Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи (1996) (1092093), страница 9
Текст из файла (страница 9)
2. 12, в которой два независимых контура. Положим, что в левом контуре по часовой стрелке течет контурный ток 1„, а в правой (также по часовой стрелке) — контурный ток 1,. Лля каждого контура составим уравнения по второму закону Кирхгофа. При этом учтем, что по смежной ветви (с сопротивлением йД течет сверху вниз ток 1„— 1 . Направления обхода контуров йримем также по часовой стрелке. 40 Для первого контура (1~! + 1~2)11! + 1Ц11! — 122) = Е, + Е, или Ф + 1~ + ~5)1 + ( — 1~5)1 = Е + Е5- (б) Для второго контура 1М11! 122) + (1~3 + 1~4)122 Е5 Е» или ( Ю1!! + (1»'з+ ~4+ 1»'5)122= Е» Е5.
В уравнении (б) множитель при токе 1„, являющийся суммой сопротивлений первого контура, обозначим через й!1, множитель при токе 12 (сопротивление смежной ветви, взятое со знаком минус) — через Л!2, Перепишем эти уравнения следующим образом: 1~11 11 + 1~12122 Е!1~ й,ц1п + 0221 = Е~. (2.4б) Здесь 1~! ! 1~! + 1~2 + 1~5~ Е11 Е1 + Е51 1~12 1»21 1~5 1~22 1~3 + +й,+й;,Е = — Е,— Е,, Если в схеме больше двух контуров, например три, то система уравнений выглядит следующим образом: (2.4в) тт!!11! + Й12122+ Й!з1зз = Е!! 1»2!1!! + ~22122 + 1~251зз — Е22~ 1~'з111! + 1~з2122+ 1~~~1зз = Езз. 41 где Я!! — полное или собственное сопротивление первого контура; .Я1 — сопротивление смежной ветви между первым и вторым кон;,турами, взятое со знаком минус; ń— контурная ЗДС первого контура, равная алгебраической сумме ЗДС этого контура (в нее со знаком плюс входят те ЗДС, направления которых совпадают с направлением обхода контура); К22 — полное или собственное со, противление второго контура; Й21 — сопротивление смежной ветви 2 между первым и вторым контурами, взятое со знаком минус; ń— контурная ЭДС второго контура.
В общем случае можно сказать, что сопротивление смежной ветви между й- и тконтурами Я4,) входит в уравнение со знаком минус, если направления контурных токов !ь1 и 1,„,„вдоль этой ветви встречны, и со знаком плк!с, если направления этих токов согласны. или в матричной форме Еп Е2 Езз 1~1Р1Р13 [Й= 1~2 Р221~23 ~311~321~33 ~11 ; [Ц = ~22, [Е[ = ~зз Рекомендуется для единообразия в знаках сопротивлений с разными индексами все контурные токи направлять в одну и ту же сторону, например по часовой стрелке. В результате решения системы уравнений какой-либо один или несколько контурных токов могут оказаться отрицательными. В ветвях, не являющихся смежными между соседними контурами [например, в ветви с сопротивлениями К1, Й2 схемы рис.
2.12), найденный контурный ток является действительным током ветви. В смежных ветвях через контурные токи определяют токи ветвей. Например, в ветви с сопротивлением Й, протекающий сверху вниз ток равен разности 1„— 122. Если в электрической цепи имеется и независимых контуров, то число уравнений тоже равно п Общее решение системы а уравнений относительно тока 1„: Ди Д~а Д~з Дь (2.5) ! =Š— +Š— +Š— +... +Е— И 11 д 22 д 33 д ' " аа д ' Ф где (2.6) 1~1Р1Ф13.- %1. 1~211~221~23" ~2а 1~3РЗРЗЗ" 1~3~ 1~е11~в21~лз" 1~лп 42 — определитель системы. Алгебраическое дополнение Л, получено из определителя Ь путем вычеркивания Й-го столбца и т-й строки и умножения полученного определителя на ( — 1)" + Если из левого верхнего угла определителя провести диагональ в его правый нижний угол [главная диагональ) и учесть, что й, = й,, то можно убедиться в том, что определитель делится на две части, являющиеся зеркальным отображением одна другой.
Это свойство определителя называют симметрией относительно главной диагонали. В силу симметрии определителя относительно главной диагонали Л, = Л Пример 13. Найти токи в схеме (рис. 2.13) методом контурных токов. Числовые значения сопротивлений в омах и ЭДС в вольтах указаны на рисунке. Р е ш е н и е. Выберем направления всех контурных токов1 1, 7~ и 133 по часовой стрел ке. О п редел яе м: й1 —— 5 + 5 + 4 = 14 О м; 122 —— 5 + 10 + 2 = 17 Ом; йзз — — 2+ + 2 + 1 = 5 Ом; й ~~ — — ~21 — — — 5 Ом; Я 13 — — 031 — — 0; 023 — — К32 — — — 2 Ом; Е,1 —— = — 1О В; Езз — — — 8 В.
Рис. 2.!3 Записываем систему уравнений: 14711 — 57 ~ — — — 10; — 571! + 177 я — 27зз = — 27 +57 = — 8. Определитель системы ! 14 — 5 Π— 5 !7 — 2 0 — 2 5 =1009. Подсчитаем контурные токи — 640 — — — 0,634А; 7П— 7~~ — — 0,224 А; Рзз — — — 1,5! А. Ток в ветви ст 7~,П вЂ” — ! н — 7ю= — 0,634 — 0,224= — 0,86 А.
Ток в ветви ат 7 = 7~~ — 7зз — — 0,224 + 1,5! = 1,734 А. Формула (2.5) в ряде параграфов используется в качестве исходной при рассмотрении таких важных вопросов теории линейных электрических цепей, как определение входных и взаимных проводимостей ветвей, принцип взаимности, метод наложении и линейные соотношения в электрических цепях.
