Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 7
Текст из файла (страница 7)
). ПРЯМОУГОЛЬНОЕ КОЛЕБАНИЕ (РИС. 2.3) Подобное колебание, часто называемое ме а яд ром', находит особенно широкое применение в измерительной технике. При выборе начала отсчета времени в соответствии с рис. 2.3, а функция является нечетной, а рис. 2.3, б — четной. Применяя формулы (2,24), находим для нечетной функции (рнс. 2.3, а) при а(()= е((): в с„= О, с,, = — ~ ( — 1) з)п пго» й((+ е Г Г ~ »' / 2 г(2 и — о / Рис. 2.3. Периодическое колебавие прямоугольной формы (ме и!»др) ' Меандр — греческое слово, обозначая»щее «орнамент». 'М -бы -лгз -Еыг О Яеэ взэ 6Ь зыг Фг оэг быг быт Узэг а> В 2зэг 4ы Взэг ы быт Э Рис. 2.4.
Коэффициенты комплексного (а) и тригонометрического (б) ряда Фурье коле- бзння, показанного нз рнс. 2.3 Учитывая, что Тго, = 2п, получаем Е (О при л=0,2,4, ..., вяз ~ — (1 — соз ил)— пп ~(2Еупи при п=1, 3,5, ... Начальные фазы В„в соответствии с (2.27) равны — и/2 для всех гармоник.
Запишем ряд Фурье в тригонометрической форме 4Е /. 1 е(1)= ~ 2!ся,)соя~иго,! — — 'и ~ = — (з!поз,(+ — з!пЗоэ,т+ 3 ч-цз,з,... 1 + — з!п 5оэ„1+ ...), Спектр коэффициентов )св ! комплексного ряда Фурье показан на рис. 2.4, а, а тригонометрического ряда — на рис. 2.4, б (при Е = 1). При отсчете времени от середины импульса (рис. 2.3, б) функция является четной относительно ! и для нее (2,33) 4Е / 1 1 е (1) = — ( соз го, 1 — — соз Зоэ, 1+ — соз боэ, 1 — ...), 5 (2.34) 24 Рис.
2.5. Суммнровзние 1-й и 3-й гармоник (а), 1, 3 и 5 й германик (б), 1, 3, 5 и 7 й гармоник (в) колебания, показанного нз рнс. 2.3 Графики 1-й (и =!) и 3-й (л = 3) гармоник и их суммы изображены на рис. 2.5, а. На рис. 2.5, б эта сумма дополнена 5-й гармоникой, а иа рис.
2.5, в — 7-й. С увеличением числа суммируемых гармоник сумма ряда приближается к функции е (г) всюду, кроме точек разрыва функции, где образуется выброс. При и — со величина этого выброса равна 1,18Е, т. е. сумма ряда отличается от заданной функции на 18 3з. Этот дефект сходи- мости в математике получил название явлен и я Гибб с а. Несмотря на то, что в Рис.
2.6. Периодическое колебание пило- образной формы Рис. 2.7. Сумма первых пяти гармоник колебания, показанного на рис. 2.6 2. ПИЛООБРАЗНОЕ КОЛЕБАНИЕ (РИС. 2.6) С подобными функциями часто приходится иметь дело в устройствах для развертки изображения в осциллографах. Так как эта функция является нечетной, ряд Фурье для нее содержит только синусоидальные члены. С помощью формул (2.24) — (2.31) нетрудно определить коэффициенты ряда Фурье. Опуская эти выкладки, напишем окончательное выражение для ряда 2Е /. 1 1 е(() = — ( з!поз, ( — — з)п 2оз, г+ — з(п 3)о, (— 2 3 1 — — з(п 4оч(+ ...~, 4 (2.35) Как видим, амплитуды гармоник убывают по закону 1(и, где п = 1, 2, 3, ...
