Диссертация (1090147), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Динамика электронов в сверхрешетке описываетсяогибающимифункциями,представляющимисобственныесостоянияэффективного гамильтониана [10,12,13,99,100].Анализразличныхметодикрасчетаэнергетическихуровнейсверхрешетки c бесконечным числом слоев и периодом ( d  100нм ) большим,чем постоянная кристаллической решетки, показал, что достаточнойточностью обладает метод огибающей функции [99]. Такая методика расчетарассмотрена впараграфе 4.4, с помощью которой получены результатыэнергетических уровней сверхрешетки для арсенида галлия и изотоповкремния путем математического моделирования дисперсионного уравнения.Для расчета сверхрешетки с ограниченным числом слоев и периодом( d  100нм ) большим, чем постоянная кристаллической решетки, примененаметодикасиспользованиемхарактеристическихматриц[100].Традиционный способ решения системы уравнений использован длясверхрешетки с периодом большим, чем 100нм и ограниченным числомслоев. Так, в параграфе 4.3.

исследования оптических свойств сверхрешеткиосуществлялось с помощью многослойной модели (ФКВ), описывающейраспространение света, и специально разработанных формул.Прежде чемрассмотреть формальные модели, необходимо сформулировать цели и задачиматематического моделирования. Цель - это исследование оптическихсвойств изотопического фотонно-кристаллического волокна; исследованиераспределения энергетических уровней в сверхрешетке из собственныхизотопов исходного вещества; сравнение двух видов сверхрешеток (изразных полупроводников и собственных изотопов ИСВР). При этомрешались следующие задачи. Путем математического моделированиявычислить распределение: 1) стоячей волны для изучения отражательной118способности многослойного ФКВ; 2) волновых функций носителей заряда вквантовых ямах сверхрешетки для получения зависимостей энергетическихуровней от ширины ямы для разных полупроводников и СВР, состоящей изизотопов одного и того же вещества (ИСВР).В качестве технологий исследования и проектирования новогоматериала использовалось имитационное моделирование, базирующееся навычислении определенных параметров объекта.В качестве способоврешения задач моделирования применялись различные численные методы.В работе были использованы следующие имитационные модели:1) формальная модель волнового уравнения в виде дифференциальногоуравнения второго порядка в частных производных (уравнение Максвелла),для решения которого применялся метод конечных разностей c помощьюпрограммы Matchad (рис.4.2);2) формальная модель волнового уравнения в виде дифференциальногоуравнения второго порядка (уравнение Максвелла), которое решалось напервом этапе аналитическим путем в виде системы уравнений.

На второмэтапе система уравнений приводилась к трансцендентному уравнению,которое решалось численными методами с помощью программы Matchad(рис.4.4а,б);3) формальная модель волнового уравнения в виде дифференциальногоуравнениявторогопорядка(уравнениеШредингера),котороепреобразовывалось с помощью функций Блоха в систему уравнений и, вконечномитоге,втрансцендентноеуравнение,котороерешалосьчисленными методами с помощью программы Matchad и С + + (рис.4.7.а,б) .Рассмотрим подробнее описанные выше модели.В случае первой модели на рис.4.2 изображены временные фазыизменения стоячей волны в сердцевине волновода (оптического волокна),состоящего из сердцевины и оболочки.1190.5y320 , i01002000.5iРисунок 4.2. Временные изменения стоячей волны в оптическом волокне120Эти временные фазы стоячей волны E y (x) получены с помощьюспециальной функции программы Mathcad(см.

