Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи (1996) (1092093), страница 5
Текст из файла (страница 5)
1.8, а изображен плоский конденсатор, на рис. 1.9— цилиндрический. Если заряд на одной обкладке (электроде) конденсатора +д, на другой — д, то в пространстве между обкладками существует электрическое поле и между обкладками имеется напряжение (!. Заряд д пропорционален У: д = СУ. Коэффициент пропорциональности С называют емкостью с=~ук (1.31) Емкость зависит от геометрических размеров конденсатора и от диэлектрика между обкладками.
От величины напряжения (/ емкость, как правило, не зависит. Исключение составляют конденсаторы, у которых между обкладками находится сегнетодиэлектрик (у сегнетодиэлектрика е, является функцией Е). Единицей емкости является фарад(Ф) или более мелкие единицы микро, нано и пикофарад. 1 мкФ = 10 ьФ 1 нФ = 10 ~Ф; 1 пФ = 10 — "Ф Пример !.
Вывести формулу для емкости плоского конденсатора (рис. !.8, а). Площадь его каждой пластины (с одной стороны) 5, расстояние между пластинами а, относительная диэлектрическая проницаемость диэлекгрика е,. Рис. 1.8 !9 а) Рис. 1.9 Напряжение между электродами ч ° ° а г~ У=~ Ебг= — ~ — = 1п —.
2пеоег! г 2пеоег! Г! г! Емкость ~у 2"'оег С= — = Э г~ !и— г! В конденсаторе емкостью С, между электродами которого напряжение и, запасена электрическая энергия С 2 2 В' = — =— 2 2С' (1.32) 20 На рис. 1.8, б (вид сбоку) показаны силовые линии. В основной области поле ...родно. 11а краях имеется некоторая неоднородность, которую здесь учитывать не будем. Е направлена от заряда +д к заряду — д. Напряжение между электродами 2- У = ~ Е61 = ~ Есоз0~6! = Еа. Охватим верхний электрод замкнутой поверхностью ! 1 (след ее на рис.
1.8, б показан пунктиром) н применим к ней теорему Гаусса: ~/ кое г Е65 = Е5 = —. Следовательно, Е = и С = — = еовг кое.5 Пример 2. Вывести формулу емкости цилиндрического конденсатора (рис. 1.9, а). На внутреннем электроде радиусом г! находится заряд +д, на наружном электроде радиусом г2 — заряд — д. Р е ш е н и е. Окружим внутренний электрод цилиндрической замкнутой поверхностью радиуса г(г! . г ( гв). След этой поверхности показан пунктиром на рис.
1.9, б. Поток вектора Е имеет место через боковую поверхность, через торцы поток отсутствует, так как на торцах 65 и Е взаимно перпендикулярны: Е65 = ~ЕсоъО 65 = Е2иг! = —. Отсюда Е = о Ч,, Ч еов, 2лг1 ов, бон. пов При изменении заряда о во времени через конденсатор по диэ лектрику течет ток смещения йд ди с= — =С вЂ”. И Й' (1.33 ! Положительное направление отсчета тока г совпадает с положительным направлением отсчета напряжения и. Из (1.33) следует, что 1 1. и = — 1и~.
с~ ф 1.5. Индуктивность. Явление самоиидукции. Если по какой-либо катушке (контуру) будет протекать ток, то он создаст магнитное поле и катушка будет пронизываться магнитным потоком. Потокосцепление катушки Ч" будет пропорционально току ~ 'Р = Ы Коэффициент пропорциональности ~. между Ч" и1называют индуктивно стью (1.35) Индуктивность 1. (Гн) зависит от геометрических размеров катушки, числа ее витков и от магнитных свойств сердечника, на котором она намотана, Если ток г будет изменяться во времени, по закону электромагнитной индукции в катушке наведется ЭДС е,, которую называют ЗДС самоиндукции дЧ" й е~ — — — — — — — ~ —. Й д1' (1.36) Положительные направления отсчета для с и е~ совпадают (е пропорциональна скорости изменения тока ~). Если сердечник, на который намотана катушка, ферромагнитный, то Ч" является нелинейной функцией тока ~.
