Диссертация (1090147), страница 19
Текст из файла (страница 19)
4.4а,б).Рисунок 4.4а. Стоячая волна для разного числа слоевРисунок 4.4б. Стоячая волна для разных отношений коэффициентовпреломления127Результаты моделирования для многослойного волновода (N 3 )(рис.4.4а,б)представляют из себя синусоидальные кривые.напряженностьэлектрическогополя(основнаямода)Это -многослойногооптического волновода в зависимости от разного числа плотных слоев всердцевине волновода и коэффициентов преломления. Как видно из рис. 4.4а,чем больше слоев, тем меньше энергии света уходит в оболочку волновода.На рис.4.4бэлектрическогоизображены результаты моделирования напряженностиполявзависимостиототносительнойразностикоэффициентов преломления слоев волновода (см. приложения 4.2, 4.3).
Каквидно из рис.4.4б, чем больше разница коэффициентов преломления, темрезче граница между сердцевиной и оболочкой волновода.Отсюда, можно сделать вывод, что количество слоев в многослойнойструктуре и относительная разница коэффициентов преломления сердцевин иоболочек значительно влияют на концентрацию поля внутри сердцевины иоптические потери и оболочке. Относительная разность коэффициентовпреломленияпредполагаетизготовлениесердцевиныиоболочкимногослойного волновода из разных изотопов одного и того же химическогоэлемента.Когда число слоев N=3 структура многослойного волновода переходитв планарное оптическое волокно ОВ (если размеры сердцевины ρ ≤ 100нм , тотакая структура называется квантовой ямой), состоящее из сердцевинытолщиной ρ и двух бесконечных оболочек.Для квантовых структур, например, сверхрешеток или множественныхквантовых ям с ограниченным числом слоев можно воспользоватьсяуказанным выше алгоритмом.
Изображения на рис. 4.4а,б будут иметь смыслволновых функций первого порядка для свободных носителей заряда ψ (x)согласно формуле (4.4).128С помощью математического моделирования многослойного волноводаможно рассчитать зависимость коэффициента отражения волновода, равногоотношению падающей энергии электрического поля к отраженной энергии,от длины волны (рис.4.5).Рисунок 4.5.
Зависимость коэффициента отражения ФКВ от длины волнысветаКак видно из рис.4.5 (см. приложение 4.4), при правильном выборетолщины слоев (с учетом углов отражения от поверхности слоев)наибольшее затухание имеют длины волн, кратные оптическим длинамраспространения света в многослойном волноводе. С помощью этогокоэффициента можно определить полосу света, имеющую максимальноеотражение [103]. Коэффициент отражения (рис.4.5) представляет из себяполосу непропускания оптического фильтра, который можно реализовать спомощью фотонно-кристаллического волокна (ФКВ) на базе собственныхизотопов исходного вещества. Такие фильтры будут иметь минимальныеоптические потери за счет рассеяния света на неоднородностях из-за129идентичности кристаллических решеток и чистоты материала (отсутствиялегирующих элементов).Для реализации эффекта брэгговских отражений в ФКВ необходимоправильно рассчитать ширину слоев двухслойной периодической среды, откоторой происходит отражение света.
При нормальном падении света сдлиной волны λ на границу раздела максимально эффективное отражениебудет иметь место при условии, что оптический период структуры равенλ / 2 . При этом оптическая толщина каждого слоя должна быть равна λ / 4 .В этом случае разность набегов фаз, отраженных от соседних слоев, равнанулю либо 2π .Математическая запись условия максимального отражения имеет вид:βi ⋅ di = π / 2 ,где β i– проекция волнового вектора в i -той среде на ось,перпендикулярную плоскости раздела слоев,d i – толщина соответствующего слоя.В условиях нормального падения β i = k i = 2π / ii .В нашем примере направление распространения света (вдоль оси zрис.4.3) выбрано таким образом, что свет падает на поверхность разделаслоев под углом, который отличается от π / 2 .
Допустим, что угол падения наповерхность более плотного слоя - α , тогда угол отражения ψ будет угломпадения на менее плотный слой периодической среды (рис.4.6).Отсюда, ширина слоев этой среды должна отвечать следующимусловиям:o1n1 cosψ = λ / 4 , o 2 n2 cos α = λ / 4 ,гдеρ1 ,n1 и ρ 2 ,n2 – соответственно толщина и коэффициентпреломления менее плотного и более плотного слоев.130Рисунок 4.6.
Определение углов отражения и преломленияПриведенное выше соотношение позволяет найти углы падения, прикоторых заданнаядлина волны будет интенсивно отражаться отповерхности. Интенсивность отражения других длин волн не будетмаксимальным. Следует отметить, что на основании теории геометрическойоптики угол падения α из менее плотной среды с n1 на более плотную с n2является также углом отражения от поверхности раздела этих сред. То жеотносится к углу падения ψ из среды более плотной с n на менее плотную2с n1 .