приложения 4.1а,б) длярешения дифференциального уравнения второго порядка в частныхпроизводных:∂ 2 E y ( x)∂t 22c 2 ∂ E y ( x),=εµ ∂x 2где ε - электрическая проницаемость;µ - магнитная проницаемость;c - скорость света.Важным моментом в компьютерном моделировании является выборзначений шагов ∆Т ; ∆X . Они должны быть достаточно малыми, чтобы2добиться устойчивости ( ∆T / ∆X ) ≤ 1 и заданной точности решения.Сравнение компьютерного моделирования с аналитическим решениемсвидетельствует о достаточно высоком качестве программного обеспечения всистеме Mathcad, что позволяет рекомендовать ее для моделированияволновых процессов [38,101,103].Вслучаевтороймоделирешаласьматематическаязадачараспространения световых волн в многослойном планарном диэлектрическомволноводе и отыскания эффективного показателяпреломления β1 спомощью волнового уравнения, полученного на основании уравненияМаксвелла.Этоформальнаямодельволновогопроцессадифференциального уравнения второго порядка:c 2 d 2 E y ( x)ω dx2где c - скорость света;ω - частота волны;2( n 2j E y ( x) = β12 E y ( x) ,(4.1)ввиде121nj- коэффициент преломления вj -том слое многослойнойструктуры;E y (x) - поперечная напряженность электрического поля.В качестве характеристикиj -того слоя волновода принимаетсявеличина:qj =ω β12 − n 2jc.(4.2)Считается, что в каждом слое решение этого уравнения в зависимостиот знака величины ( β12 − n 2j ) есть либо линейная комбинация синусоиды икосинусоиды, либо линейная комбинация двух экспонент.

Так, если величинав скобках отрицательна, точлены меняются местами и выражениеобозначается через h .E( x ) = C ⋅ e − qx (в оболочке, т.е. в крайних слоях));E( x ) = A1 ⋅ e − qx ( A2 ⋅ e qx (в «неплотном» слое сердцевины);(4.3)E( x ) = B1 ⋅ Cos( hx ) ( B2 ⋅ Sin( hx ) (в «плотном» слое сердцевины).На границах слоев решения «сшиваются», исходя из условиянепрерывностивеличиннапряженностиэлектрическогополяиеепроизводной. Отыскание собственных значений β1 , при которых поле вкрайних бесконечных слоях экспоненциально убывает, является одним изсамых важных вопросов в теории волноводов.

С помощью системыуравнений (4.3) для планарного волновода с числом слоев N=3 рассчитаныпараметры напряженности электрического поля и построены графики (см.параграф 4.3)Нахождение волновой функции и разрешенных значений энергииквантования частицы Е в многослойной структуре с периодическим122изменением электрического потенциала осуществлялась на основании третеймодели с помощью стационарного уравнения Шредингера, которое по видупохоже на выражение (4.1).

Это формальная модель волнового процесса ввиде дифференциального уравнения второго порядка: 2 d 2ψ ( x)−( V jψ ( x) = Eψ ( x) ,2mdx 2(4.4)где ψ (x) - волновая функция частицы; - постоянная Планка;m - масса частицы;V j - высота потенциального барьера в j -той квантовой яме;E - энергия частицы.Характеристикой j - того слоя, 1 ≤ j ≤ n , является величина:qj =2m(V j − E ) . (4.5)2Решения в разных слоях отыскивались как линейные комбинации либоэкспонент, либо синусоид и косинусоид.

При этом решения в соседних слоях«сшивались», исходя из условия непрерывности волновой функции и еепроизводной. Причем крайние слои считаются бесконечно протяженными сволновой функцией, экспоненциально убывающей.Отличие выражения (4.1) от (4.4) состоит в знаке коэффициента передвторой производной искомой функции и не сказывается на способе решения.Алгоритм решения уравнения (4.1) состоит из нескольких этапов: а)составление системы уравнений сучетом начальных условий; б)преобразование системы к одному дисперсионному уравнению; в) решениедисперсионного уравнения численным методом с помощью компьютерныхпрограмм, например, Mathcad; г) построение графиков зависимости E y (x) иливолновой функции после подстановки в формулы (4.3) искомого параметрамногослойной структуры ( β1 - для оптической задачи, E - для квантовой123структуры).

Существуют несколько способов отыскания дисперсионногоуравнения, например, метод характеристических матриц, а также методсоставления уравнений для многослойной структуры с ограниченным числомслоев [10,50,71,87,101-103] и непосредственное решение системы линейныхуравнений из условия равенства нулю определителя системы. Несмотря нато, что последний способ на первый взгляд является громоздким, но он болеенагляден и при определенных условиях его можно успешно использовать длянахождения дисперсионного уравнения. Таким образом, дисперсионноеуравнение получается из условия наличия нетривиальных решений при«сшивке» многослойной структуры (рис.4.3) на границах слоев.xсердцевинаоболочкаρ1n10ρ2yn2оболочкаРисунок 4.3.