В этом случае сРР(~) дЧ'(~) й й (1.37) Ж й д1 л" й Из (!.38) следует, что (1.39) м 7. =— ~2 (1.„„Ф называют дифференциальной индуктивностью, она является нелинейной функцией тока ~). В магнитном поле уединенной катушки индуктивностью 1, по которой течет ток ~, запасается магнитная энергия у у2 (1.38) Ф' = ЬЙЧ'= Илй= —. о о Рис. 1 10 Пример 3. Вывести формулу для индуктивности Е двухпроводной линии передачи длиной 1, расположенной в воздухе, при расстоянии между осями проводов Ы и радиусе провода г(~И. Полагать | !м-д и не учитывать магнитный поток поперечных сторон петли. Р е ш е н и е. Двухпроводная линия (рис.
1.10, а, б) представляет собой как бы один большой виток. Пропустим по ней ток 1. Напряженность поля в произвольной точке между проводами на расстоянии х от левого провода на линии, соединяющей оси проводов, по закону полного тока равна —, а результирующая напряженность 2ях' поля равна сумме напряженностей от каждого из проводов / Н = — + (Ы вЂ” г~х~г).
2пх 2п(~1 — х) Поток через заштрихованную площадку 65 = 16х равен ро|11 1 РР а — ° 6Ф= В65= — — + — 6х;Ф= 1и— 2п х И вЂ” х ' и г Ф ро1 с( При 6)) г ь = — = — 1п —. 1 л г Пример 4. Определить индуктивность катушки (рис. 1.11, а) с числом витков ш~ —— 1000, равномерно намотанной на сердечник прямоугольного сечения, внутренний радиус которого Я~ — — 4см, наружный Я~ — — бсм, высота Ь = 2см, п,сердечника раппа 80. Рис. 1.11 Р е ш е н и е. Пропустим по катушке ток 7 и определим напряженность поля в 1~~1 сердечнике по закону полного тока Н = —.
Поток через полосу ИЯ, заштрихован- 2пЯ ную на рис. 1.11, б, Р.оР,Ив, сЯ дФ= ВАМ= 2лй Потокосцепление ы'~Мор гоп ! Я2 Ч' = га Ф = жфФ = Я1 11.40) Подстановка числовых значений дает Е = 0,131 Гн. я ( з 2 Й 2 1г'„=1 — 2 Иг= и 1 Зо~= ц 3 2 2д)~4 з 16п о о По (1.39) 21Р„Р,„1 8п Рис. 1.12 ф 1.6.
Взаимная индуктивность. Явление взаимоиндукции. На рис. 1.13, а изображены два контура. По первому течет ток 1,, по второму— 12. Поток, создаваемый первым контуром Ф,, частично замыкается, Рис. 1.13 г) Пример 5. Вывести формулу для индуктивности цилиндрического провода длиной1 радиусом Я, обусловленной потокосцеплением в теле самого провода. На рис, 1.12 показан вид провода с торца.
Р е ш е н и е. Пропустим вдоль провода постоянный ток Е По закону полного 1 тока напряженность поля Н иа расстоянии г от оси провода равна току — лг, п)г охваченному окружностью радиусом г и деленному на длину этой окружности 2пг: Ег Н = —. Индукция В = р Н.