На рис. 2.7 показан график суммы первых пяти гармоник (в увеличенном масштабе). 3. ПОСЛЕхТОВАТЕЛЬНОСТЬ УНИПОЛЯРНЫХ ТРЕУГОЛЬНЫХ ИМПУЛЬСОВ (РИС. 2.8) Ряд Фурье для этой функции имеет следующий вид: е(() = — ~ — — — (соках,(+ — созЗоз, г+ — сов бозх(+ ...) ~. (2 36) зв бз Рис. 2.6. Сумма трех первых гармоник периодической функ- пии -1/2 26 рассматриваемом случае ряд Фурье не сходится к разлагаемой функции е (г) в точках ее разрыва, ряд сходится в среднем, поскольку при а — ~- оо выбросы являются бесконечно узкими и не вносят никакого вклада в ин- теграл (2.13). Рис. 2.9. Периодическая последовательность прямоугольиык импульсов с большой скважностмо -т„/2 0 т„ На рис.
2.8 изображена сумма первых трех членов этого ряда. В данном случае отметим более быстрое убывание амплитуд гармоник, чем в предыдущих примерах. Это объясняется отсутствием разрывов (скачков) в функции, 4. ПОСЛЕ/(ОВАТЕЛЪКОСТЬ УНИПОЛЯРНЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ИМПУЛЬСОВ <РИС. 29) Применяя формулу (2.32), находим среднее значение (постоянную составляющую) 1[!/ з ,(/) д/ ти Е Т ао (2,37! 2 Т --тв;т н коэффициент а-й гармоники ти/з 2 г 2Е . лвг, тв а„= — ! с (/) соз пы, //(/ = — з(о — . т лп 2 --тн/В (2.38) Так как функция е (/) четная. Ь, = О и Ав = а„.
Таким образом, тн 2 (, пв,т„ е (/) = Е ( — "; — р, — з! и — соз пш, / ). Т л л 2 и 1 (2.39) Величина /тг = Т/т„называется скважн остью импул ьсной последовательности. При больших значениях /тг спектр сигнала содержит очень большое число медленно убывакхцих по амплитуде гармоник (рис. 2. (0). Расстояние между спектральными линиями очень мало, а амплитуды соседних гармоник близки па величине. Это наглядно вытекает из формулы (2.38), котору|о в данном случае удобно представить в несколько измененном виде 2Е~.
/ тнй ! аа ! =Ав — ~Мп(пл — ~~ ли, Т,) ар 2 Рис. 2.(0. Спектр импульсной послеш вовательности..показанной на рис. 2.9 (гшгушг ЬУ огт тн т„ 26 При малых значениях и можно считать (2.40) пп Т Т Постоянная составлякяцая, равная аь)2 = Ет„)Т, вдвое меньше амплитуды 1-й гармоники. При построении спектра коэффициентов (с„( величина с„ приближенно равнялась бы (с,)".
2.5. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МОШНОСТИ В СПЕКТРЕ ПЕРИОДИЧЕСКОГО СИГНАЛА Пусть сигнал э (() (ток, напряжение) представляет собой сложную периодическую функцию времени с периодом Т, Энергия такого сигнала, длящегося от г' = — оь до г' = — со, бесконечно велика. Основной интерес представляют'средняя мощность периодического сигнала и распределение этой мощности между отдельными гармониками. Очевидно, что средняя мощность сигнала, рассматриваемого на всей оси времени, совпадает с мощностью, средней за один период Т. Поэтому можно воспользоваться формулой (2.!7), в которой под коэффициентами с„следует подразумевать коэффициенты ряда (2.20), под интервалом ортогональности (э — А — величину периода Т, а под нормой )(й„(( — величину )! Т (см.
(2.2!)1. Таким образом, средняя мощность периодического сигнала (2.41) Используя тригонометрическую форму ряда Фурье и учитывая, что с„= а„2 и (с„! = А„2, получаем (2А2) Если э (() представляет собой ток ( ((), то при прохождении его через сопротивление г выделяется мощность (средняя) Р= г(ь(!) =г(('„. !'-,'2 л У',(2.,'- „,), где !„= а„:2 — постоянная составляющая, а !л = А„— амплитуда п-й гармоники тока ! (!). Итак, полная средняя мощность равна сумме средних мощностей, выделяемых отдельно постоянной составляющей lь и гармониками с амплитудами То !,, ...