Он же является углом отражения от поверхности этих сред. Используяизвестноесоотношениеsinψ = sin α / ∆n ,косинусамигдеэтихмеждуугламипаденияиотражения∆n = n 2 / n1 , можно найти зависимость междууглов( Cosψ = k1 ,Cosα = k 2 ) :1 − k12 = 1 − k 22 / ∆n ,k12 = 1 − 1 / ∆n 2 + k 22 / ∆n 2 . При ∆n >> 1 формула упрощается и k1 ≈ 1 − 1 / ∆n 2 .Таким образом, изменяя угол падения α и соответственно толщинуслоев можно влиять на напряженность электрического поля стоячей волны всердцевине и оболочке многослойного планарного волновода.4.3 Физико-математическая модель низкоразмерной сверхрешетки сбесконечным числом слоевДляописаниянаноструктурыволновыхпроцессоввнутримногослойной(рис. 4.3) с бесконечным числом слоев и периодом много131больше постоянной кристаллической решетки исходных полупроводниковсуществует несколько подходов, перечисленных в параграфе 4.2. (рис.4.1).Наиболее распространена для этих целей расчетная модель Кронига-Пенни[87].Согласноэтоймоделиносителизаряда(электроны)внутрисверхрешетки с бесконечным числом слоев двигаются в периодическомпотенциале из строго прямоугольных ям по аналогии с модельюкристаллической решетки вещества.
Даже такой упрощенный подходпозволяет получить много интересных результатов, касающихся не толькорасщепления энергетических зон, но и изменения оптоэлектронныххарактеристикисходныхполупроводников[10,71].Вэтомслучаепринимается концепция бесконечно большого числа периодов решетки. Так,для сверхрешетки с одинаковым потенциальным барьером V и массойчастицы m (как внутри ямы, так и вне ямы) можно составить следующиеуравнениядляполученияволновыхфункцийсучетомэффектовтуннелирования волновых функций внутрь энергетических барьеров наосновании формулы (4.4):ψ + x) = Ae iαx + Be −iαx (внутри ямы),где α 2 =2mE;2ψ + x) = Ce qx + De − qx (вне ямы),гдеq2 =(4.11)2m(V − E ).2Из условия непрерывности волновых функций и их производных приx = 0, а , где а - ширина ямы (начало координат отсчитывается от левого краяямы) после несложных преобразований можно получить выражение:A ( B = C ( D; iα ( A − B ) = q (C − D) .(4.12)132Согласно теореме Блоха волновые функции могут быть связаныследующим образом [10]:ψ (a) = ψ (−b)e ik ( a (b ) ,(4.13)где b - ширина потенциального барьера,k - волновой вектор блоховской функции.Отсюда, выражения для коэффициентов волновых функций можнопереписать так:Ae iαa ( Be − iαa = (Ce qx ( De − qb )e ik ( a (b ) ,iα ( Ae iαa − Be − iαa ) = q (Ce qb − De − qb )e ik ( a (b ) .(4.14)Таким образом, получаем систему четырех уравнений, в результатерешения которой находим дисперсионное уравнение вида:q2 −α 2sh(qb) sin(αa ) ( ch(qb) cos(αa) = cos kd ,2 qα(4.15)где d = a + b - период СВР;a = a 1 + ∆1 - ширина квантовой ямы ( a 1 - исходное значение ширины, ∆1 -среднее значение отклонения ширины за счет эффектов сжатия илирастяжения слоев в гетеропереходе СВР);b = b1 + ∆11 - ширина потенциального барьера ( b1 - исходное значениеширины, ∆11 - среднее значение отклонения ширины из-за эффектов сжатияили растяжения слоев).Так как косинус в правой части уравнения (4.15) может приниматьзначения в интервале от -1 до +1, то все значения левой части уравнения,которые будут больше этого интервала, попадут в запрещенные зоны.
Такимобразом, зависимость энергетических уровней от параметров квантовых ямбудет состоять из чередующихся отрезков разрешенных и запрещенных зон.Примерырешениядисперсионногополупроводниковых материалов при условииуравненияa =b,дляразныхреализованные с133помощью программ Mathcad и С + + (см. приложения 4.4,4.5,4.6), изображенына рис. 4.7а,бВеличиныматериалы,из∆1 , ∆11которыхвдисперсионномсостоитСВР.уравненииИзвестно,характеризуютчтопостоянныекристаллических решеток в СВР должны быть максимально близки дляисключения механического напряжения в гетеропереходах. Это влияет наширину слоев, которая может увеличиться или уменьшиться в результатерастяжения или сжатия.
Достаточно высокая крутизна зависимостейэнергетических уровней от ширины ямы свидетельствует, что дажеотносительно небольшие флуктуации размеров (0,1нм)могут вызватьизменения ширины щели порядка единиц мэВ . Эта цифра может оказатьсясущественной, например, для фотоприемника. Изотопические сверхрешеткиимеют преимущества за счет того, что кристаллические решетки слоев ИСВРидентичны, а следовательно, величины ∆1 , ∆11 практически равны нулю.Рисунок 4.7а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