Составлению уравнений по методу контурных токов для схем с источниками тока присущи некоторые особенности. В этом случае полагаем, что каждая ветвь с источником тока входит в контур, замыкающийся через ветви с источниками ЭДС и сопротивлениями, и что токи в этих контурах известны и равны токам соответствующих источников тока. Уравнения составляют лишь для контуров с неизвестными контурными токами. Если для схемы рис. 2.14, а принять, что контурный ток 1п = У течет согласно направлению часовой стрелки по первой и второй ветвям, а контурный ток 1 а) Рис. 2л4 =7, замыкается также по часовой стрелке по второй и третьей ветвям, то, согласно методу контурных токов, получим только одно уравнение с неизвестным током /~: Я, + Я~ф„— Я,У = Е.
Е+ Нр Отсюда ~ = и ток второй ветви 1, = /п — ! ~2+ ~3 ф 2.14. Принцип наложения и метод наложения. Чтобы составить общее выражение для тока в й-ветви сложной схемы, составим уравнения по методу контурных токов, выбрав контуры так, чтобы Й-ветвь входила только в один Й-контур (это всегда возможно). Тогда согласно (2.5) ток в Й-ветви будет равен контурному току /„„. Каждое слагаемое правой части (2.5) представляет собой ток, вызванный в А-ветви соответствующей контурной ЭДС. Например, Еп Л„/ Л есть составляющая тока А-ветви, вызванная контурной ЭДС Е„. Каждую из контурных ЭДС можно выразить через ЭДС ветвей Е,, Е, Е,..., Е„,...,Е„, сгруппировать коэффициенты при этих ЭДС и получить выражение следующего вида: Г„=Е1 „+Е,ц„+Е.,д +...
+Ед„,+Е„д,„. (2.7) Если контуры выбраны таким образом, что какая-либо из ЭДС, например Е, входит только в один т-контур, а в другие контуры не входит, тор, = Л /Л. Уравнение (2 7) выражает собой принцип наложения. Принцип наложения формулируется следующим образом: ток в И-ветви равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждой из ЭДС схемы в отдельности.
Этот принцип справедлив для всех линейных электрических цепей. Принцип наложения положен в основу метода расчета, получившего название метода наложения. При расчете цепей данным методом поступают следующим образом: поочередно рассчитывают токи, возникающие от действия каждой из ЭДС, мысленно удаляя остальные из схемы, но оставляя в схеме внутренние сопротивления источников, и затем находят й Рис. 2Л5 токи в ветвях путем алгебраического сложения частичных токов. Заметим, что методом наложения нельзя пользоваться для подсчета выделяемых в сопротивлениях мощностей как суммы мощностей от частичных токов, поскольку мощность является квадратичной функцией тока (Р = КР).
Если через некоторое сопротивление Й протекают согласно направленные частичные токи /, и 1,, то выделяемая в нем мощность Р = К(1, + 1 )х и не равна сумме мощностей от частичных токов: Р ~ У~~2 + Р~У Пример 14. Для схемы рнс. 2.14, а методом наложения найти токи в ветвях, определить мощности, отдаваемые в схему источником тока н источником ЭДС, полагая К1 =20м; йя=40м; Яз=60м;1=5А;Е =20 В. Р е ш е н н е. Положительные направления токов в ветвях принимаем в соответствнн с рнс.
2.14, а. С помощью схемы рнс. 2.14,6 (нсточннк ЭДС удален, н зажимы сд закорочены) найдем токи в ветвях от действия источника тока: кз 6 1'1 — — 1 = 5А; 1'~ — — 1', = 5 = ЗА; 1'з — — 2А. — — — 4+6 з Используя схему рнс. 2.14, в, подсчитываем токи в ветвях от действия источника ЭДС (зажнмы аЬ разомкнуты, так как внутреннее сопротивление источника тока равно бесконечности): =0; 1" =1" =Е/(Я +Я =2А. Результнрующне токи в ветвях вычислим, алгебранческн суммируя соответствующие частичные токи этих двух режимов: 11 —— 1'1 + 1" ~ — — 5 + 0 = 5А; 1~ — — 1'~ — 1"~ — — 3 — 2 = 1А; 1з — — 1'3 + 1"з — — 2 + 2 = 4А; (р, = ~р~ + 1ф~ + 1,й,; 11,~ — — ! 4 + 5.2 = 14 В.
Мощность, отдаваемая в схему источником тока, 11 1 = 14 5 = 70 Вт. Мощность, отдаваемая в схему источником ЭДС, Е1з = 20 ° 4 = 80 Вт. Уравнение баланса мощности 1101+ 1ф~+ 1зйз сца1+ Е1з. 2 2 2 $2.15. Входные и взаимные проводимости ветвей. Входное сопротивление. На рис. 2.15,а изображена так называемая скелетная схема пассивной цепи. На ней показаны ветви и узлы. В каждой ветви имеется сопротивление. Выделим в схеме две ветви: т и Й. Поместим в ветвь т ЭДС Е (других ЭДС в схеме нет). Выберем контуры в схеме так, чтобы Й-ветвь входила только в Ф-контур, а т-ветвь — только в т-контур ЭДС Е вызовет токи в ветвях й и т. 1,=Е д,; 1 =Ед (2.8) (2.9) (2.10) О =Л /Л. По формуле (2.10) д „может получиться либо положительной, либо отрицательной величиной. Отрицательный знак означает, что ЭДС Е, направленная согласно с контурным током в т-ветви, вызывает ток в Й-ветви, не совпадающей по направлению с произвольно выбранным направлением контурного тока 1, по й-ветви.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
