) к тригонометрической (2.54) обычно целесообразен в конце анализа; все промежуточные выкладки при применении интеграла Фурье удобнее и проще производить на основании комплексной формы (2.49). Отметим, что при ы = 0 выражение (2.47) переходит в следующее: 8(0)= ) з(Г)й=площадь под кривой а(1), (2.55) Ю Следовательно, для любого сигнала з (1) спектральная плотность 8 (в) на нулевой частоте равна «площади сигнала».
Это правило полезно для быстрого выявления структуры спектра некоторых сигдалов. Примеры применения этого правила приводятся в 22.10. 2.7. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ СПЕКТРАМИ ОДИНОЧНОГО ИМПУЛЬСА И ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИМПУЛЬСОВ Пусть заданы импульс в, (!) и соответствующая ему спектральная плотность $1 (от) = $1 (2ит) (рис. 2.!2, а). На этом рисунке изображен модуль сплошного спектра 3, (2ит) в виде функции, четной относительно 7. При повторении импульсов с периодом Т получается последовательность, представленная на рис.
2.12, б (слева). Линейчатый (дискретный) спектр этой последовательности изображен в правой части рисунка. При периоде Т интервал между любыми двумя соседними гармониками равен 1)Т. Коэффициент и-й гармоники в соответствии с выражением (2.22) 1 Г С = 1 В (!) Е )леи! й), ° -т~ 1 1, где о)1 = 2п)Т; 1, и (в соответствуют рис 2.11. Спектральная же плотность одиночного импульса на той же частоте от = по)1 будет (см. (2.47)1 ), в (1) е — гам,! й! Как ранее уже отмечалось, спектральная плотность 81 (со = пот!) отличается от коэффициента с„ряда Фурье периодической последовательности только отсутствием множителя НТ.
Следовательно, имеет место простое соотношение с„=- 3, (иот,))Т = )1 бт (псот), (2,5б) Соответственно комплексная амплитуда и-й гармоники А„=- 2с„= 2(1 81 (иго!). (2.56') Итак, модуль спектральной плотности одиночного импульса и огибающая линейчатого спектра периодической последовательности, полученной путем повторения заданного импульса, совпадают ио форме и отличаются только масштабом. На рис. 2,12, б штриховой линией обозначена огибающая линейчатого спектра (с„( = 7151 (питт).
в (гпт) тч ат(е+т) з (г) з (т-т) ! -т "-т+и„ т т+та -г-! В ! 2б! Рис. 2.12, Одиночный импульс и его спектральная пзотность (о), периодическая последовательность импульсов и ее линейчатый спектр (б) 30 2.8. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ Между сигналом з (г) и его спектром $ (ы) существует однозначное соответствие. Для практических приложений важно установить связь между преобразованием сигнала и соответствующим этому преобразованию изменением спектра.
Из многочисленных возможных преобразований сигнала рассмотрим следующие наиболее важные и часто встречающиеся: сдвиг сигнала во времени, изменение масштаба времени, сдвиг спектра сигнала по частоте, дифференцирование и интегрирование сигнала. Кроме того, будут рассмотрены сложение сигналов, произведение и свертка двух сигналов, а также свойства взаимной обратимости «ь и г' в преобразованиях Фурье, 1. СДВИГ СИГНАЛОВ ВО ВРЕМЕНИ Пусть сигнал з,(г) произвольной формы существует на интервале времени от г', до 1«и обладает спектральной плотносзв45 8, («ь).
При задержке этого сигнала на время гь (при сохранении его формы) получим новую функцию времени ь«(«) з«(«гь) существующую на интервале от «, + Гь до Г«+ 1«, Спектральная плотность сигнала з, (1) в соответствии с (2.48) ц+н н+! 8(«ь) — ) з (1) е — !ояйГ ~ з (Г Г)е — имйГ ~ +и и+1 Вводя новую переменную интегрирования т = г' — гь, получаем 8 (ы) е — ь"с~ ) з (т) е — ьл«йт е — ип 8 (ы) (2.57) Из этого соотношения видно, что сдвиг во времени функции з (1) на -ьГ«приводит к изменению фазовой характеристики спектра $ (ы) на величину -ЬаГ«. Очевидно и обратное положение: если всем составляющим спектра функции з (1) дать фазовый сдвиг 0 (в) = +. ыГ„линейно-связанный с частотой ы, то функция сдвигается во времени на ~Г«.