Многослойный планарный волноводНужные уравнения «прошивки волновода» получаются из условиянепрерывности величин E y ( x )иdE y ( x )dx(граничные условия) на стыках слоевна основании формул (4.3).Так, для общего числа слоев N, включая бесконечно большие крайниеслои (для оптического волокна – это оболочка волновода), количествоуравненийв линейнойсистеме равно 2(N-1).

Конечный результатрассчитывается с учетом задания начальных условий, например, E y (0) = 1124(или равенство единице E y (x) на границе сердцевины и оболочки волновода).Причем для волновода величина E y (x) есть напряженность электрическойсоставляющей электромагнитного поля (стоячая волна). Координата xхарактеризуеттолщину слоевволноводаилипериодмногослойнойквантовой структуры d . Период d равен сумме ширины квантовой ямы(аналог более плотного слоя волновода) a и ширины потенциального барьера(аналог менее плотного разделительного слоя волновода) b для волновойфункции частицы ψ (x) , также равной единице при x = 0 .4.2 Физико-математическая модель сверхрешетки на примеремногослойного волноводаКак было отмечено выше, математическое описание сверхрешеткиможно классифицировать по следующим признакам: типу модели и способуее описания (рис. 4.1).Для модели сверхрешетки с ограниченным числом слоев и ширинойпериода много большей постоянной кристаллической решетки (d  100нм)используютметод,аналогичныйописаниюфотонно-кристаллическоговолокна или многослойного планарного волновода (рис.

4.3). В случае, когдачисло слоев не превышает пяти задачу можно решить аналитически спомощью дисперсионного уравнения, которое выводится в результатерешения системы уравнений. Если число слоев больше пяти, то решениедисперсионного уравнения получается очень громоздким. При произвольномчислеслоевпользуютсядляотысканиярешенийспособомхарактеристических матриц или другими способами [100]. В данной главепредложены собственные формулы получения дисперсионного уравнениядля большого числа слоев, которые легко реализуются с помощьюпрограммы Mathcad.125Для математического моделирования с помощью компьютерныхпрограмм разработан алгоритм составления дисперсионного уравнения,который будет представлен ниже.

Этот алгоритм состоит из несколькихосновных уравнений (4.3).Конечным результатом решения уравнения (4.7), которое вытекает изуравнения (4.1), является определение постоянной распространения β = β1 k ,k=2πλ, а именно:d 2Ey( x )dx2+ ( k 2 n 2j − β 2 )E y ( x ) = 0(4.7)Эта операция осуществляется путем составления системы уравнений ( 4.3),из которой получают дисперсионное уравнение, и последующего решенияего с помощью программы Mathcad (см. приложение 4.2).Алгоритм нахождения β выглядит следующим образом [103]:1)система уравнений(4.3) преобразуется в трансцендентноесоотношение (дисперсионное уравнение (4.8));2)tg ( hρ ) =K N1 −hKN2qhK N1 ( K N 2q.(4.8)Обе части дисперсионного уравнения являются функциями от β( h = k 02 n22 − β 2 ; q = β 2 − k 02 n12 ) ;3)коэффициентыKi,j( i = 1,2...N , j = 1,2 )производные функции:K i1 = f1( K i −1,1 ; K i −1,2 ; β ) ,K i 2 = f 2 ( K i −1,1 ; K i −1,2 ; β ) ;(4.9)выражаютсячерез1264)производные функции находятся следующим образом:f 1 + K i −1,1 ; K i −1,2 ; β ) =+e − qo2hh K i −1,1  Cos+ ho ) + Sin+ ho )  + K i −1,2  Cos+ ho ) − Sin+ ho )  +qq hh1 K i −1,1  Cos+ ho ) − Sin+ ho )  + K i −1,2  − Cos+ ho ) − Sin+ ho )  .− qo q2e  qhhe − qo  K i −1,1  Cos+ ho ) + Sin+ ho )  + K i −1,2  Cos+ ho ) − Sin+ ho )  +q2 qhh(4.10) K i −1,1  Cos+ ho ) − Sin+ ho )  + K i −1,2  − Cos+ ho ) − Sin+ ho )  .qqf 2 + K i −1,1 ; K i −1,2 ; β ) =+12e −qoОкончательное решение волнового уравнения (4.7 ) представлено в видеграфика стоячей волны (рис.

Характеристики

Список файлов диссертации