Магнитная энергия, запасенная в теле провода, 2ф пронизывая только первый контур Ф„, минуя второй, частично пронизывая и второй контур Ф, . Чтобы рисунок был более понятным, на нем изображено только по одной силовой линии каждого потока Ф1=Ф +Ф . Аналогично, поток, создаваемый вторым контуром: Ф2 122+ Ф21 Если первый контур имеет и1! витков, то потокосцепление первого контура ы!(Ф! +- Ф,) = и1!Ф! +- ы~!Ф2! = Ч", -~- Ч"2,. Потокосцепление второго контура (число витков в ) и!2( 2 — 1 12) 2 — !2 Знаки «+» соответствуют согласному направлению потока от своего тока и потока, создаваемого током в соседнем контуре. Знаки « — » соответствуют несогласному (встречному) направлению потоков (для этого один из токов должен изменить направление). Потокосцепление Ч~2! пропорционально току 12, а Ч'„— току ~! Ч 21 и!1 1 2! М~21 !2 2 12 ! и во втором 1) 1) 2 ~~~ 2 -~- 12) ~~~ 2 2 -~ 1) (1.43) й2 й, Е2Е + Е2М' 2й В формулах (1.42) и (1,43) принято, что М =» О.
В то же время в литературе можно встретиться с тем, что знак минус у ем в этих . формулах относят не к ЗДС взаимоиндукции, а к М, т. е. записы- Коэффициент пропорциональности М (Гн) называют взаимной ин- дуктивностью 21/12 12/~1' (1.41) Она зависит от взаимного расположения, числа витков, геометри- ческих размеров контуров (катушек) и от магнитной проницаемо- сти )1,, сердечников, на которых они намотаны.
Если )1,, = сопв1, то от величины токов М не зависит. Явлением взаимоиндукчии называют наведение ЭДС в одном ' контуре при изменении тока в другом. Наводимую ЗДС называют ЭДС взаимоиндукчии и обозначают е, Для рис. 1.13 полная ЭДС, наводимая в первом контуре, 1) й, й, (1.42) е, = — — (Ч'! -Ь Ч'21) = — — (Е11! ~ М12) = — 11 — ~ М вЂ” = е!1. ~ е1м й й й й вают формулы (1.42) и (1.41) в виде е! = еи. + еьи н е2 = еж + е2и.
Под коэффш~иентом связи двух магнитосвязанных катушек понимают отношение М к квадратному корню из произведения Е!Е2 этих катушек ~,. = МКАД. (1.44) Всегда й,,:. 1; !«,, = 1, если весь магнитный поток, создаваемый первой катушкой, пронизывает и вторую, а весь поток, генерируемый второй катушкой, пронизывает и первую. Магнитная энергия двух магнитосвязанных катушек с токами т'! и1 равна (1.45) 1 ! 2 2 !Р = — + — ~М7!. 2 2 1 2 Знак «+» относится к согласному, « — » — к встречному направ- лению потоков. Пример 6. На сердечнике примера 4 кроме катушки с числом витков га! = 1000 равномерно намотана и вторая катушка в2 = 500.
Определим М между катушками. Р е ш е н и е. Весь поток Ф, создаваемый в сердечнике первой катушкой, пронизывает и вторую. Поэтому роиг1в 1 и!261п М— — 0,0655 Гн. /! 2п Пример 7. Определить магнитную энергию, запасаемую в магнитном поле двук катушек примера 6, если по первой катушке течет ток 7! = 1 А, по второй — ток 72 — — 0,5 А, Магнитные потоки направлены согласно. Р е ш е н и е. По формуле(140), заменив в ней гн! на и~2, определяем ~2 — — 0 0327 Гн. По формуле ( 1.45) 052 00327 Пример 8.
По первой катушке примера 7 течет ток!и изменяющийся во времени в соответствии с рис. !.13, б. Вторая катушка разомкнута. Построить кривые ЭДС самоиндукции ен и ЭДС взаимоиндукции еаи (время дано в мс). «11! Р е ш е н и е. График е1ь(рис. !.13, а)строим по формуле еп — — — 7! —, график !Ж* Й~ е2м (рис. 1.13, г) — по формуле е2м —— — М вЂ”. Ж ф 1.7. Схемы замещения реальных электротехнических устройств. В элементах реальных электротехнических устройств (электрических цепях) происходят достаточно сложные процессы протекания токов проводимости, токов смещения, выделения тепловой энергии, наведения ЭДС, накопления и перераспределения энергии электрического и магнитного полей и т. п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