Это означает, что среднЯЯ мощность не зависит от фаз отдельных гармоник. Это вытекает из ортогональности спектральных составляющих, в данном случае на интервале Т. 2.6. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ Изложенный в 5 2.3 гармонический анализ периодических сигналов можно распространить на непериодические сигналы.
Пусть такой сигнал э (() задан в виде некоторой функции, отличной от нуля в промежутке ((ь (ь) (рис. 2.11). Выделив произвольный отрезок времени Т, включаю:ций в себя промежуток (уы 1э), мы можем представить заданный сигнал в виде ряда Фурье з(1)= У, г„е" ", О(1<Т, (2.43) где си, = 2и1Т, а коэффициенты сл в соответствии с формулой (2.22) и с = — ~ з(1)е-'иь''с(у, 1 г т~ Г!одставив (2.44) в (2.43), получим (2А4) и з(1) = У ! з(х) е-~ и лс(х е™и "~~ О<.-1<.. Т )' 2и и=— (2 А5) з(1) = — ~ е'ьи ) з(х) е ""'с(х с(иу. 1 г 2л (2.46) Внутренний интеграл, являющийся функцией си, 5(ии) ! З(1) Е '"' С(1, (2 47) называется с не к т р а л ь и о й и л от но с т ь ю или с и е к т р а л ьной характеристикой функции з(().
В общем случае, когда пределы 1, и тэ не уточнены, спектральная плотность записывается в форме 5(и1) = 1 э(1) е-"л Й. (2.46) После подстановки 12А8) в выражение (2.46) получаем з (О = .— ~ Ь (си) е' ' йи. (2. 4й) 1 2п -т асс Гл т Рис. 2Л1. Олииоииыа импульс за Здесь учтено, что Т = 2пlсиы Вне отрезка (О, Т) ряд (2.43) определяет функцию з (у) = з (т л йТ) где й — целое число, т. е. периодическую функцию, полученную повторением з (1) вправо и влево с периодом Т. Для того чтобы вне отрезка (О, Т) функция равнялась нулю, величина Т должна быть бесконечно большой.
Но чем больше отрезок Т, выбранный в качестве периода, тем меньше коэффициенты с„. Устремляя Т к бесконечности, в пределе получаем бесконечно малые амплитуды гармонических составляющих, сумма которых изображает исходную непериодическую функцию э ф, заданную в интервале 1, ( 1( 1, (см. рис. 2.! !). Число гармонических составляющих, входящих в ряд Фурье, будет при этом бесконечно большим, так как при Т вЂ” ао основная частота функции си, = 2и!Т - О. Иными словами, расстояние между спектральными линиями (см.
рис, 2.2), равное основной частоте сио становится бесконечно малым, а спектр — сплошным. Поэтому в выражении (2.45) можно заменить иу, на с(си, лси, на текущую частоту ы, а операцию суммирования операцией интегрирования. Таким образом, приходим к двойному интегралу Фурье Выражения (2.48) и (2.49) называются соответственно п р я м ы м и обратным преобразованиями Фурье. Выражение (2.48)'отличается от (2.22) только отсутствием множителя УТ. Следовательно, спектральная плотность $ (ь») обладает всеми основными свойствами коэффициентов с„комплексного ряда Фурье. По аналогии с (2.23) и (2.25) можно написать 8(«э) =А(ь») — (В(ь») =В( ) епч >, (2.50) где ОР А (ь») = ) з(1) сов«айй, В(ь») = ) з(1) з[п ь»1111', (2,51) Модуль и аргумент спектральной плотности определяются выражения= ми Б («») = ЯА (ь»))»+ [В (ы))», (2.52) 0 («») = — агс1я [В (ы)/А (ы) [.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