Амплитудно-частотиая характеристика спектра (т. е, модуль спектральной плотности) от положения сигнала на оси времени не зависит. 2. ИЗМЕНЕНИЕ МАСШТАБА ВРЕМЕНИ Пусть сигнал з, (г), изображенный на рис. 2.13 сплошной линией, подвергся сжатию во времени, Новый сжатый сигнал з«(Г) (штриховая кривая З1 С увеличением Т спектральные линии на рис. 2.12, б сближаются и коэффициенты с„уменьшаются, но так, что отношение ~с„~/7, остается неизменным. В пределе, при Т -«оь, приходим к одиночному импульсу со спектральной плотностью 8, (ы) =-1пп (с„7Ц. Б-~0 Таким образом, становится наглядным термин «спектральная плотностым 5 (ы) есть амплитуда напряжения (тока), приходящаяся на ! Гц в бесконечно узкой полосе частот, которая включает в себя рассматриваемую частоту ы.
на рис. 2.13) связан с исходным соотношением аа (/) = а, (и/), и 1. ~с2 Длительность импульса за (/) в п раз меньше, чем исходного, и равна та/и. Спектральная плотт„/л т„ ность сжатого импульса Рнс. 2.13. Сжатие сигна- ги/л та/и ла пРи сохРанснни его 8 (га) ( з„(/) е — гмгф/ ( э (и/) е — гмгг(/ формы и амплитуды а Вводя новую переменную интегрирования т = и/, получаем ти -г — т и и 8а(го) = — ~ э,(т) е г(т. и о Но интеграл в правой части этого выражения есть не что иное, как спектральная плотность исходного сигнала э„(/) при частоте го/и, т.
е. 8, ( /и). Таким образом, Яа (го) = (1/и) Я„(го/а). Итак, при сжатии сигнала в и раз на временнбй оси во столько же раз расширяется его спектр на оси частот. Модуль спектральной плотности при этом уменьшается в и раз. Очевидно, что при растягивании сигнала во времени (т. е. при п ~ 1) имеют место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности. 3.
СМЕЩЕНИЕ СПЕКТРА СИГНАЛА Применим (2.48) к произведению ф) сон(гос( + Оа) Ю з(/) соз(го / ). Ео) е — гмгг(/ ~ а(/) емм,г+ол ( г 1 ~ 2 1 сгае пи г.~- о 1 1 - гнм (/ 2 2 — г е " з(/) е-""+" ~г г(/. 2 з(1) е г/о мпг с(/ 1 32 Первый интеграл в правой части есть не что иное, как спектральная плотность функции а (/) при частоте го -- гос, а второй интеграл — при частоте го + гоа. Поэтому полученное выше соотношение можно записать в форме Ю з (/) сон (гоа /+йо) е 'ыг г(/ = — [егвг8 (㻠— гоо)+ е-'о 8(го+ гас)), (2.58) где $ (го) — спектральная плотность сигнала а (/).
Из выражения (2.58) вытекает, что расщепление спектра 8 (го) на две части, смещенные соответственно на + гоа и — го„эквивалентно умножению функции з (1) на гармоническое колебание соз гос/ (при 8, = 0), Более подробно это положение рассматривается в гл.
3 при изучении модулированных колебаний, 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИГНАЛА Дифференцирование сигнала ээ (!) можно трактовать как почленное дифференцирование всех гармонических составляющих, входящих в его спектр. Но производная функции еим равна (ше' ', из чего непосредственно вытекают следующие соответствия: .
зэ (Г) —: 8э (ш), зэ (Г) = — —:(шБэ(оэ) =: 8э (оэ) на, (э) (2.59) дэ К этому результату можно прийти также из общего преобразования Фурье е '"" т(Г -дэ(!) е -'"" ~ т (ш8э Оээ! (шЯэ(ш). ээээ (эЭ э!э Первое слагаемое в правой части обращается в нуль, поскольку прн ~с зэ (1) — 0 (условие ннтегрируемости сигнала). Аналогичнэям образом можно показать, что сигналу за(() = 1 аэ(х) дх соответствует спектральная плотность 8~ (ш) =( ! ио) $, (оэ), (2.60) Следует, однако, подчеркнуть, что в отличие от операции (ш$, (оэ) операция (!йы) Бэ (оэ) законна только для сигналов, отвечающих условию' о (0) = О, т. е. для сигналов с нулевой площадью зэ(!) а((= 0 (см. приложение 2). 6. СЛОЖЕНИЕ СИГНАЗ!ОВ Так как преобразование Фурье, определяющее спектральную плотность заданной функции времени, является линейным, очевидно, что при сложении сигналов зэ (!), да ((), ..., обладающих спектрами Яэ (оэ), Яа (оэ), ..., суммарному сигналу з (!) =- зэ (!) --: за (!) -(- ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
